第三章隨機信號分析基礎習題.pdf

第三章習題 習題3 3 習題3 12 習題3 4 習題3 13 習題3 5 習題3 14 習題3 10 習題3 16 3 3 寬平穩(wěn)和寬各態(tài)歷經的概念 若隨機過程滿足 則該隨機過程是寬平穩(wěn)隨機過程 RX t 1 t2 E X t 1 X t2 RX t2 t1 E X t mX E X 2 t 寬各態(tài)歷經 則該隨機過程是各態(tài)歷經的 值得注意的是 這兩種性質不是等價的 即寬平 穩(wěn)隨機過程不一定是寬各態(tài)歷經的 但寬各態(tài)歷 經隨機過程一般是寬平穩(wěn)的 E X t lim T 1 2T x t dt T T RX lim T 1 2T x t x t dt T T 首先討論平穩(wěn)性 由題可知 E X t S t 1 T d 0 T 1 T S d t t T const RX t1 t2 E X t1 X t2 S t1 S t2 0 T 1 T d t2 t1 1 T S t1 0 T S t1 d 綜合以上討論 該隨相周期過程是寬平穩(wěn)的 t1 RX t1 t2 1 T S S d t1 t1 T RX E X 2 t S 2 t 0 T 1 T d 1 T S 2 t t T d 現(xiàn)在討論各態(tài)歷經性 X t lim T 1 2T s t dt T T 1 T s t dt 0 T 1 T s d 0 T E X t 綜上所討論 該隨機過程是各態(tài)歷經的 X t X t lim T 1 2T x t x t dt T T lim T 1 2T s t s t dt T T 1 T s s d 0 T RX 3 4 本題實際上是3 3題的一個特例 可以直接引 用3 3題的結論 該隨相周期過程是各態(tài)歷經的 所以有 E X t X t lim T 1 2T S t t0 dt0 T T 1 T S d 0 T 1 T 1 2 T 4 a a 8 也可直接由定義得到 E X t S t t0 1 T dt0 0 T 1 T S d 0 T 1 T 1 2 T 4 a a 8 3 5 仍然由各態(tài)歷經的定義 顯然該隨機過程均值具有各態(tài)歷經性 X t lim T 1 2T acos 0t T T dt 0 E X t E A E cos 0t E A cos 0t 0 2 1 2 d 0 現(xiàn)在考察自相關函數(shù)是否具有各態(tài)歷經性 X t X t lim T 1 2T A2 T T cos 0t cos 0t 0 dt A2 2 lim T 1 2T cos 2 0 T T t 0 cos 0 dt A2 2 cos 0 所以該隨機過程不具有各態(tài)歷經性 A不是常量而是隨機變量 RX t1 t2 E A2 E cos 0t cos 0t 0 1 2 E A2 cos 0 A2 E A2 3 6 本題是3 5題的一個推廣 當A不是隨機變量時 有 X t X t lim T 1 2T A2 T T cos 0t cos 0t 0 dt A2 2 cos 0 E X t X t E A2 E cos 0t cos 0t 0 1 2 E A2 cos 0 1 2 E A2 cos 0 A2 2 cos 0 3 10先復習一下平穩(wěn)過程自相關函數(shù)的兩條性質 1 RX 0 E X2 t 2 不包含任何周期分量的非周期平穩(wěn)過程滿足 lim RX RX mX 2 RX 4e cos cos3 E X 2 t RX 0 5 mX 2 lim 4e cos 0 2 E X 2 t mX 2 5 噪聲分量 信號分量 功率信噪比 RX 4e cos cos3 RX 1 RX 2 P N RX 1 0 4 P S RX 2 0 1 SNR 1 4 3 12 先討論平穩(wěn)性 E X t E Acos t E A E cos tcos sin tsin E A E cos t E cos E sin t E sin 0 E cos cos 1 2 d 0 E sin sin 1 2 d 0 可知該隨機過程是寬平穩(wěn)的 E X t X t E A2 E cos t cos t 8 1 2 E cos 2 t 2 cos 4E cos 4cos 1 10 5 5 d 4sin5 5 E X 2 t RX 0 4 現(xiàn)在討論各態(tài)歷經性 X t lim T 1 2T X t dt T T lim T 1 2T Acos t dt T T lim T A 2 T cos t d t T T lim T A 2 T dsin t T T lim T Acos sin T T 0 E X t 故該隨機過程不具有各態(tài)歷經性 X t X t lim T 1 2T A2 T T cos t cos t dt A2 2 cos 4sin5 5 3 13 已知 可得 RX 2e 2 cos 0 R Y 9 e 3 2 mX 2 RX 0m Y 2 R Y 9 E Z t E VX t Y t E V E X t E Y t 0 由方差的定義 D Z t E Z 2 t E 2 Z t E Z 2 t E V 2 E X 2 t E Y 2 t 13 RX 0 R Y 0 13 2 10 260 D Z t 260 由自相關函數(shù)的定義 另外一種求方差的方法 RZ E Z t Z t E V 2 X t X t Y t Y t E V 2 E X t X t E Y t Y t 13 RX R Y 26e 2 cos 0 9 e 3 2 D Z t RZ 0 E 2 Z t 260 3 14 當N t 均值為零 并與X t 相互獨立時 RXY E X t Y t E aX t X t 1 X t N t aRX 1 RXN RXY aRX 1 E X t E N t aRX 1 m x0 50890 52920 5102 均值理論值 maen x 0 50890 52920 5102 X 2 k k 1 k X 2 k 1 1 k xk mX k 1 2 1 略 2 進行三次運算 結果比較如下 v x0 07490 08550 0926 方差理論值 var x 0 07250 08270 0898 3 25 題中RND修改為RAND 方差遞推公式修改為 RSA 3 25 m References Random Signal Analysis CopyRight L Created November 2nd 08 clc clear all close