初三數(shù)學同步輔導教材第5講.doc

初三數(shù)學同步輔導教材（第5講）一、本周教學進度：6.3 ，6.4二、教學內(nèi)容：本周我們主要學習 解直角三角形的基本方法 解直角三角形的應(yīng)用三、重點、難點剖析學習銳角三角函數(shù)后，在 RtABC中，C90o有如下的關(guān)系：邊與邊間的關(guān)系a2b2c2 (勾股定理)角與角間的關(guān)系A(chǔ)B90O（兩銳角互為余角）邊、角間的關(guān)系 sinA , cosA, tgA， ctgA（銳角三角函數(shù)定義）上面這些關(guān)系是解直角三角形的工具，必須牢牢掌握在解直角三角形的問題中，除了要掌握好上述工具外，還應(yīng)當注意哪些呢？我們知道，三角形的三條邊、三個角是三角形的六個元素解直角三角形是給出其中某些元素，把其余元素都求出來的過程，除了要掌握上述的工具外，還應(yīng)當知道給出哪些條件，才能求出其余元素顯然，只有當所給條件能確定唯一的一個直角三角形時，這個直角三角形才是可解的對照兩個直角三角形全等的判定定理我們將具有下面的條件之一的直角三角形，稱為可解直角三角形：（） 已知直角三角形的兩邊；（） 已知直角三角形的一邊及一銳角 當一個直角三角形唯一確定時，它的周長、面積也應(yīng)當是唯一確定的，因此解直角三角形時，除了邊、角以外，還可求與周長、面積有關(guān)的問題今后在學了“圓”以后，其內(nèi)容將更加豐富四、典型例題例 根據(jù)下列條件解直角三角形 （）在 RtABC中，C90o，c10，A30o. （）在RtABC中，C90o，a50，c. 解 （）A30O， 90O30O60O. 又 sinAsin30O， a. cosAcos30O， b. 或由勾股定理得b.說明 通過本例可看出在學習了三角函數(shù)后，通過邊角間的三角函數(shù)關(guān)系解三角形更為簡便 （） sinA，又 A為銳角， A45O. B90OA45O. sinB， bc Z sinB50.說明 熟記三角函數(shù)定義和特殊角的三角函數(shù)值，在解題中可提高解題速度.例2 已知ABC中，ABAC，BC30，S，求此三角形頂角的度數(shù)及周長分析 作等腰三角形底邊上的高AD，這樣就把斜三角形問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題由ABC的面積和底邊長可求得高AD的長，則直角三角形ABD是一個可解三角形解 作ADBC，D為垂足 SABCxBCxAD， AD BDDCBC15,在RtABD中，ctgBAD則BAD60O, BAC120O.又 sin60O，ABABACBC答 ABC的頂角度數(shù)為120O，周長為例 如圖，鐵路的路基橫斷面是等腰梯形，斜坡AB的坡度為，坡面AB的水平寬度為米，基面AD寬米，求路基高AE、坡角B和基底BC的寬分析 由已知，垂足E和點B間的線段BE的長是坡面AB的水平寬度，斜坡AB的坡度就是指tgB，由此可見ABE是可解的直角三角形由于等腰三角形是軸對稱圖形從RtABE中求得BE后，就不難得到基底BC的值解 在RtABE中，BE米 斜坡AB的坡度為， tg，則B30O.AEBE Z tgB3（米）又 等腰梯形是軸對稱圖形， BCADBE（米）答 路基高AE的長為3米，坡角B為30o，基底BC寬為（26）米說明 由于題中沒有精確度的要求，所以結(jié)果中可保留根號例 在海岸旁高200米的山頂上測得正西和正東兩船的俯角為15o和75o，求兩船間的距離（已知tg15o）分析 為了使實際問題表現(xiàn)得更直觀、形象，通常都是畫個示意圖（見右圖），這樣就十分清楚的看到欲求BC之長，可通過解直角三角形ABD和ADC去解決解 如圖， 在RtABD中，B15O,AB200米， BDAD Zctg15O200x().在RtACD中，C75O, AD200米，DCAD Zctg75OAD Ztg15O 200x().則BCBDDC200x()200x()800（米）答 兩船間的距離為800米說明 （）由點A觀察點B的俯角就是點B觀察點A的仰角，即ABD；（）ctg75Octg(90o15o)tg15o；ctg15O例 在矩形ABCD中，對角線AC10,面積為25,求兩對角線所夾角的度數(shù)分析 如圖，求矩形ABCD的兩條對角線夾角指AOB與BOC，由于AOB、BOC都不是直角三角形，而AOBACB，因此，從RtABC考慮問題解決的途徑 解 設(shè)ACB，ABx，BCy根據(jù)題意，得x2y2102, xy25.解方程組 x2y2102, x2 Z y2252 Z 3 設(shè)x2 、y2是一元二次方程t2102t3 Z 252的兩個根，解此方程得t75, t225, 則x225，x5(舍去負值)， y275， y5 (舍去負值) 在RtABC中， tg, 30o. 則AOB60O, BOC120O. 答 兩條對角線所夾角的度數(shù)是60O或120O. 說明 雖然RtABC是可解的三角形，但是在等式xy25中不易求出x、y的值，因此必須要組成一個關(guān)于x、y的方程組，在解答中之所以把xy25變?yōu)閤2 Z y225 Z 3，是因為既可避免開方的困難，又能達到利用根與系數(shù)關(guān)系的目的例 已知銳角ABC中，AC4,sinA、sin是方程4x220的兩個根，且sinAsinB求AB、BC、C分析 由于ABC不是直角三角形，A、B不是互余的兩角，所以sinA與sinB沒有直接關(guān)系，因此只能從解方程入手 解 解方程4x22 得 ， x1， x2 sinAsinB， sinA，sinB又 A、B均為銳角， A45o, 60o，則75O.見圖，作CDAB，D為垂足在RtACD中，A45o, AC4,則ADCDAC Zcos45o在RtBCD中，B60o, CD, 則BDCD Zctg60o, BCBD ABADBD答 AB，BC，C75o.例 如圖，四邊形ABCD中，BAD60o，BD90o，BC11,CD2,求對面線AC的長分析 雖然ABC與ACD都是直角三角形，但都不可能利用邊角關(guān)系直接求得AC的長，考慮到BAD60o, B90o的特殊條件，因此可設(shè)法得到一個特殊的直角三角形從而再去尋求途徑解 延長AD、BC相交于點E.在RtABE中，BAE60o, E30O.在RtCDE中，E30O，CD2， CE4 BC11， BEBCCE15則RtABE中，ABBE ZtgE.在RtABC中，由勾股定理，得AC練習一、選擇題 在ABC中，C90O，若ACAB1:2，則A與B的度數(shù)比為（ ） 已知等腰三角形三邊長分別為、和，則它的一個底角為（ ） .150O .60O .45O .30O 等邊三角形的高為5,則它的面積為（ ） .150 .150 .50 .25 直角三角形中，一銳角的正切值為3/4，周長為24，則斜邊長為（ ） .10 .12 .14 .15 菱形的邊長為，一條對角線的長是另一條對角線長的倍，則菱形的面積是（ ） 2 1 4二、填空題 在RtABC中，C90O，若a2，sinA，則c ，b SABC在ABC中，C90O，AB，tgB，則ACBC ABC中，ABAC，ADBC，D為垂足，若ADBC，則sinB，BAC ABC中，C90O，SABC，a10,則AO 10. ABC中，AB90O,cosA，則sinB，若c10, 則a 三、解答題11. 如圖，甲、乙兩幢樓相距30米，從乙樓底B望 甲樓頂D仰角為45o,從甲樓頂D望乙樓頂A的 俯角為30o. 求乙樓高AB（保留兩個有效數(shù)字）12. 如圖，在RtABC中，C90O，AC6，AC邊上的中線BD，解 這個直角三角形 (第題) （第題）13. 如圖，海岸上有相距120米的A、B兩點，分別由A、B觀察海上的一艘船C， 測得CAB45o, CBA60O,求船到海岸AB的距離CD.14. 如圖，在小山頂上有座電視塔，塔高AB為32米，從地面上一點D測得塔頂仰角 為60o,從山頂B測得點D的俯角為45o,求小山的高BC（精確到米）答 案 與 提 示答案一、 、二、 c, b,S；AC6, BC4；sinB，BAC60O；60O；10. , 8.三、11. 13米； 12. BC，AB4，A30O, ABC60O；13. (18060)米； 14. 44米提示 設(shè)AC3x，則BC2x，由勾股定理得 (3x)2(2x)2（）2, 解得x2. 11. 作AECD于E，則AEBC30米. 在RtADE中，DAE30O，AE30,