第4章練習(xí)題-答案.pdf

高等代數(shù)第四章練習(xí)題 一 答案 部分 一 填空題 2 設(shè) A B是階方陣 n2 3AB 則 1 1 A BA B 1 1111111 1 5 5 6 n A BA BB A BA A BA B 4 設(shè)均為階方陣 滿足BA 303 BAAB 若1 EA 求 3 EB 3 333AE BEABABEE 故33AE BEE27 5 若階方陣nA與B只是第j列不同 給出AB 與AB 的關(guān)系等式 設(shè) 111111 jjnjj AB n 則 111 2 2 2 2 jjn AB 從而 1 111111 2 2 2 22 n jjnjj AB n 11 111111 2 2 nn jjnjjn AB 6 設(shè)方陣A滿足 則 2 20AAE 11 2 AAE 2 AEAE 0 故 2AE AE 不一定可逆 但 1 2AaE aa 都可逆 22 1 1 22 aEAaEAAa aEaaE 2 220aa 故只要A 則AaE 可 逆 且 1 2 1 1 22 aEAaE aa 2 2 3 4 AA AEEAEAEE 7 若階方陣nA滿足 3 0A 則 1 EA 3 0A 則 從而 3 EAE 2 EA EAAE 8 設(shè)A是一階可逆陣 知 則4 1 3000 0210 0330 0001 A A AAA E 故 1 AA A 3 1 1 27 27 AAA 則 1 3 A 9 設(shè) 212 520 34 A a B是3階非零矩陣 且0AB 則 a 0AB 則B的列向量組是的解 而0AX B非零 即0AX 有非零解 故0A 由此求 a 10 若是階方陣 BA n 0 0 A B 的伴隨矩陣是 1 000 0000 AAA E0 BBB E 把當(dāng)做可逆矩陣 則 BA 2 2 2 1 1 1 0 1 000 0 1 0000 1 0 n n n A BAAA B A B BBBA B A 此結(jié)果與的逆無關(guān) 當(dāng)不可逆時(shí)也成立 不再證明 BA BA 1 1 1 00000 00000 AAAB AA A B BBBA BB 12 設(shè)維向量n 0 0 0 T aaa E為階單位矩陣 n T AE 1 T BE a 若A的 逆矩陣為B 則 a 111 TTTTTT ABEEEEE aaa 即 2 12 1 0 T a aa 而 則0 T 2 12 10 a aa 解出 0a a 14 設(shè)A是階矩陣 3 n A的各行元素之和為 而0 0A 則 r A A的各行元素之和為 則有非零解 即00AX 1 1 1 T r An 而 由 0A A A秩之間的 關(guān)系可知 1r An 15 設(shè) A B是階方陣 且 nrAr r Bs 則 r A AB AB B r 0 A ABA 0 BB AB 前一個(gè)的第一列右乘B 加到第二列上 后一個(gè)第一行左乘A 加 到第二行上 16 設(shè)A是3階可逆方陣 將A的第一行的3 倍加到第三行 再互換第二行和第三行后得到矩陣B 則 1 BA 由A經(jīng)初等變換化為B的過程 可得矩陣的成績等式 100100 001010 010301 AB 從而 1 100100 001010 010301 BA 二 計(jì)算題二 計(jì)算題 2 設(shè)矩陣A的伴隨矩陣 且 1000 0100 1010 0308 A 11 3ABABAE 求矩陣B 3 8AA 知2A 非零 矩陣可逆 由 11 3ABABAE 得3ABBA 化為 3AE BA A可逆 左乘 得 1 A 1 3AAE BE 即 1 3EABE 即 11 3 BEA 1 1 A A A 代入得 2 1 1 2 1 112 1 2 6000000 0600000 3 3 12060100 03010303 BEA 3 設(shè) 求 130 013 001 A 2 1 AEAEB 1 2 BE 111 22 2 2 2 2 2 2 3 2 1 BEEAEAEAEAEAEAEAEA 故 1 1 2 2 3 BEE A 4 已知矩陣 且矩陣 100011 110 101 111110 AB X滿足AXABXBAXBBXAE 求X AXABXBAXBBXAE 則AXAAXBBXBBXAE 則 AX ABBX ABE 則 AB X ABE 故 2 XAB 5 設(shè)階方陣nA可逆 且滿足 其中 0f A 1 11 nn nn0 f xa xaxa xa 是一非零次多項(xiàng) 式 求 n 1 A 舉個(gè)例子 若A滿足 則 32 230AAAE 32 23AA 2 2 3E A AAEE 則 A 12 1 2 3 AAAE 事實(shí)上 若 則 0 0a 12 121 nn nn0 A a AaAa Aa Ea E 則 112 12 0 1 nn nn Aa AaAa A a 1 a E 0 若 不妨設(shè) 而 則 0 0a 0 k a 1210 0 kk aaaa 11 11 0 nnkk nnkk a AaAaAa A 即 1 11 kn kn k nnkk A a AaAaAa E 而A可逆 故 常數(shù)項(xiàng)非零 如上也可求 1 11 0 n kn k nnkk a AaAaAa E 1 A 三三 證明題證明題 1 設(shè)A為2階矩陣且 5 0A 證明 1 EAE A 1234 EAEAAA A 對(duì)A 5 0A 則0A 故 2r A 故 則 r Anr AEn m n AR n m BR 則 AB 二 1 設(shè) 2 XAXAE 其中 求矩陣 101 020 101 A X 2 A XEAEA EA 001 010 100 EA 可逆 則XEA E 2 設(shè) 求可逆矩陣與 使得 1200 1111 0111 A PQ 0 00 r E PAQ 5 將A經(jīng)初等行 列變換化為標(biāo)準(zhǔn)形 然后把變換過程用矩陣乘積等式寫出來即可求得 3221 21 1 1 2 1200120012001000 1111011101110111 0111011100000000 rrrr ll 3242 1 1 1000 0100 0000 llll 從而 12001000 1001001000 01000111 0101100100 00100010 0110010000 00010001 A 4 設(shè)A是方陣 且 證明 2 A A 21 nn AEE A AEEA 乘積交換 二項(xiàng)式展開整理 5 設(shè) A B為n階方陣 證明 AB ABAB BA 0 ABABABB BAABABAB 即 00 0 EABEABB EEBAEEAB 則 6 已知A可逆 證明 AA AA 可逆 并其逆矩陣 0 0202 AAAAA AAAA 00 002 EAAEEA 即 EEAAEA 從而 11 00 020 AAEAEE AAEEAE 故 11 11 11 11 11 11 00 1 22 002112 22 AA AAEEAEAA AAEAEEAA AA 6 高等代數(shù)第四章練習(xí)題 四 答案 部分 二 計(jì)算題 3 解矩陣方程 若記為 10041 20130 01057 X AXB A可逆 則 1 XA B 另一個(gè)問題 若 10041 21130 01152 X A不可逆 如何求 取列分塊 1212 A XX 則 112 AXAX 2 從而矩陣方程化為兩個(gè)線性方程組 系數(shù)矩陣 相同 常數(shù)項(xiàng)分別為B的兩個(gè)列向量 這樣單獨(dú)計(jì)算兩個(gè)線性方程組 若都有解 則矩陣方程有解 若有一 個(gè)無解 則矩陣方程無解 計(jì)算如下 100 41100 41100 41 211 30011 52011 52 011 52011 52000 00 1 都有解 1 AX 的通解表達(dá)式 任意 1 4 5 0 0 1 1 TT k 2 1 k 2 AX 的通解表達(dá)式 任意 2 1 2 0 0 1 1 TT k 2 k 則 的解 10041 21130 01152 X 1212 12 41410000 52521001 001001 Xkkkk kk 有點(diǎn)類似線性方程組的通解表達(dá)式 三 證明題 2 設(shè)A是m矩陣 n B是矩陣 其中n