必修五第二章數列教案高一數學必修五《2.3等差數列求和》教案.doc

（一）教學目標1知識與技能:通過實例，理解等差數列的概念；探索并掌握等差數列的通項公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現數列的等差關系并能用有關知識解決相應的問題；體會等差數列與一次函數的關系。2. 過程與方法:通過對歷史有名的高斯求和的介紹，引導學生發(fā)現等差數列的第k項與倒數第k項的和等于首項與末項的和這個規(guī)律；由學生建立等差數列模型用相關知識解決一些簡單的問題，進行等差數列通項公式應用的實踐操作并在操作過程中，通過類比函數概念、性質、表達式得到對等差數列相應問題的研究。3情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生利用學過的知識解決與現實有關的問題的能力。（二）教學重、難點重點：探索并掌握等差數列的前n項和公式；學會用公式解決一些實際問題，體會等差數列的前n項和與二次函數之間的聯系。難點：等差數列前n項和公式推導思路的獲得，靈活應用等差數列前n項公式解決一些簡單的有關問題（三）學法與教學用具學法：講練結合教學用具：投影儀（四）教學設想創(chuàng)設情景新$課$標$第$一$網新課 標 第 一 網 等差數列在現實生活中比較常見，因此等差數列求和就成為我們在實際生活中經常遇到的問題。在200多年前，歷史上最偉大的數學家之一，被譽為“數學王子”的高斯就曾經上演了迅速求出等差數列這么一出好戲。那時，高斯的數學老師提出了下面的問題：1+2+3+100=？當時，當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+（50+51）=10150=5050高斯的算法實際上解決了求等差數列1，2，3，n，前100項的和的問題。 今天我們就來學習如何去求等差數列的前n項的和。探索研究 我們先來看看人們由高斯求前100個正整數的方法得到了哪些啟發(fā)。人們從高斯那里受到啟發(fā)，于是用下面的這個方法計算1，2，3，n，的前n項的和：由 1 + 2 + + n-1 + n n + n-1 + + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ +（n+1）+（n+1）可知上面這種加法叫“倒序相加法” 請同學們觀察思考一下：高斯的算法妙在哪里？ 高斯的算法很巧妙，他發(fā)現了整個數列的第k項與倒數第k項的和與首項與尾項的和是相等的這個規(guī)律并且把這個規(guī)律用于求和中。這種方法是可以推廣到求一般等差數列的前n項和的。等差數列求和公式的教學 一般地，稱為數列的前n項的和，用表示，即1、 思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”進行求和。我們用兩種方法表示： 由+，得 由此得到等差數列的前n項和的公式新 課 標 第 一 網對于這個公式，我們知道：只要知道等差數列首項、尾項和項數就可以求等差數列前n項和了。2、 除此之外，等差數列還有其他方法（讀基礎教好學生要介紹）當然，對于等差數列求和公式的推導，也可以有其他的推導途徑。例如： = = = = 這兩個公式是可以相互轉化的。把代入中，就可以得到引導學生思考這兩個公式的結構特征得到：第一個公式反映了等差數列的任意的第k項與倒數第k項的和等于首項與末項的和這個內在性質。第二個公式反映了等差數列的前n項和與它的首項、公差之間的關系，而且是關于n的“二次函數”，可以與二次函數進行比較。這兩個公式的共同點都是知道和n，不同點是第一個公式還需知道，而第二個公式是要知道d，解題時還需要根據已知條件決定選用哪個公式。公式運用（課本52頁練習1、2）1、 根據下列各題中的條件，求相應的等差數列的前n項和S. 例題分析來源:Z_xx_k.Com例1、2000年11月14日教育部下發(fā)了關于在中小學實施“校校通”工程的統治.某市據此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年時間，在全市中小學建成不同標準的校園網.據測算，2001年該市用于“校校通”工程的經費為500萬元.為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？1、 先閱讀題目；2、 引導學生提取有用的信息，構件等差數列模型；3、 寫這個等差數列的首項和公差，并根據首項和公差選擇前n項和公式進行求解。解：根據題意，從2001-2010年，該市每年投入“校校通”工程的經費都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個等差數列，表示從2001年起各年投入的資金，其中 ， d=50.那么，到2010年（n=10），投入的資金總額為 （萬元）答：從20012010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.例2已知一個等差數列前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數列的前n項和的公式嗎？新|課 | 標|第 |一| 網 引導學生分析得到：等差數列前n項和公式就是一個關于的方程。若要確定其前n項求和公式，則要確定的關系式，從而求得。分析：將已知條件代入等差數列前n項和的公式后，可得到兩個關于與d的二元一次方程，由此可以求得與d，從而得到所求前n項和的公式. 解：由題意知 ， 將它們代入公式 得到 解這個關于與d的方程組，得到=4，d=6， 所以另解： 得 所以 -，得，新*課*標*第*一*網 所以 代入得： 所以有 例題評述：此例題目的是建立等差數列前n項和與解方程之間的聯系.已知幾個量，通過解方程，得出其余的未知量.例3 已知數列的前n項為，求這個數列的通項公式.這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？解：根據 與 可知，當n1時， 當n=1時， 也滿足式. 所以數列的通項公式為. 由此可知，數列是一個首項為，公差為2的等差數列。 這個例題還給出了等差數列通項公式的一個求法.已知前n項和，可求出通項（n1） 用這種數列的來確定的方法對于任何數列都是可行的，而且還要注意不一定滿足由求出的通項表達式，所以最后要驗證首項是否滿足已求出的.思考：結合例3，思考課本51頁“探究”：一般地，如果一個數列的前n項和為其中p、q、r為常數，且p0，那么這個數列一定是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？引導分析得出：觀察等差數列兩個前n項和公式，和，公式本身就不含常數項。所以得到：如果一個數列前n項和公式是常數項為0，且關于n的二次型函數，則這個數列一定是等差數列.例4 已知等差數列的前n項和為，求使得最大的序號n的值. 分析：等差數列的前n項和公式可以寫成，所以可以看成函數當x=n時的函數值.另一方面，容易知道關于n的圖象是一條拋物線上的一些點.因此，我們可以利用二次函數來求n的值. 新|課 | 標|第 |一| 網 解：由題意知，等差數列的公差為，所以 = 于是，當n取與最接近的整數即7或8時，取最大值.隨堂練習課本52頁“練習”第1、2、3、4題補充練習 1、已知數列是等差數列，Sn是其前n項和，且S6，S12-S6，S18-S12成等差數列，設成等差數列嗎？生：分析題意，解決問題.解：設首項是，公差為d則：同理可得成等差數列.2、求集合的元素個數，并求這些元素的和。解由m=100，得滿足此不等式的正整數n共有14個，所以集合m中的元素共有14個，從小到大可列為：7，72