考研數(shù)學(xué)一歷年真題(2003---2013).docx

2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上) (1) = .(2)曲面與平面平行的切平面的方程是 .(3)設(shè),則= .(4)從的基到基的過渡矩陣為 .(5)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為 ,則 .(6)已知一批零件的長(zhǎng)度(單位:cm)服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)地抽取16個(gè)零件,得到長(zhǎng)度的平均值為40 (cm),則的置信度為0.95的置信區(qū)間是 .(注:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值二、選擇題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)) (1)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù),其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示,則有(A)一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)(B)兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn) (C)兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)(D)三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)(2)設(shè)均為非負(fù)數(shù)列,且,則必有(A)對(duì)任意成立 (B)對(duì)任意成立(C)極限不存在 (D)極限不存在(3)已知函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),且,則(A)點(diǎn)不是的極值點(diǎn)(B)點(diǎn)是的極大值點(diǎn)(C)點(diǎn)是的極小值點(diǎn)(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)是否為的極值點(diǎn)(4)設(shè)向量組I:可由向量組II:線性表示,則(A)當(dāng)時(shí),向量組II必線性相關(guān) (B)當(dāng)時(shí),向量組II必線性相關(guān)(C)當(dāng)時(shí),向量組I必線性相關(guān) (D)當(dāng)時(shí),向量組I必線性相關(guān)(5)設(shè)有齊次線性方程組和,其中均為矩陣,現(xiàn)有4個(gè)命題: 若的解均是的解,則秩秩 若秩秩,則的解均是的解 若與同解,則秩秩 若秩秩, 則與同解以上命題中正確的是(A)(B)(C)(D)(6)設(shè)隨機(jī)變量,則(A)(B)(C)(D) 三、(本題滿分10分)過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線,該切線與曲線及軸圍成平面圖形.(1)求的面積.(2)求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.四、(本題滿分12分)將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù),并求級(jí)數(shù)的和.五 、(本題滿分10分)已知平面區(qū)域,為的正向邊界.試證:(1).(2)六 、(本題滿分10分)某建筑工程打地基時(shí),需用汽錘將樁打進(jìn)土層.汽錘每次擊打,都將克服土層對(duì)樁的阻力而作功.設(shè)土層對(duì)樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比(比例系數(shù)為).汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下m.根據(jù)設(shè)計(jì)方案,要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù).問(1)汽錘擊打樁3次后,可將樁打進(jìn)地下多深?(2)若擊打次數(shù)不限,汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深?(注:m表示長(zhǎng)度單位米.)七 、(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且是的反函數(shù).(1)試將所滿足的微分方程變換為滿足的微分方程.(2)求變換后的微分方程滿足初始條件的解.八 、(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)連續(xù)且恒大于零,其中,(1)討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.(2)證明當(dāng)時(shí),九 、(本題滿分10分)設(shè)矩陣,求的特征值與特征向量,其中為的伴隨矩陣,為3階單位矩陣.十 、(本題滿分8分)已知平面上三條不同直線的方程分別為 , , .試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為十一 、(本題滿分10分)已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品,其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品,乙箱中僅裝有3件合格品. 從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(2)從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.十二 、(本題滿分8分)設(shè)總體的概率密度為 其中是未知參數(shù). 從總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,記(1)求總體的分布函數(shù).(2)求統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù).(3)如果用作為的估計(jì)量,討論它是否具有無偏性.42004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)曲線上與直線垂直的切線方程為_ .(2)已知,且,則=_ .(3)設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分,則曲線積分的值為_.(4)歐拉方程的通解為_ .(5)設(shè)矩陣,矩陣滿足,其中為的伴隨矩陣,是單位矩陣,則=_ .(6)設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則= _ .二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(7)把時(shí)的無窮小量,使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小,則正確的排列次序是(A) (B)(C) (D)(8)設(shè)函數(shù)連續(xù),且則存在,使得(A)在(0,內(nèi)單調(diào)增加 (B)在內(nèi)單調(diào)減少(C)對(duì)任意的有 (D)對(duì)任意的有 (9)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),下列結(jié)論中正確的是(A)若=0,則級(jí)數(shù)收斂(B)若存在非零常數(shù),使得,則級(jí)數(shù)發(fā)散(C)若級(jí)數(shù)收斂,則 (D)若級(jí)數(shù)發(fā)散, 則存在非零常數(shù),使得(10)設(shè)為連續(xù)函數(shù),則等于(A)(B)(C) (D) 0(11)設(shè)是3階方陣,將的第1列與第2列交換得,再把的第2列加到第3列得,則滿足的可逆矩陣為(A) (B) (C) (D)(12)設(shè)為滿足的任意兩個(gè)非零矩陣,則必有(A)的列向量組線性相關(guān)的行向量組線性相關(guān)(B)的列向量組線性相關(guān)的列向量組線性相關(guān) (C)的行向量組線性相關(guān)的行向量組線性相關(guān)(D)的行向量組線性相關(guān)的列向量組線性相關(guān)(13)設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布對(duì)給定的,數(shù)滿足,若,則等于(A) (B)(C) (D) (14)設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布,且其方差為 令,則(A) (B) (C) (D)三、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15)(本題滿分12分)設(shè),證明.(16)(本題滿分11分)某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí),為了減少滑行距離,在觸地的瞬間,飛機(jī)尾部張開減速傘,以增大阻力,使飛機(jī)迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī),著陸時(shí)的水平速度為700km/h 經(jīng)測(cè)試,減速傘打開后,飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為 問從著陸點(diǎn)算起,飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小時(shí))(17)(本題滿分12分)計(jì)算曲面積分其中是曲面的上側(cè).(18)(本題滿分11分)設(shè)有方程,其中為正整數(shù).證明此方程存在惟一正實(shí)根,并證明當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂.(19)(本題滿分12分)設(shè)是由確定的函數(shù),求的極值點(diǎn)和極值.(20)(本題滿分9分)設(shè)有齊次線性方程組試問取何值時(shí),該方程組有非零解,并求出其通解.(21)(本題滿分9分)設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根,求的值,并討論是否可相似對(duì)角化.(22)(本題滿分9分)設(shè)為隨機(jī)事件,且,令 求:(1)二維隨機(jī)變量的概率分布. (2)和的相關(guān)系數(shù)(23)(本題滿分9分)設(shè)總體的分布函數(shù)為其中未知參數(shù)為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,求:(1)的矩估計(jì)量.(2)的最大似然估計(jì)量.2005年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)曲線的斜漸近線方程為 _.(2)微分方程滿足的解為_.(3)設(shè)函數(shù),單位向量,則=._.(4)設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域,是的整個(gè)邊界的外側(cè),則_.(5)設(shè)均為3維列向量,記矩陣,如果,那么 .(6)從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù),記為, 再從中任取一個(gè)數(shù),記為, 則=_.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(7)設(shè)函數(shù),則在內(nèi)(A)處處可導(dǎo) (B)恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)(C)恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) (D)至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)(8)設(shè)是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù),表示的充分必要條件是則必有(A)是偶函數(shù)是奇函數(shù) (B)是奇函數(shù)是偶函數(shù)(C)是周期函數(shù)是周期函數(shù) (D)是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)(9)設(shè)函數(shù), 其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù), 具有一階導(dǎo)數(shù),則必有(A) (B)(C)(D)(10)設(shè)有三元方程,根據(jù)隱函數(shù)存在定理,存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域,在此鄰域內(nèi)該方程(A)只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù) (B)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和 (C)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和 (D)可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和(11)設(shè)是矩陣的兩個(gè)不同的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為,則,線性無關(guān)的充分必要條件是(A) (B) (C) (D)(12)設(shè)為階可逆矩陣,交換的第1行與第2行得矩陣分別為的伴隨矩陣,則(A)交換的第1列與第2列得 (B)交換的第1行與第2行得 (C)交換的第1列與第2列得 (D)交換的第1行與第2行得 (13)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率分布為X Y0100.410.1已知隨機(jī)事件與相互獨(dú)立,則(A) (B)(C)(D)(14)設(shè)為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,為樣本均值,為樣本方差,則(A) (B)(C) (D)三 、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15)(本題滿分11分)設(shè),表示不超過的最大整數(shù). 計(jì)算二重積分(16)(本題滿分12分)求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù).(17)(本題滿分11分)如圖,曲線的方程為,點(diǎn)是它的一個(gè)拐點(diǎn),直線與分別是曲線在點(diǎn)與處的切線,其交點(diǎn)為.設(shè)函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),計(jì)算定積分(18)(本題滿分12分)已知函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且. 證明:(1)存在 使得.(2)存在兩個(gè)不同的點(diǎn),使得(19)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線上,曲線積分的值恒為同一常數(shù).(1)證明:對(duì)右半平面內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線有.(2)求函數(shù)的表達(dá)式.(20)(本題滿分9分)已知二次型的秩為2.(1)求的值；(2)求正交變換,把化成標(biāo)準(zhǔn)形.(3)求方程=0的解.(21)(本題滿分9分)已知3階矩陣的第一行是不全為零,矩陣(為常數(shù)),且,求線性方程組的通解. (22)(本題滿分9分)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為 求:(1)的邊緣概率密度.(2)的概率密度(23)(本題滿分9分)設(shè)為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,為樣本均值,記求:(1)的方差.(2)與的協(xié)方差2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1).(2)微分方程的通解是 .(3)設(shè)是錐面()的下側(cè),則 .(4)點(diǎn)到平面的距離= .(5)設(shè)矩陣,為2階單位矩陣,矩陣滿足,則= .(6)設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,且均服從區(qū)間上的均勻分布,則= .二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(7)設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),且,為自變量在處的增量,與分別為在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的增量與微分,若,則(A)(B)(C)(D)(8)設(shè)為連續(xù)函數(shù),則等于(A)(B)(C)(C)(9)若級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)(A)收斂(B)收斂(C)收斂(D)收斂 (10)設(shè)與均為可微函數(shù),且.已知是在約束條件下的一個(gè)極值點(diǎn),下列選項(xiàng)正確的是(A)若,則(B)若,則(C)若,則(D)若,則(11)設(shè)均為維列向量,是矩陣,下列選項(xiàng)正確的是(A)若線性相關(guān),則線性相關(guān)(B)若線性相關(guān),則線性無關(guān)(C)若線性無關(guān),則線性相關(guān)(D)若線性無關(guān),則線性無關(guān).(12)設(shè)為3階矩陣,將的第2行加到第1行得,再將的第1列的-1倍加到第2列得,記,則(A)(B) (C)(D)(13)設(shè)為隨機(jī)事件,且,則必有(A)(B)(C)(D)(14)設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布,且則(A) (B)(C)(D)三、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15)(本題滿分10分)設(shè)區(qū)域D=,計(jì)算二重積分.(16)(本題滿分12分)設(shè)數(shù)列滿足.求:(1)證明存在,并求之.(2)計(jì)算.(17)(本題滿分12分)將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù).(18)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)滿足等式.(1)驗(yàn)證.(2)若求函數(shù)的表達(dá)式.(19)(本題滿分12分)設(shè)在上半平面內(nèi),數(shù)是有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對(duì)任意的都有.證明: 對(duì)內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線,都有.(20)(本題滿分9分)已知非齊次線性方程組有3個(gè)線性無關(guān)的解,(1)證明方程組系數(shù)矩陣的秩.(2)求的值及方程組的通解.(21)(本題滿分9分)設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個(gè)解.(1)求的特征值與特征向量.(2)求正交矩陣和對(duì)角矩陣,使得.(22)(本題滿分9分)隨機(jī)變量的概率密度為為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).(1)求的概率密度.(2).(23)(本題滿分9分) 設(shè)總體的概率密度為 ,其中是未知參數(shù),為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,記為樣本值中小于1的個(gè)數(shù),求的最大似然估計(jì).2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(本題共10小題,每小題4分,滿分40分,在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后括號(hào)內(nèi))(1)當(dāng)時(shí),與等價(jià)的無窮小量是(A) (B) (C) (D)(2)曲線,漸近線的條數(shù)為(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (3)如圖,連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周,設(shè).則下列結(jié)論正確的是(A)(B) (C)(D)(4)設(shè)函數(shù)在處連續(xù),下列命題錯(cuò)誤的是(A)若存在,則 (B)若 存在,則 (C)若 存在,則 (D)若 存在,則(5)設(shè)函數(shù)在(0, +)上具有二階導(dǎo)數(shù),且, 令則下列結(jié)論正確的是(A)若,則必收斂 (B)若,則必發(fā)散 (C)若,則必收斂 (D)若,則必發(fā)散(6)設(shè)曲線(具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)),過第2象限內(nèi)的點(diǎn)和第象限內(nèi)的點(diǎn)為上從點(diǎn)到的一段弧,則下列小于零的是(A) (B)(C) (D)(7)設(shè)向量組線性無關(guān),則下列向量組線形相關(guān)的是(A) (B)(C) (D)(8)設(shè)矩陣,則與(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似(C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為,則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為(A)(B)(C)(D)(10)設(shè)隨即變量服從二維正態(tài)分布,且與不相關(guān),分別表示的概率密度,則在的條件下,的條件概率密度為(A) (B)(C)(D)二、填空題(1116小題,每小題4分,共24分,請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上)(11)=_.(12)設(shè)為二元可微函數(shù),則=_.(13)二階常系數(shù)非齊次線性方程的通解為=_.(14)設(shè)曲面,則=_.(15)設(shè)矩陣,則的秩為_.(16)在區(qū)間中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù),則這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于的概率為_.三、解答題(1724小題,共86分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(17)(本題滿分11分)求函數(shù) 在區(qū)域上的最大值和最小值.(18)(本題滿分10分)計(jì)算曲面積分其中 為曲面的上側(cè).(19)(本題滿分11分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值,證明:存在,使得 .(20)(本題滿分10分)設(shè)冪級(jí)數(shù) 在內(nèi)收斂,其和函數(shù)滿足(1)證明:(2)求的表達(dá)式. (21)(本題滿分11分) 設(shè)線性方程組與方程有公共解,求的值及所有公共解.(22)(本題滿分11分)設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征向量值是的屬于特征值的一個(gè)特征向量,記其中為3階單位矩陣.(1)驗(yàn)證是矩陣的特征向量,并求的全部特征值與特征向量.(2)求矩陣.(23)(本題滿分11分)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為(1)求(2)求的概率密度.(24)(本題滿分11分)設(shè)總體的概率密度為是來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,是樣本均值(1)求參數(shù)的矩估計(jì)量.(2)判斷是否為的無偏估計(jì)量,并說明理由.2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)設(shè)函數(shù)則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(A)0(B)1 (C)2(D)3(2)函數(shù)在點(diǎn)處的梯度等于(A)(B)- (C)(D)(3)在下列微分方程中,以(為任意常數(shù))為通解的是(A)(B)(C)(D)(4)設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界,為數(shù)列,下列命題正確的是(A)若收斂,則收斂 (B)若單調(diào),則收斂(C)若收斂,則收斂(D)若單調(diào),則收斂(5)設(shè)為階非零矩陣,為階單位矩陣. 若,則 (A)不可逆,不可逆(B)不可逆,可逆 (C)可逆,可逆 (D)可逆,不可逆(6)設(shè)為3階實(shí)對(duì)稱矩陣,如果二次曲面方程在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)方程的圖形如圖,則的正特征值個(gè)數(shù)為(A)0(B)1(C)2(D)3(7)設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布且分布函數(shù)為,則分布函數(shù)為(A)(B) (C) (D) (8)設(shè)隨機(jī)變量,且相關(guān)系數(shù),則(A)(B)(C)(D)二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)微分方程滿足條件的解是. (10)曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(11)已知冪級(jí)數(shù)在處收斂,在處發(fā)散,則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?(12)設(shè)曲面是的上側(cè),則.(13)設(shè)為2階矩陣,為線性無關(guān)的2維列向量,則的非零特征值為.(14)設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的泊松分布,則.三、解答題(1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分10分)求極限.(16)(本題滿分10分) 計(jì)算曲線積分,其中是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段.(17)(本題滿分10分)已知曲線,求曲線距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn).(18)(本題滿分10分)設(shè)是連續(xù)函數(shù),(1)利用定義證明函數(shù)可導(dǎo),且.(2)當(dāng)是以2為周期的周期函數(shù)時(shí),證明函數(shù)也是以2為周期的周期函數(shù). (19)(本題滿分10分),用余弦級(jí)數(shù)展開,并求的和.(20)(本題滿分11分),為的轉(zhuǎn)置,為的轉(zhuǎn)置.證明:(1).(2)若線性相關(guān),則.(21)(本題滿分11分)設(shè)矩陣,現(xiàn)矩陣滿足方程,其中,(1)求證.(2)為何值,方程組有唯一解,求.(3)為何值,方程組有無窮多解,求通解.(22)(本題滿分11分)設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,的概率分布為,的概率密度為,記,(1)求.(2)求的概率密度. (23)(本題滿分11分) 設(shè)是總體為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.記, (1)證明是的無偏估計(jì)量.(2)當(dāng)時(shí) ,求.2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)當(dāng)時(shí),與等價(jià)無窮小,則(A) (B)(C)(D)(2)如圖,正方形被其對(duì)角線劃分為四個(gè)區(qū)域,則(A) (B)(C) (D) (3)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的圖形為1-2023-1O則函數(shù)的圖形為(A)0231-2-11(B) 0231-2-11(C)0231-11(D)0231-2-11(4)設(shè)有兩個(gè)數(shù)列,若,則(A)當(dāng)收斂時(shí),收斂.(B)當(dāng)發(fā)散時(shí),發(fā)散. (C)當(dāng)收斂時(shí),收斂.(D)當(dāng)發(fā)散時(shí),發(fā)散.(5)設(shè)是3維向量空間的一組基,則由基到基的過渡矩陣為(A)(B) (C)(D)(6)設(shè)均為2階矩陣,分別為的伴隨矩陣,若,則分塊矩陣的伴隨矩陣為(A)(B) (C)(D)(7)設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),則(A)0(B)0.3 (C)0.7(D)1 (8)設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,的概率分布為,記為隨機(jī)變量的分布函數(shù),則函數(shù)的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為(A)0(B)1 (C)2(D)3二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則 .(10)若二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為,則非齊次方程滿足條件的解為 .(11)已知曲線,則 .(12)設(shè),則 .(13)若3維列向量滿足,其中為的轉(zhuǎn)置,則矩陣的非零特征值為 .(14)設(shè)為來自二項(xiàng)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,和分別為樣本均值和樣本方差.若為的無偏估計(jì)量,則 .三、解答題(1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分9分)求二元函數(shù)的極值. (16)(本題滿分9分)設(shè)為曲線與所圍成區(qū)域的面積,記,求與的值.(17)(本題滿分11分)橢球面是橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成,圓錐面是過點(diǎn)且與橢圓相切的直線繞軸旋轉(zhuǎn)而成.(1)求及的方程.(2)求與之間的立體體積.(18)(本題滿分11分)(1)證明拉格朗日中值定理:若函數(shù)在上連續(xù),在可導(dǎo),則存在,使得.(2)證明:若函數(shù)在處連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,則存在,且.(19)(本題滿分10分)計(jì)算曲面積分,其中是曲面的外側(cè). (20)(本題滿分11分)設(shè),(1)求滿足的.的所有向量,.(2)對(duì)(1)中的任意向量,證明無關(guān).(21)(本題滿分11分)設(shè)二次型.(1)求二次型的矩陣的所有特征值;(2)若二次型的規(guī)范形為,求的值.(22)(本題滿分11分)袋中有1個(gè)紅色球,2個(gè)黑色球與3個(gè)白球,現(xiàn)有回放地從袋中取兩次,每次取一球,以分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個(gè)數(shù).(1)求.(2)求二維隨機(jī)變量概率分布.(23)(本題滿分11 分)設(shè)總體的概率密度為,其中參數(shù)未知,是來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.(1)求參數(shù)的矩估計(jì)量.(2)求參數(shù)的最大似然估計(jì)量. 2010年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)極限=(A)1(B)(C)(D) (2)設(shè)函數(shù)由方程確定,其中為可微函數(shù),且則=(A)(B)(C)(D) (3)設(shè)為正整數(shù),則反常積分的收斂性(A)僅與取值有關(guān)(B)僅與取值有關(guān)(C)與取值都有關(guān)(D)與取值都無關(guān)(4)= (A)(B) (C)(D)(5)設(shè)為型矩陣為型矩陣,若則(A)秩秩(B)秩秩 (C)秩秩(D)秩秩(6)設(shè)為4階對(duì)稱矩陣,且若的秩為3,則相似于(A)(B) (C)(D) (7)設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 則=(A)0(B)1 (C)(D)(8)設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度為上均勻分布的概率密度, 為概率密度,則應(yīng)滿足(A)(B) (C)(D)二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)設(shè)求= .(10)= .(11)已知曲線的方程為起點(diǎn)是終點(diǎn)是則曲線積分= .(12)設(shè)則的形心的豎坐標(biāo)= .(13)設(shè)若由形成的向量空間的維數(shù)是2,則= .(14)設(shè)隨機(jī)變量概率分布為則= .三、解答題(1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分10分)求微分方程的通解.(16)(本題滿分10分)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.(17)(本題滿分10分)(1)比較與的大小,說明理由.(2)記求極限(18)(本題滿分10分)求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).(19)(本題滿分10分)設(shè)為橢球面上的動(dòng)點(diǎn),若在點(diǎn)的切平面與面垂直,求點(diǎn)的軌跡并計(jì)算曲面積分其中是橢球面位于曲線上方的部分.(20)(本題滿分11分)設(shè)已知線性方程組存在兩個(gè)不同的解.(1)求(2)求方程組的通解.(21)(本題滿分11分)設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為且的第三列為(1)求(2)證明為正定矩陣,其中為3階單位矩陣.(22)(本題滿分11分)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求常數(shù)及條件概率密度(23)(本題滿分11 分)設(shè)總體的概率分布為123其中未知,以來表示來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(樣本容量為)中等于的個(gè)數(shù)試求常數(shù)使為的無偏估計(jì)量,并求的方差.2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一選擇題1. 曲線拐點(diǎn)A（1，0） B（2，0） C（3，0） D（4，0）2設(shè)數(shù)列單調(diào)遞減，無界，則冪級(jí)數(shù)的收斂域A(-1,1 B-1,1) C0,2) D(0,23. 設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處取得極小值的一個(gè)充分條件A B C D4.設(shè)A IJK B IKJ C JIK D KJI5.設(shè)A為3階矩陣，將A的第二列加到第一列得矩陣B，再交換B的第二行與第一行得單位矩陣。記則A=A B C D6. 設(shè)是4階矩陣，是A的伴隨矩陣，若是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系可為A B C D7.設(shè)為兩個(gè)分布函數(shù)，其相應(yīng)的概率密度是連續(xù)函數(shù)，則必為概率密度的是A B C D8. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且EX與EY存在，記U=maxx,y,V=x,y,則E(UV)=A EUEV B EXEY C EUEY D EXEV二填空題9. 曲線的弧長(zhǎng)s=_10. 微分方程滿足條件y(0)=0的解為y=_11. 設(shè)函數(shù)，則12. 設(shè)L是柱面方程為與平面z=x+y的交線，從z軸正向往z軸負(fù)向看去為逆時(shí)針方向，則曲線積分13. 若二次曲面的方程為，經(jīng)正交變換化為，則_三解答題15求極限16設(shè)，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)，且在x=1處取得極值g(1)=1,求17求方程不同實(shí)根的個(gè)數(shù)，其中k為參數(shù)。18證明：1）對(duì)任意正整數(shù)n，都有2）設(shè),證明收斂。19已知函數(shù)f(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,，其中，計(jì)算二重積分。20.，不能由，線性表出，求；將，由，線性表出。21.A為三階實(shí)矩陣，且（1） 求A的特征值與特征向量；（2）求A。22.X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）23. 設(shè)為來自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中已知，未知，和分別表示樣本均值和樣本方差。1） 求參數(shù)的最大似然估計(jì)2） 計(jì)算E()和D()2012年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）曲線漸近線的條數(shù)為（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則（A） （B）（C） （D）（3）如果在處連續(xù)，那么下列命題正確的是（ ）（A）若極限存在，則在處可微（B）若極限存在，則在處可微（C）若在處可微，則極限存在（D）若在處可微，則極限存在（4）設(shè) sinxdx(k=1,2,3),則有D（A）I1 I2 I3.(B) I2 I2 I3.(C) I1 I3 I1,(D) I1 I2 I3.（5）設(shè)其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的是（ ）（A） （B）（C） （D）（6）設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，則（ ）（A） （B） （C） （D）（7）設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)分布，則（）（8）將長(zhǎng)度為1m的木棒隨機(jī)地截成兩段，則兩段長(zhǎng)度的相關(guān)系數(shù)為（）二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.（9）若函數(shù)滿足方程及，則=_。（10） _。（11） _。（12）設(shè)則_。（13）設(shè)X為三維單位向量，E為三階單位矩陣，則矩陣的秩為_。（14）設(shè)是隨機(jī)事件，互不相容，,則_。三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）證明：（16）（本題滿分10分）求的極值。（17）（本題滿分10分）求冪級(jí)數(shù)x2n 的收斂域及和函數(shù)（18）（本題滿分10分）已知曲線，其中函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，。若曲線L的切線與x軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為1，求函數(shù)的表達(dá)式，并求此曲線L與x軸與y軸無邊界的區(qū)域的面積。（19）（本題滿分10分）已知是第一象限中從點(diǎn)沿圓周到點(diǎn)，再沿圓周到點(diǎn)的曲線段，計(jì)算曲線積分。（20）（本題滿分10分）設(shè)，（）求（）已知線性方程組有無窮多解，求，并求的通解。（21）（本題滿分