2009年全國(guó)高考試卷(理科數(shù)學(xué))(山東卷).pdf

中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng) 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道 20092009 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 山東山東卷卷 理理科數(shù)學(xué)科數(shù)學(xué) 本試卷分第 卷和第 卷兩部分 共 4 頁 滿分 150 分 考試時(shí)間 120 分鐘 考試結(jié)束 后 將本試卷和答題卡一并交回 注意事項(xiàng) 注意事項(xiàng) 1 1 1 1 答題前 考生務(wù)必用 答題前 考生務(wù)必用 0 50 50 50 5 毫米黑色簽字筆將自己的姓名 座號(hào) 準(zhǔn)考證號(hào) 縣區(qū)和科類毫米黑色簽字筆將自己的姓名 座號(hào) 準(zhǔn)考證號(hào) 縣區(qū)和科類 填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上 并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上指定位置 并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上指定位置 2 2 2 2 第第 卷每小題選出答案后卷每小題選出答案后 用用 2B2B2B2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑 如需改動(dòng)如需改動(dòng) 用橡皮擦干凈后 再選涂其他答案標(biāo)號(hào) 答案不能答在試卷上 用橡皮擦干凈后 再選涂其他答案標(biāo)號(hào) 答案不能答在試卷上 3 3 3 3 第 第 卷必須用卷必須用 0 50 50 50 5 毫米黑色簽字筆在答題卡各題的答題區(qū)域內(nèi)作答毫米黑色簽字筆在答題卡各題的答題區(qū)域內(nèi)作答 不能寫在試題卷上不能寫在試題卷上 如需改動(dòng) 先畫掉原來的答案如需改動(dòng) 先畫掉原來的答案 然后再寫上新的答案然后再寫上新的答案 不能使用涂改液 膠帶紙不能使用涂改液 膠帶紙 修正帶修正帶 不按以上要求作答的答案無效 不按以上要求作答的答案無效 4 4 4 4 填空題請(qǐng)直接填寫答案 填空題請(qǐng)直接填寫答案 解答題應(yīng)寫出文字說明解答題應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟證明過程或演算步驟 參考公式 參考公式 柱體的體積公式 V Sh 其中 S 是柱體的底面積 h 是錐體的高 錐體的體積公式 V 1 3 Sh 其中 S 是錐體的底面積 h 是錐體的高 如果事件 A B 互斥 那么 P A B P A P B R 如果事件 A B 獨(dú)立 那么 P AB P A P B 事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p 那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A 恰好發(fā)生k次的概 率 1 0 1 2 kkn k nn P kC ppkn L 第第 卷卷 共共 60606060 分分 一 選擇題 本大題共一 選擇題 本大題共 12121212 小題 每小題小題 每小題 5 5 5 5 分 共分 共 60606060 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只 有一項(xiàng)是符合題目要求的 有一項(xiàng)是符合題目要求的 1 集合 0 2 Aa 2 1 Ba 若 0 1 2 4 16AB U 則a的值為 A 0 B 1 C 2 D 4 解析 0 2 Aa 2 1 Ba 0 1 2 4 16AB U 2 16 4 a a 4a 故選 D 答案 D 命題立意 本題考查了集合的并集運(yùn)算 并用觀察法得到相對(duì)應(yīng)的元素 從而求得答案 本題 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng) 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道 屬于容易題 2 復(fù)數(shù) 3 1 i i 等于 A i21 B 1 2i C 2i D 2i 解析 2 2 3 3 1 3242 2 1 1 1 12 iiiiii i iiii 故選 C 答案 C 命題立意 本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算 分子 分母需要同乘以分母的共軛復(fù)數(shù) 把分母 變?yōu)閷?shí)數(shù) 將除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ㄟM(jìn)行運(yùn)算 3 將函數(shù)sin2yx 的圖象向左平移 4 個(gè)單位 再向上平移 1 個(gè)單位 所得圖象的函數(shù)解 析式是 A cos2yx B 2 2cosyx C 4 2sin 1 xy D 2 2sinyx 解析 將函數(shù)sin2yx 的圖象向左平移 4 個(gè)單位 得到函數(shù)sin2 4 yx 即 sin 2 cos2 2 yxx 的圖象 再向上平移 1 個(gè)單位 所得圖象的函數(shù)解析式為 2 1 cos22sinyxx 故選 D 答案 D 命題立意 本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)解析 式的基本知識(shí)和基本技能 學(xué)會(huì)公式的變形 4 一空間幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的體積為 A 22 3 B 42 3 C 2 3 2 3 D 2 3 4 3 解析 該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的 圓柱的底面半徑為 1 高為 2 體積為2 四棱錐的底面 邊長(zhǎng)為2 高為3 所以體積為 2 12 3 23 33 2 2 側(cè) 左 視圖 2 2 2 正 主 視圖 俯視圖 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng) 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道 所以該幾何體的體積為 2 3 2 3 答案 C 命題立意 本題考查了立體幾何中的空間想象能力 由三視圖能夠想象得到空間的立體圖 并能準(zhǔn)確地 計(jì)算出 幾何體的體積 5 已知 表示兩個(gè)不同的平面 m 為平面 內(nèi)的一條直線 則 是 m 的 A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件 解析 由平面與平面垂直的判定定理知如果 m 為平面 內(nèi)的 一條直線 m 則 反過來則不一定 所以 是 m 的必要不充分條 件 答案 B 命題立意 本題主要考查了立體幾何中垂直關(guān)系的判定和充分必要條件的概念 6 函數(shù) xx xx ee y ee 的圖像大致為 解 析 函數(shù) 有意義 需使0 xx ee 其定 義域?yàn)?0 xx 排除 C D 又因 為 2 22 12 1 11 xxx xxxx eee y eeee 所以當(dāng)0 x 時(shí)函數(shù)為減函數(shù) 故選 A 答案 A 命題立意 本題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的定義域 值域 單調(diào)性等性質(zhì) 本題的難點(diǎn) 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O A B C P 第 7 題圖 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng) 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道 在于給出的函數(shù)比較復(fù)雜 需要對(duì)其先變形 再在定義域內(nèi)對(duì)其進(jìn)行考察其余的性質(zhì) 7 設(shè) P 是 ABC 所在平面內(nèi)的一點(diǎn) 2BCBABP uuu ruuu ruuu r 則 A 0PAPB uu u ruuu rr B 0PCPA uuu ruuu rr C 0PBPC uuu ruuu rr D 0PAPBPC uu u ruuu ruuu rr 解析 因?yàn)?BCBABP uuu ruu u ruuu r 所以點(diǎn) P 為線段 AC 的中點(diǎn) 所以應(yīng)該選 C 答案 C 命題立意 本題考查了向量的加法運(yùn)算和平行四邊形法則 可以借助圖形解答 某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè) 有圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后 的產(chǎn)品凈重 單位 克 數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖 其中產(chǎn) 品凈重的范圍是 96 106 樣本數(shù)據(jù)分組為 96 98 98 100 100 102 102 104 104 106 已知樣本中產(chǎn)品凈重小于 100 克的個(gè)數(shù)是 36 則樣本中凈重大于或等于 98 克并且小于 104 克 的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是 A 90 B 75 C 60 D 45 解析 產(chǎn)品凈重小于100克的概率為 0 050 0 100 2 0 300 已知樣本中產(chǎn)品凈重小于 100 克的個(gè)數(shù)是 36 設(shè)樣本容量為n 則300 0 36 n 所以120 n 凈重大于或等于 98 克并且小于 104 克的產(chǎn)品的概率為 0 100 0 150 0 125 2 0 75 所以樣 本中凈重大于或等于 98 克并且小于 104 克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是 120 0 75 90 故選 A 答案 A 命題立意 本題考查了統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí) 讀懂頻率分布直方圖 會(huì)計(jì)算概率以及樣本中有 關(guān)的數(shù)據(jù) 9 設(shè)雙曲線1 2 2 2 2 b y a x 的一條漸近線與拋物線 y x 2 1 只有一個(gè)公共點(diǎn) 則雙曲線的 離心率為 A 4 5 B 5 C 2 5 D 5 96 98 100 102 104 106 0 150 0 125 0 100 0 075 0 050 克 頻率 組距 第 8 題圖 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng) 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道 解析 雙曲線1 2 2 2 2 b y a x 的一條漸近線為x a b y 由方程組 2 1 b yx a yx 消去 y 得 2 10 b xx a 有唯一解 所以 2 40 b a 所以2 b a 22 2 1 5 cabb e aaa 故選 D 答案 D 命題立意 本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念 以及直線與拋物線的位置 關(guān)系 只有一個(gè)公共點(diǎn) 則解方程組有唯一解 本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技 能 10 定義在 R 上的函數(shù) f x 滿足 f x x x x 0 2 1 0 1 log2 xxfxf xx 則f 2009 的值為 A 1 B 0 C 1 D 2 解析 由已知得 2 1 log 21f 0 0f 1 0 1 1fff 2 1 0 1fff 3 2 1 1 1 0fff 4 3 2 0 1 1fff 5 4 3 1fff 6 5 4 0fff 所以函數(shù) f x 的值以 6 為周期重復(fù)性出現(xiàn) 所以 f 2009 f 5 1 故選 C 答案 C 命題立意 本題考查歸納推理以及函數(shù)的周期性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算 11 在區(qū)間 1 1 上隨機(jī)取一個(gè)數(shù) x cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之間的概率為 A 3 1 B 2 C 2 1 D 3 2 解析 在區(qū)間 1 1 上隨機(jī)取一個(gè)數(shù) x 即 1 1 x 時(shí) 222 x 0cos1 2 x 區(qū)間長(zhǎng)度為 1 而cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之間的區(qū)間長(zhǎng)度為 2 1 所以概率為 2 1 故選 C 答案 C 命題立意 本題考查了三角函數(shù)的值域和幾何概型問題 由自變量 x 的取值范圍 得到函數(shù) 值cos 2 x 的范圍 再由長(zhǎng)度型幾何概型求得 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng) 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道 12 設(shè) x y 滿足約束條件 0 0 02 063 yx yx yx 若目標(biāo)函數(shù) z ax by a 0 b 0 的是最大值為 12 則 23 ab 的最小值為 A 6 25 B 3 8 C 3 11 D 4 解析 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分 當(dāng) 直線 ax by z a 0 b 0 過直線 x y 2 0 與直線 3x y 6 0 的交點(diǎn) 4 6 時(shí) 目標(biāo)函數(shù) z ax by a 0 b 0 取 得 最 大 12 即 4a 6b 12 即 2a 3b 6 而 23 ab 23 23131325 2 6666 abba abab 故選 A 答案 A 命題立意 本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題 要求能準(zhǔn) 確地畫出不等式表示的平面區(qū)域 并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值 對(duì)于形如已知 2a 3b 6 求 23 ab 的最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答 第第 卷 共卷 共 90909090 分 分 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 4 4 4 4 小題 每小題小題 每小題 4 4 4 4 分 共分 共 16161616 分 分 13 不等式0212 xx的解集為 解析 原不等式等價(jià)于不等式組 2 21 2 0 x xx 或 1 2 2 21 2 0 x xx 或 1 2 21 2 0 x xx 不等式組 無解 由 得 1 1 2 x 由 得 1 1 2 x 綜上得 11x 所以原不等式的解集為 11 xx 答案 11 xx 0 且 a 1 有兩個(gè)零點(diǎn) 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 解析 設(shè)函數(shù) 0 x yaa 且1 a 和函數(shù)yxa 則函數(shù) f x a x x a a 0 且 a 1 有兩個(gè)零點(diǎn) 就是函數(shù) 0 x yaa 且1 a 與函數(shù)yxa 有兩個(gè)交點(diǎn) 由圖象可知當(dāng) 10 a時(shí) 因?yàn)楹瘮?shù) 1 x yaa 的圖象過點(diǎn) 0 1 而直線yxa 所過的點(diǎn)一定在點(diǎn) 0 1 的上方 所以一定有兩個(gè)交點(diǎn) 所以實(shí)數(shù) a 的取 值范圍是1 a 答案 1 a 命題立意 本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān) 系 隱含著對(duì)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查 根據(jù)其底數(shù)的不同取值 范圍而分別畫出函數(shù)的圖象解答 15 執(zhí)行右邊的程序框圖 輸入的 T 解析 按照程序框圖依次執(zhí)行為 S 5 n 2 T 2 S 10 n 4 T 2 4 6 S 15 n 6 T 6 6 12 S 20 n 8 T 12 8 20 S 25 n 10 T 20 10 30 S 輸出 T 30 答案 30 命題立意 本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖 一般都 可以反復(fù)的進(jìn)行運(yùn)算直到滿足條件結(jié)束 本題中涉及到三個(gè) 變量 注意每個(gè)變量的運(yùn)行結(jié)果和執(zhí)行情況 16 已知定義在 R 上的奇函數(shù) xf 滿足 4 f xf x 且在區(qū)間 0 2 上是增函數(shù) 若 方 程f x m m 0 在 區(qū) 間 8 8 上 有 四 個(gè) 不 同 的 根 1234 x x x x 則 1234 xxxx 解析 因?yàn)槎x在 R 上的奇函數(shù) 滿足 4 f xf x 所以 4 f xfx 所以 由 xf為奇函數(shù) 所以函數(shù)圖象關(guān)于直線2x 對(duì)稱且 0 0f 由 4 f xf x 知 8 f xf x 所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù) 又因?yàn)?xf在區(qū)間 0 2 上是增函數(shù) 所 開始 S 0 T 0 n 0 T S S S 5 n n 2 T T n 輸出 T 結(jié)束 是 否 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng) 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道 以 xf在區(qū)間 2 0 上也是增函數(shù) 如圖所示 那么方程 f x m m 0 在區(qū)間 8 8 上有四個(gè) 不同 的 根 1234 x x x x 不妨 設(shè) 1234 xxxx 0 E AB C F E1 A1 B1 C1D1 D 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng) 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道 解法一 1 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 取 A1B1的中點(diǎn) F1 連接 A1D C1F1 CF1 因?yàn)?AB 4 CD 2 且 AB CD 所以 CD A 1F1 A1F1CD 為平行四邊形 所以 CF1 A1D 又因?yàn)?E E1分別是棱 AD AA1的中點(diǎn) 所以 EE1 A1D 所以 CF1 EE1 又因?yàn)?1 EE 平面 FCC1 1 CF 平面 FCC1 所以直線 EE1 平面 FCC1 2 因?yàn)?AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中點(diǎn) 所以 BF BC CF BCF 為正三角形 取 CF 的中點(diǎn)O 則OB CF 又因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD A1B1C1D1中 CC1 平面ABCD 所以CC1 BO 所以 OB 平面 CC1F 過 O 在平面 CC1F 內(nèi)作 OP C1F 垂足為P 連接BP 則 OPB 為二面角 B FC1 C 的一個(gè)平面角 在 BCF 為正三角形中 3OB 在 Rt CC1F 中 OPF CC1F 11 OPOF CCC F 22 12 2 2 22 OP 在 Rt OPF 中 22 114 3 22 BPOPOB 2 7 2 cos 714 2 OP OPB BP 所以 二面角 B FC1 C 的余弦值為 7 7 解法二 1 因?yàn)?AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中點(diǎn) 所以 BF BC CF BCF 為正三角形 因?yàn)?ABCD 為 等腰梯形 所以 BAC ABC 60 取 AF 的中點(diǎn) M 連接 DM 則 DM AB 所以 DM CD 以 DM 為 x 軸 DC 為 y 軸 DD1為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 則 D 0 0 0 A 3 1 0 F 3 1 0 C 0 2 0 C1 0 2 2 E 3 2 1 2 0 E1 3 1 1 所以 1 31 1 22 EE uuur 3 1 0 CF uuu r 1 0 0 2 CC uuu u r 1 3 1 2 FC uuuu r 設(shè)平面 CC1F 的法 E AB C F E1 A1 B1 C1D1 D F1 O P E AB C F E1 A1 B1 C1D1 D x y z M 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng) 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道 向 量 為 nx y z r 則 1 0 0 n CF n CC r uuu r r uuuu r所 以 30 0 xy z 取 1 3 0 n r 則 1 31 131 00 22 n EE r uuur 所以 1 nEE ruuur 所以直線 EE1 平面 FCC1 2 0 2 0 FB uuu r 設(shè) 平 面 BFC1的 法 向 量 為 1111 nx y z ur 則 1 11 0 0 nFB nFC ur uuu r ur uuu u r所 以 1 111 0 320 y xyz 取 1 2 0 3 n ur 則 1 2 130032n n r u r 2 1 3 2n r 22 1 20 3 7n ur 所以 1 1 1 27 cos 7 27 n n n n n n r ur r u r ruu r 由圖可知二面角 B FC 1 C 為銳角 所以二面角 B FC1 C 的余弦值為 7 7 命題立意 本題主要考查直棱柱的概念 線面位置關(guān)系的判定和二面角的計(jì)算 考查空間 想象能力和推理運(yùn)算能力 以及應(yīng)用向量知識(shí)解答問題的能力 19 本小題滿分 12 分 在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中 規(guī)定每人最多投 3 次 在 A 處每投進(jìn)一球得 3 分 在 B 處每投進(jìn)一球得 2 分 如果前兩次得分之和超過 3 分即停止投籃 否則投第三次 某同學(xué)在 A 處的命中率 q1為 0 25 在 B 處的命中率為 q2 該同學(xué)選擇先在 A 處投一球 以后都在 B 處投 用 表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分 其分布列為 02345 p0 03P1P2P3P4 1 求 q 2的值 2 求隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望E 3 試比較該同學(xué)選擇都在 B 處投籃得分超過 3 分與選擇上述方式投籃得分超過 3 分的 概率的大小 解 1 設(shè)該同學(xué)在 A 處投中為事件 A 在 B 處投中為事件 B 則事件 A B 相互獨(dú)立 且 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng) 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道 P A 0 25 0 75P A P B q 2 2 1P Bq 根據(jù)分布列知 0 時(shí) 2 2 0 75 1 P ABBP A P B P Bq 0 03 所以 2 10 2q q 2 0 2 2 當(dāng) 2 時(shí) P1 BBAPBBAPBBABBAP BPBPAPBPBPAP 0 75 q2 2 1q 2 1 5 q 2 2 1q 0 24 當(dāng) 3 時(shí) P2 2 2 0 25 1 P ABBP A P B P Bq 0 01 當(dāng) 4 時(shí) P3 2 2 0 75P ABBP A P B P Bq 0 48 當(dāng) 5 時(shí) P4 P ABBABP ABBP AB 222 0 25 1 0 25P A P B P BP A P Bqqq 0 24 所以隨機(jī)變量 的分布列為 02345 p0 030 240 010 480 24 隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望0 0 032 0 243 0 014 0 485 0 243 63E 3 該同學(xué)選擇都在 B 處投籃得分超過 3 分的概率為 P BBBBBBBB P BBBP BBBP BB 22 222 2 1 0 896q qq 該同學(xué)選擇 1 中方式投籃得分超過 3 分的概率為 0 48 0 24 0 72 由此看來該同學(xué)選擇都在 B 處投籃得分超過 3 分的概率大 命題立意 本題主要考查了互斥事件的概率 相互獨(dú)立事件的概率和數(shù)學(xué)期望 以及運(yùn)用概 率知識(shí)解決問題的能力 20 本小題滿分 12 分 等比數(shù)列 n a 的前 n 項(xiàng)和為 n S 已知對(duì)任意的nN 點(diǎn) n n S 均在函數(shù) 0 x ybr b 且1 bb r 均為常數(shù) 的圖像上 1 求 r 的值 11 當(dāng) b 2 時(shí) 記 2 2 log1 nn banN 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng) 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道 證明 對(duì)任意的nN 不等式 12 12 111 1 n n bbb n bbb 成立 解 因?yàn)閷?duì)任意的nN 點(diǎn) n n S 均在函數(shù) 0 x ybr b 且1 bb r 均為常數(shù)的圖像 上 所以得 n n Sbr 當(dāng)1n 時(shí) 11 aSbr 當(dāng)2n 時(shí) 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb 又因?yàn)?n a 為等比數(shù)列 所以 1r 公比為b 1 1 n n abb 2 當(dāng) b 2 時(shí) 11 1 2 nn n abb 1 22 2 log1 2 log 21 2 n nn ban 則 121 2 n n bn bn 所以 12 12 1113 5 721 2 4 62 n n bbbn bbbn L 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 n n bbbn n bbbn L成立 1當(dāng)1n 時(shí) 左邊 3 2 右邊 2 因?yàn)?3 2 2 所以不等式成立 2假設(shè)當(dāng)nk 時(shí)不等式成立 即 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 k k bbbk k bbbk L成立 則當(dāng)1nk 時(shí) 左邊 112 121 11113 5 721 23 2 4 6222 kk kk bbbbkk bbbbkk L 22 23 23 4 1 4 1 11 1 1 1 1 1 224 1 4 1 4 1 kkkk kkk kkkk 所以當(dāng)1nk 時(shí) 不等式也成立 由 可得不等式恒成立 命題立意 本題主要考查了等比數(shù)列的定義 通項(xiàng)公式 以及已知 n S求 n a的基本題型 并運(yùn) 用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題 以及放縮法證明不等式 21 本小題滿分 12 分 兩縣城 A 和 B 相距 20km 現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以 AB 為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn) C 建造 垃圾處理廠 其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān) 對(duì)城 A 和城 B 的總影響 度為城 A 與城 B 的影響度之和 記 C 點(diǎn)到城 A 的距離為 x km 建在 C 處的垃圾處理廠對(duì) 城 A 和城 B 的總影響度為y 統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明 垃圾處理廠對(duì)城 A 的影響度與所選地點(diǎn)到城 A 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng) 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道 的距離的平方成反比 比例系數(shù)為 4 對(duì)城 B 的影響度與所選地點(diǎn)到城 B 的距離的平方成 反比 比例系數(shù)為 k 當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí) 對(duì)城 A 和城 B 的總影響度為 0 065 I 將 y 表示成 x 的函數(shù) 討論 I 中函數(shù)的單調(diào)性 并判斷弧上是否存在一點(diǎn) 使建在此處的垃圾處理廠 對(duì)城 A 和城 B 的總影響度最小 若存在 求出該點(diǎn)到城 A 的距離 若不存在 說明理由 解 1 如圖 由題意知 AC BC 22 400BCx 22 4 020 400 k yx xx 其中當(dāng)10 2x 時(shí) y 0 065 所以 k 9 所以 y 表示成 x 的函數(shù)為 22 49 020 400 yx xx 設(shè) 22 400mxnx 則400mn 49 y mn 所以 494914911 13 13 12 40040040016 mnnm y mnmnmn 當(dāng) 且僅 當(dāng) 49nm mn 即 240 160 n m 時(shí)取 下面證明函數(shù) 49 400 y mm 在 0 160 上為減函數(shù) 在 160 400 上為增函數(shù) 設(shè) 0 m1 m2 160 則 12 1122 4949 400400 yy mmmm 1212 4499 400400mmmm 2112 1212 4 9 400 400 mmmm m mmm 21 1212 49 400 400 mm m mmm 1212 21 1212 4 400 400 9 400 400 mmm m mm m mmm 因?yàn)?0 m1 m24 240 240 9 m1m2 所 以 1212 21 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m mm m mmm 即 12 yy 函 數(shù) 49 400 y mm 在 0 160 上為減函數(shù) 同 理 函 數(shù) 49 400 y mm 在 160 400 上 為 增 函 數(shù) 設(shè) 160 m1 m2 400 則 A B C x 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng) 中國(guó)校長(zhǎng)網(wǎng)資源頻道 12 1122 4949 400400 yy mmmm 1212 21 1212 4 400 400 9 400 400 mmm m mm m mmm 因?yàn)?1600 m1 m2 400 所以 4 12 400 400 mm 9 160 160 所以 1212 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m m mmm 所 以 1212 21 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m mm m mmm 即 12 yy