D6定積分的應(yīng)用習(xí)題課.pdf

習(xí)題課 1 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用 幾何方面幾何方面 面積 體積 弧長(zhǎng) 表面積 物理方面物理方面 質(zhì)量 作功 側(cè)壓力 引力 2 基本方法基本方法 微元分析法 微元形狀 條 段 帶 片 扇 環(huán) 殼 等 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定積分的應(yīng)用 第六六章 例例1 求拋物線 在 0 1 內(nèi)的一條切線 使它與 兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小 解解 設(shè)拋物線上切點(diǎn)為 則該點(diǎn)處的切線方程為 它與 x y 軸的交點(diǎn)分別為 所指面積 M B A 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 且為最小點(diǎn) 故所求切線為 得 0 1 上的唯一駐點(diǎn) M B A 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2 設(shè)非負(fù)函數(shù) 曲線 與直線 及坐標(biāo)軸所圍圖形 1 求函數(shù) 2 a 為何值時(shí) 所圍圖形繞 x 軸一周所得旋轉(zhuǎn)體 解解 1 由方程得 面積為 2 體積最小 即 故得 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 又 2 旋轉(zhuǎn)體體積 又 為唯一極小點(diǎn) 因此 時(shí) V 取最小值 x o y 1x o y 1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3 證明曲邊扇形 繞極軸 dsin 3 2 3 rVox rr x d rd 證證 先求 上微曲邊扇形 繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積 體積微元 r 故 dsin 3 2 3 rVox 旋轉(zhuǎn)而成的體積為 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xy2 2 4xxy o d5 dxu 故所求旋轉(zhuǎn)體體積為 xxxd5 2 22 5 1 5 75 16 xxxVd5 2 22 2 0 5 1 uVdd 2 A P xd2 ud 例例4 求由 xy2 與 2 4xxy 所圍區(qū)域繞 xy2 旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積 解解 曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 4 2 A曲線上任一點(diǎn) 4 2 xxxP 到直線 xy2 的距離為 2如圖為數(shù)軸以u(píng)xy u 則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5 半徑為 R 密度為 的球沉入深為H H 2 R 的水池底 水的密度 多少功 解解 建立坐標(biāo)系如圖 則對(duì)應(yīng) d xxx 上球的薄片提到水面上的微功為 1 dWxy d 2 提出水面后的微功為 2 dW dg 2 xRxy xxRxRd g 22 xxRHxRd g 22 0 H yx x yx o 現(xiàn)將其從水池中取出 需做 微元體積 所受重力 上升高度 g 0 xRH 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 因此微功元素為 21 dddWWW 球從水中提出所做的功為 WxxRxRH R R d 22 00 g 偶倍奇零 偶倍奇零 xxR R d 22 0 g2 00 RH H x o yx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6 設(shè)有半徑為 R 的半球形容器如圖 1 以每秒 a 升的速度向空容器中注水 求水深為 為h 0 h R 時(shí)水面上升的速度 2 設(shè)容器中已注滿水 求將其全部抽出所做的功最 少應(yīng)為多少 解解 過(guò)球心的縱截面建立坐標(biāo)系如圖 ox y 則半圓方程為 h R 設(shè)經(jīng)過(guò) t 秒容器內(nèi)水深為h thh 則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ox y h R 1 求 由題設(shè) 經(jīng)過(guò) t 秒后容器內(nèi)的水量為 而高為 h 的球缺的體積為 半球可看作半圓 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成 體積元素 yx d 2 22 2yyRx hVyyRy h d 2 2 0 故有 兩邊對(duì) t 求導(dǎo) 得 2 2 hRh a 2 2 hRh a at 升 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2 將滿池水全部抽出所做的最少功 為將全部水提 對(duì)應(yīng)于 yx d 2 微元體積 微元的重力 yx dg 2 薄層所需的功元素 ox R y yyRyRyd 2 g 2 故所求功為 R 0 g yyyRyRd 3