2020高考數(shù)學(xué)（理）模擬卷含答案解析（1）

2020高考數(shù)學(xué)（理）模擬卷（1）（本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）第I卷（選擇題)一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知集合，集合，則（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】求出集合，根據(jù)交集定義計(jì)算【詳解】集合，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題2設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）ABCD【答案】D【解析】【分析】對(duì)于復(fù)數(shù)除法計(jì)算，通過分母實(shí)數(shù)化計(jì)算的值，再求的值.【詳解】因?yàn)椋?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，難度較易.分式型復(fù)數(shù)計(jì)算，常用的方法是分母實(shí)數(shù)化.3命題“，”的否定是（ ）A，B，C，D，【答案】D【解析】 根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系，可知命題“”的否定為“”，故選D.4若，則（ ）ABCD【答案】A【解析】故選點(diǎn)睛：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則（1）一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的區(qū)別和聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）而看“函數(shù)名稱”看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用公式，常見的有“切化弦”；（3）三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式通分”等.5設(shè)向量，滿足，則( )A2BCD【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合向量的運(yùn)算法則求解其模即可.【詳解】由題意結(jié)合向量的運(yùn)算法則可知：.本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的運(yùn)算法則，向量的模的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6已知數(shù)列為等比數(shù)列，為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且， ，則（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，求得，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求解的值，得到答案【詳解】由題意，等比數(shù)列為等比數(shù)列，滿足， 根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，可得，所以，則，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題7在的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為（ ）ABCD【答案】C【解析】因?yàn)?所以容易得C正確.8某長(zhǎng)方體被一個(gè)平面所截，得到幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的表面積為（ ）A16BCD【答案】D【解析】【分析】由題可得該幾何體為長(zhǎng)方體被與底面成一定角度的平面截取后的幾何體.畫出圖像逐個(gè)面求解即可.【詳解】畫出該幾何體的主觀圖,由三視圖知,.故,.故表面積 故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求幾何體的表面積問題,需要根據(jù)三視圖畫出主觀圖進(jìn)行分析,屬于中等題型.9將甲、乙等6位同學(xué)平均分成正方，反方兩組舉行辯論賽，則甲、乙被分在不同組中的概率為( )ABCD【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合排列組合公式和古典概型計(jì)算公式確定滿足題意的概率值即可.【詳解】由題意可知，甲乙被分在不同組的分組組數(shù)為：，所有的分組組數(shù)為：，結(jié)合古典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值為：.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.10已知函數(shù)是一個(gè)求余數(shù)函數(shù)，表示除以的余數(shù)，例如.如圖是某個(gè)算法的程序框圖，若輸入的值為，則輸出的值為（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，根據(jù)題意，大于的約數(shù)有：共個(gè)，即可得解.【詳解】模擬執(zhí)行程序框圖，可得：，滿足條件，；滿足條件，；滿足條件，；滿足條件，；，可得程序框圖的功能是統(tǒng)計(jì)大于的約數(shù)的個(gè)數(shù)，由于約數(shù)有：共個(gè)，故故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，依次正確寫出每次循環(huán)得到的的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題11已知函數(shù)，.若，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】先計(jì)算的值域?yàn)椋儆?jì)算在上的值域?yàn)?，根?jù)題意得到，計(jì)算得到答案.【詳解】，所以的值域?yàn)?因?yàn)?，所以在上的值域?yàn)橐李}意得，則解得.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)值域求參數(shù)范圍，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.12已知是拋物線的焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則的離心率（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，然后求出拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形是等邊三角形求出，的關(guān)系式，結(jié)合離心率公式，計(jì)算可得所求值【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：，聯(lián)立拋物線的準(zhǔn)線方程與雙曲線的漸近線方程，解得，可得，為等邊三角形，可得，即有，則故選：D【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，雙曲線方程和性質(zhì)，考查分析問題解決問題的能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題第II卷（非選擇題)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。13設(shè)曲線y=x4+ax+3在x=1處的切線方程是y=x+b，則a=_；【答案】-3 【解析】因?yàn)閥=4x3+a，所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及題設(shè)條件可得切線的斜率k=4+a=1，解之得a=-3，應(yīng)填答案-3 。14中國(guó)光谷（武漢）某科技公司生產(chǎn)一批同型號(hào)的光纖通訊儀器，每臺(tái)儀器的某一部件由三個(gè)電子元件按如圖方式連接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則該部件正常工作.由大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示：三個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服從正態(tài)分布，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立.現(xiàn)從這批儀器中隨機(jī)抽取1000臺(tái)檢測(cè)該部件的工作情況（各部件能否正常工作相互獨(dú)立），那么這1000臺(tái)儀器中該部件的使用壽命超過10000小時(shí)的平均值為_臺(tái).【答案】375【解析】【分析】先求得元件和并聯(lián)電路正常工作的概率，乘以元件正常工作的概率，由此求得部件正常工作超過小時(shí)的概率.利用二項(xiàng)分布均值計(jì)算計(jì)算公式，計(jì)算出臺(tái)儀器中該部件的使用壽命超過小時(shí)的平均值.【詳解】由正態(tài)分布可知，每個(gè)元件正常工作超過10000小時(shí)的概率為，則部件正常工作超過10000小時(shí)的概率為，又1000臺(tái)儀器的該部件工作服從二項(xiàng)分布，所以平均值為臺(tái).故答案為：375【點(diǎn)睛】本小題主要考查相互獨(dú)立事件概率計(jì)算，考查二項(xiàng)分布的識(shí)別和二項(xiàng)分布期望的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.15在三棱錐中，兩兩垂直，三棱錐的側(cè)面積為13，則該三棱錐外接球的表面積為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)側(cè)面積計(jì)算得到，再計(jì)算半徑為，代入表面積公式得到答案.【詳解】三棱錐的側(cè)面積為，所以故該三棱錐外接球的半徑為：，球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.16已知實(shí)數(shù)x、y滿足條件（i為虛數(shù)單位），則的最小值是_【答案】4【解析】【分析】本題本質(zhì)是線性規(guī)劃問題，先作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義將的最大值和最小值轉(zhuǎn)化成定點(diǎn)與區(qū)域中的點(diǎn)的距離最大與最小的問題，利用圖形求解【詳解】如圖，作出對(duì)應(yīng)的區(qū)域，由于zx+yi（i為虛數(shù)單位），所以表示點(diǎn)（x，y）與D（7，3）兩點(diǎn)之間的距離，由圖象可知的最小值為D到A（3，3）的距離，即，故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的模的幾何意義，考查了一定點(diǎn)與區(qū)域中的一動(dòng)點(diǎn)距離最值的問題，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必做題,每個(gè)考生都必須作答.第22/23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17在中，角，、的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，且，求的面積.【答案】(1) . (2) 【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到，計(jì)算得到答案.（2）化簡(jiǎn)得到，即，再計(jì)算得到，代入面積公式得到答案.【詳解】（1），.，.（2），即，即.，.，.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，面積公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.18如圖，在直四棱柱中，底面為梯形，點(diǎn)在線段上，.（1）證明：平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析 (2) 【解析】【分析】（1）連接，證明得到四邊形為平行四邊形，故得到證明.（2）作于，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，軸，計(jì)算平面的法向量為，平面的法向量為，計(jì)算夾角得到答案.【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)榈酌鏋樘菪?，則，且，所以四邊形為平行四邊形，則.又平面，平面，所以平面.（2）作于，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得.所以因?yàn)槎娼菫殇J角，所以其余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行，二面角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.192019年6月，國(guó)內(nèi)的運(yùn)營(yíng)牌照開始發(fā)放.從到，我們國(guó)家的移動(dòng)通信業(yè)務(wù)用了不到20年的時(shí)間，完成了技術(shù)上的飛躍，躋身世界先進(jìn)水平.為了解高校學(xué)生對(duì)的消費(fèi)意愿，2019年8月，從某地在校大學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查，樣本中各類用戶分布情況如下：用戶分類預(yù)計(jì)升級(jí)到的時(shí)段人數(shù)早期體驗(yàn)用戶2019年8月至2019年12月270人中期跟隨用戶2020年1月至202l年12月530人后期用戶2022年1月及以后200人我們將大學(xué)生升級(jí)時(shí)間的早晚與大學(xué)生愿意為套餐支付更多的費(fèi)用作比較，可得出下圖的關(guān)系（例如早期體驗(yàn)用戶中愿意為套餐多支付5元的人數(shù)占所有早期體驗(yàn)用戶的）.（1）從該地高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生愿意在2021年或2021年之前升級(jí)到的概率；（2）從樣本的早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中愿意為升級(jí)多支付10元或10元以上的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）2019年底，從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人，這三位學(xué)生都已簽約套餐，能否認(rèn)為樣本中早期體驗(yàn)用戶的人數(shù)有變化？說明理由.【答案】（1）（2）詳見解析（3）事件雖然發(fā)生概率小，但是發(fā)生可能性為0.02，所以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶沒有發(fā)生變化，詳見解析【解析】【分析】（1）由從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生在2021年或2021年之前升級(jí)到，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解；（2）由題意的所有可能值為，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，分別求得相應(yīng)的概率，得到隨機(jī)變量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）設(shè)事件為“從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人，這三位學(xué)生都已簽約套餐”，得到七概率為，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生在2021年或2021年之前升級(jí)到的概率估計(jì)為樣本中早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶的頻率，即.（2）由題意的所有可能值為，記事件為“從早期體驗(yàn)用戶中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生愿意為升級(jí)多支付10元或10元以上”，事件為“從中期跟隨用戶中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生愿意為升級(jí)多支付10元或10元以上”，由題意可知，事件，相互獨(dú)立，且，所以，所以的分布列為0120.180.490.33故的數(shù)學(xué)期望.（3）設(shè)事件為“從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人，這三位學(xué)生都已簽約套餐”，那么.回答一：事件雖然發(fā)生概率小，但是發(fā)生可能性為0.02，所以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶沒有發(fā)生變化.回答二：事件發(fā)生概率小，所以可以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶人數(shù)增加.【點(diǎn)睛】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，數(shù)學(xué)期望的求解及應(yīng)用，對(duì)于求離散型隨機(jī)變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機(jī)變量的可能取值，計(jì)算得出概率，列出離散型隨機(jī)變量概率分布列，最后按照數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出數(shù)學(xué)期望，其中列出離散型隨機(jī)變量概率分布列及計(jì)算數(shù)學(xué)期望是理科高考數(shù)學(xué)必考問題.20已知直線與拋物線：交于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，過作的垂線交軸于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)弦最長(zhǎng)時(shí)，求直線的方程.【答案】(1) . (2) 或.【解析】【分析】（1）設(shè)，代入拋物線相減得到，再根據(jù)計(jì)算得到答案.（2）直線的方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，代入計(jì)算得到得到答案.【詳解】（1）設(shè)，則兩式相減得.因?yàn)?，所以直線的斜率一定存在，設(shè)直線的斜率為，所以.因?yàn)?，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）由（1）知，直線的斜率一定存在，且不為0，設(shè)直線的斜率為，則，即，所以直線的方程為.聯(lián)立得，則，.由，可得，所以.設(shè)，令，可知，此時(shí)，即，所以當(dāng)弦最長(zhǎng)時(shí)，直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.21已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求，的值和的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1），的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）3.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得到，根據(jù)切線方程計(jì)算得到，代入導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）討論，兩種情況，變換得到，設(shè)，求函數(shù)的最小值得到答案.【詳解】（1），由切線方程，知，解得，.故，由，得；由，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，則.當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立.令，.令，則對(duì)恒成立，所以在上單調(diào)遞增.又，所以，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，又，則，故，整數(shù)的最