數(shù)學(xué)分析(1)(證明部分集錦新).doc

數(shù)列極限類(lèi)1. 證明: .證 因?yàn)橛?由迫斂原理得.2. 設(shè),證明有極限,并求此極限的值.證 由均值不等式得,即有下界.又,即單調(diào)減,于是存在,且由極限的保號(hào)性可得.對(duì)已知遞推公式,令和極限的唯一性得,解得(負(fù)根舍去),即有.單調(diào)性的證明也可如下完成:,或. 3. 設(shè),試證數(shù)列存在極限,并求此極限.證 由知, .假設(shè),則,由歸納法知為單調(diào)下降數(shù)列.又顯然有,所以有下界.由單調(diào)有界原理知,數(shù)列收斂.所以可令,對(duì)兩邊取極限得,解得或(舍去),故.4. 設(shè),當(dāng)時(shí),有且.求證極限與存在且等于.證 由得,由迫斂原理得,再由及可得存在且等于.5. 設(shè).求證: (1) 與均有極限; (2) .證 因?yàn)?所以,即單調(diào)減少有下界,而,即單調(diào)增加有上界.所以與都收斂.在兩邊取極限得.6. 設(shè),且,求證收斂且.證 因?yàn)?對(duì)給定的,當(dāng)時(shí),有,所以,當(dāng)時(shí),有,由迫斂原理得.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)7. 證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)根.證 令,則在上連續(xù),且,即.由根的存在性定理得至少存在一點(diǎn),使得,即方程在內(nèi)至少有一個(gè)根.8. 證明方程至少有一個(gè)小于的正根.(10分)證 令,則在上連續(xù)且,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理,，使得.9. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且滿(mǎn)足.若在上能取到負(fù)值,試證明:(1) ,使得; (2) 在上有負(fù)的最小值.證 由條件可設(shè)且,由,存在使得,由根的存在性定理,得,使得.(1)得證.(2) 由,存在使得當(dāng)時(shí),有.又在上連續(xù),故,使得.而當(dāng)時(shí),故對(duì)有.所以結(jié)論成立.10. 設(shè)為正整數(shù),為個(gè)實(shí)常數(shù),且.求證多項(xiàng)式函數(shù)在內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn).證 因?yàn)?又,所以存在,使得,又在和上都連續(xù),由根的存在性定理,和,使得,所以,結(jié)論成立.11. 設(shè),求的表達(dá)式,并指明的間斷點(diǎn)及其類(lèi)型.解: ,所以為第一類(lèi)可去間斷點(diǎn);為第二類(lèi)無(wú)窮間斷點(diǎn).12. 設(shè)在上連續(xù),且滿(mǎn)足,求證:,使得.證明:令,則在上連續(xù),.由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理,必存在,使得,故使得.13. 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù),且滿(mǎn)足條件.證明存在,使得.證明: 令,則在上連續(xù),且,.若,則存在或使得.若與都不為零,則由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理,必存在,使得,故使得.(注:兩個(gè)數(shù)的和為零,則這兩個(gè)數(shù)要么同時(shí)為零,要么,它們異號(hào)).14. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且滿(mǎn)足,若存在,使得,求證:(1) 使得;(2) 在上有負(fù)的最小值.證明: (1) 因?yàn)?由函數(shù)的局部保不等式性,存在充分大的(不妨設(shè)),使得時(shí),有,所以當(dāng)時(shí),在上連續(xù)且,由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理,存在使得.(2) 又在上連續(xù),故由最值定理,存在,使當(dāng)時(shí),而,且時(shí),.所以在上有負(fù)的最小值.15. 設(shè),若,求證.證法1（用導(dǎo)數(shù)定義）因?yàn)?.又,所以,所以.證法2（用重要極限1） 所以. 導(dǎo)數(shù)與微分證明16. 設(shè)證明: 在處可微; 在處不可微 證 因?yàn)?所以函數(shù)在處可導(dǎo),由可導(dǎo)與可微的關(guān)系知在處可微;又當(dāng)時(shí), ,而極限不存在,故在處不可導(dǎo), 由可導(dǎo)與可微的關(guān)系知在處不可微; 17. 設(shè)存在,證明: 證:18. 設(shè)為內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù),周期為.求證:也是以為周期的函數(shù).證明:因?yàn)?所以也是以為周期的函數(shù).中值定理的應(yīng)用19. 設(shè),證明多項(xiàng)式在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn). 證 作輔助函數(shù),則在閉區(qū)間滿(mǎn)足羅爾中值定理的三個(gè)條件,故存在使得,故在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).20. 設(shè)都是可導(dǎo)函數(shù),且,證明當(dāng)時(shí), 證 因?yàn)閲?yán)格單調(diào)增.當(dāng)時(shí), . 又由柯西中值定理得,存在使得.21. 對(duì)任意的,有,且等號(hào)只在時(shí)成立.證明: 令存在,使得,而,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),所以結(jié)論成立.22. 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且滿(mǎn)足,求證:存在,使得.提示:令,用羅爾中值定理可證.23. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)二階可導(dǎo),連結(jié)點(diǎn)與點(diǎn)的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于點(diǎn),其中.證明:存在,使得.證 因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn),所以.在及上分別應(yīng)用中值定理得:存在,使;存在,使,即.由于二階可導(dǎo),故函數(shù)在區(qū)間上滿(mǎn)足羅爾中值定理的條件,故,使得.24. 設(shè),證明不等式:.提示:在上用拉格朗日中值定理,注意將分母放大!25. 設(shè),證明不等式.26. 設(shè),證明不等式.證 將要證的不等式變形為,令,則在上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件,于是使得,又由與在上的連續(xù)性與單調(diào)性可得,所以,故要證的不等式成立.27. 已知在的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,證明:存在唯一的一組實(shí)數(shù),使當(dāng)時(shí),是比高階的無(wú)窮小量.證法1 （洛比達(dá)法則）令,并由要證可知,前三式的分子的極限都應(yīng)是零,可得到 (2)因?yàn)?故(2)有唯一非零解.故結(jié)論成立.28. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且及都存在.證明.證 當(dāng)時(shí),由條件知,函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo),故,使得.因?yàn)榧岸即嬖?所以=.29. 證明;當(dāng)時(shí), 證 令,則 .令,所以在內(nèi)單調(diào)增,則當(dāng)時(shí), ,從而,所以在內(nèi)單調(diào)增,則當(dāng)時(shí), .用單調(diào)性證明不等式30. 證明;當(dāng)時(shí), 證 令, ,當(dāng)時(shí),所以在內(nèi)單調(diào)增,故當(dāng)時(shí), 因而得在內(nèi)單調(diào)增, 故當(dāng)時(shí), .31. 設(shè),證明不等式:.32. 設(shè)，證明不等式。證明： 令，則，且，于是在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)增，故當(dāng)時(shí)，即，故。用最值證明不等式33. 證明: 令,則,令得函數(shù)在上有唯一駐點(diǎn),而,所以.34. 證明對(duì)任意的,不等式成立.證明: 設(shè),令,得函數(shù)在內(nèi)的唯一駐點(diǎn),而,又,因此,所以.35. 證明不等式,其中.證法1 用貝努利不等式.證法2 設(shè),令,可知函數(shù)有唯一駐點(diǎn).當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以是函數(shù)的最小值,故,即有,其中.36. 設(shè),則.證 要證的不等式等價(jià)于,令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為討論函數(shù)在內(nèi)的上界和下界.因?yàn)闉橛懻摵瘮?shù)在是否有駐點(diǎn).令,當(dāng)時(shí),在內(nèi)為減函數(shù),又由當(dāng)時(shí),而在內(nèi)為減函數(shù)又所以.也就是說(shuō)在內(nèi)為嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù),無(wú)駐點(diǎn).,所以. 證畢.37. 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,求證在內(nèi)單調(diào).證明: 因?yàn)?故在內(nèi)不變號(hào),若,則在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增. 若,則在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減.函數(shù)的凹凸性應(yīng)用38. 設(shè)在內(nèi)二階可導(dǎo),且.證明對(duì)于內(nèi)的任意兩點(diǎn)及,有.證 不妨設(shè),因?yàn)?故在內(nèi)凹函數(shù),由凹函數(shù)的定義得:對(duì)于內(nèi)的任意兩點(diǎn)及,有.39. 設(shè)在上連續(xù)，在存在階導(dǎo)數(shù)，對(duì)都有，則在內(nèi)至多有個(gè)零點(diǎn)。證 （用反證法）若在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，由Roll中值定理，存在，使得，同理，存在，使得，依此類(lèi)推，存在使得又由Roll中值定理，存在，使得此與條件矛盾。40. 設(shè)在上有階導(dǎo)數(shù)，且存在互不相同的點(diǎn)，使得，則存在使得。證 令，由條件知有互不相同的零點(diǎn)，由上題可得，存在，使得。泰勒公式41. 設(shè)函數(shù).證明: .證 當(dāng)時(shí),，又,所以,42. 設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù),且,其中為非負(fù)常數(shù),對(duì)任意的,證明:.證 將在處展開(kāi)成泰勒公式,將代入上式得所以,移項(xiàng)并用三角不等式得.43.假設(shè) (1)其中.又設(shè),試證明.證 由于存在,因此具有佩亞諾余項(xiàng)的階麥克勞林公式為. (2)(1)式兩邊分別減去(2)式的兩邊,并除以得所以,又,所以.44. 設(shè)在內(nèi)具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且,試證明:(1) 對(duì)于內(nèi)的任一,存在唯一的,使得成立;(2)* .證 (1) 任給非零,由拉格朗日中值定理得. 因?yàn)樵趦?nèi)連續(xù)且,所以在內(nèi)不變號(hào),不妨設(shè),則在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增,故唯一. (2) 方法1 對(duì)于非零的,由拉格朗日中值定理得由此可得,由因?yàn)樗? 方法2 將在處展開(kāi)成為泰勒公式得到在與之間.所以 ,即有，所以，由的連續(xù)性可得,于是.45. 設(shè)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且,試證明:(1) 對(duì)于內(nèi)的任一,存在唯一的,使得成立;(2)* .(注:該題是上一題目的減弱條件下的結(jié)論,應(yīng)注意證明方法的差異及其原因)證 (1) 對(duì)任意非零的,由拉格朗日中值定理得. 因?yàn)樵趦?nèi)二階可導(dǎo)且,所以由導(dǎo)數(shù)介值定理可知,在內(nèi)不變號(hào),則在內(nèi)單調(diào),于是在內(nèi)唯一. (2) 對(duì)于非零的,由拉格朗日中值定理得由此可得,因而.上式兩邊取極限,并對(duì)右邊用洛比達(dá)法則得到左邊右邊左邊最后得到.46. 應(yīng)用致密性定理證明：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在上有界.證明: 如果在上無(wú)界,則對(duì)任何正整數(shù),存在,使得.依次取,則得到數(shù)列.由致密性定理,它含有收斂子數(shù)列,記.由及數(shù)列極限的保不等式性,.利用在點(diǎn)連續(xù),推得 (1)另