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教你運(yùn)用“三線合一”性質(zhì)江西 黃永源“三線合一”性質(zhì)是等腰三角形所特有的性質(zhì)，即等腰三角形底邊上的中線、頂角的平分線、底邊上的高線互相重合.該性質(zhì)其實(shí)包括如下三方面的內(nèi)容：如圖，ABC中，ABAC，D是BC上的一點(diǎn).（1）若AD是等腰ABC底邊BC上的中線，那么AD是頂角BAC的平分線，AD是底邊BC上的高線；（2）若AD是等腰ABC頂角BAC的平分線，那么AD是底邊BC上的中線，AD是底邊BC上的高線；（3）若AD是等腰ABC底邊BC上的高線，那么AD是頂角BAC的平分線，AD是底邊BC上的中線.顯然，“三線合一”性質(zhì)給我們提供了證明角相等、直線垂直、線段相等的新思想和新方法.在解答一些圖形有關(guān)的證明問題時(shí)，要注意靈活運(yùn)用它們，由此及彼.例1如圖，在ABC中，ABAC，BDCD，DEAB于E，DFAC于F，求證：DEDF.分析：依題意，DE和DF分別為點(diǎn)D到BAC兩邊的距離，要證明它們相等，可先證明點(diǎn)D在BAC的平分線上，這只要證明AD是BAC的平分線.證明：連接AD.ABAC，BDCD，AD是等腰ABC底邊BC上的中線.AD平分BAC.DEAB于E，DFAC于F，DEDF.說明：本題的解答過程中，運(yùn)用了等腰ABC底邊BC上的中線AD是頂角BAC的平分線的性質(zhì).例2如圖，ABC中，ABAC，BDAC于點(diǎn)D，求證：CBDBAC分析：為了得到BAC，可考慮作BAC的平分線這樣，把證明兩角成倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明兩角是相等關(guān)系證明：作BAC的平分線AE交BC于點(diǎn)E，那么BACABAC，AE平分BAC，AE是等腰ABC頂角BAC的平分線AEBC于點(diǎn)EAEC90，C90，BDAC于點(diǎn)D，BDC90，CBDC90CBDBAC說明：本題的解答過程中，運(yùn)用了等腰ABC頂角BAC的平分線是底邊BC上的高線的性質(zhì).例3如圖，在ABC中，ABAC，D在BA的延長線上，E在AC上，且ADAE，求證：DEBC.分析：注意到ABC是以BC為底邊的等腰三角形，那么底邊上的高與BC垂直.要證明DEBC，應(yīng)先證明DE與這條高平行.證明：過A作AFBC于F.ABAC，AFBC于F，AF是等腰三角形ABC底邊BC上的高線.AF平分BAC.BAC2BAF.ADAE，DAED.BACDAED2D.BAFD，DEAF

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