2018-2019學(xué)年杭州市第二中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2018-2019學(xué)年浙江省杭州市第二中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1過(guò)點(diǎn)（1，3）且垂直于直線x2y+3=0的直線方程為（ ）A2x+y1=0Bx2y5=0Cx2y+7=0D2x+y+5=0【答案】D【解析】設(shè)所求直線為，根據(jù)垂直關(guān)系，得到直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，得到答案.【詳解】設(shè)直線為，所求直線為因?yàn)閮芍本€垂直，所以斜率乘積為，故直線的斜率為，所以直線的方程為，整理得：，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，直線的點(diǎn)斜式方程，屬于簡(jiǎn)單題.2設(shè)是兩個(gè)不同的平面，則“”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件【答案】D【解析】由面面垂直與線面平行的位置關(guān)系結(jié)合充分必要條件的定義進(jìn)行判斷【詳解】由推不出，反之由也推不出，應(yīng)該是既不充分又不必要的條件故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，根據(jù)充分必要條件的定義判斷相應(yīng)命題的真假即可3空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則間的距離為( )ABCD【答案】C【解析】【詳解】分析：求出點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，直接利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解結(jié)果.詳解：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則間的距離為，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的表示，以及空間中兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4若滿足，則的最大值為（）A8B9C2D1【答案】A【解析】作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，向上平移直線，增大，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，為最大值故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，作出可行域是解題關(guān)鍵5下列說(shuō)法的正確的是A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線的方程都可以表示為B經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線的方程都可以表示為C不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線的方程都可以表示為D經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線的方程都可以表示為 【答案】D【解析】考慮斜率不存在和平行于x軸的直線，利用排除法。【詳解】經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線的方程都可以表示為但斜率不存在時(shí)，無(wú)法表示，故A錯(cuò)，同理B錯(cuò)。斜率不存在和平行于x軸的直線也無(wú)法表示，故C錯(cuò)。所以D正確。故選D。【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程的定義和直線方程的基本應(yīng)用，一定要注意斜率不存在的情況。6已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是A若，且，則B若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則C若，則D若，則【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于(A)若,且,則，只有m,n相交時(shí)成立，故錯(cuò)誤(B)若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則可能是斜交，故錯(cuò)誤(C)若，則，可能在平面內(nèi)，錯(cuò)誤(D)若，則，則另一條也垂直，故成立，因此選D.【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的運(yùn)用點(diǎn)評(píng)：主要是考查了空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題7若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為,則直線的斜率的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】求出圓心與半徑，則圓上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線的距離為，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離；從而求直線的斜率的取值范圍【詳解】根據(jù)題意，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑，若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則圓心到直線的距離，設(shè)直線的斜率為，則，直線的方程為，則有，解得：，即的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系、直線與圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，以及直線傾斜角與斜率的關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題8設(shè)x，y滿足約束條件，則取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】作出可行域，其中表示與連線斜率，利用此幾何意義可求解【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），其中表示與連線斜率，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的非線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題，作出可行域是解題基礎(chǔ)理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解題關(guān)鍵9已知棱長(zhǎng)為2的正四面體，點(diǎn)為上一定點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)與平面所成的角為，則的最小值是（ ）ABCD【答案】A【解析】設(shè)是的中心，過(guò)作交于，則為直線與平面所成的角，設(shè)出，就可求得此角的余弦【詳解】如圖，是的中心，連接，過(guò)作交于，連接，平面，平面，為直線與平面所成的角，設(shè)，則，正四面體棱長(zhǎng)為2，則，在中，在中，時(shí)，時(shí)，時(shí)，取得最小值即的最小值是又，的最小值是故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成的角，作出直線與平面所成的角是解題關(guān)鍵解題中還要注意點(diǎn)是棱上的點(diǎn)，不是直線上的點(diǎn)，否則易得錯(cuò)誤結(jié)論10設(shè)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，若為定值，則的值可能為（ ）ABCD【答案】D【解析】若為定值，則，由直線與圓相切結(jié)合圖象可得的范圍，從而得出正確選項(xiàng)【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，直線與圓相切時(shí)，當(dāng)時(shí)，圓在直線上方，當(dāng)時(shí)，圓在直線下方，若為定值，則，因此只有D滿足故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查一元二次不等式表示的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合法易得解二、填空題11設(shè)點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，并且點(diǎn)到直線的距離為6，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi).【答案】或【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線距離公式求解【詳解】設(shè)，則，解得或9.所以點(diǎn)坐標(biāo)為或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，掌握點(diǎn)到直線距離公式是解題關(guān)鍵12若是圓上任一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最大值為_(kāi).【答案】6【解析】求出圓心到直線距離的最大值即可得結(jié)論【詳解】直線過(guò)定點(diǎn)，圓心到直線的距離最大時(shí)，與直線垂直，最大距離就是，所以圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為5+1=6.故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值，由圓的性質(zhì)知此最大值就是圓心到直線的距離的最大值加上半徑13設(shè)是的二面角內(nèi)一點(diǎn)，,分別為垂足，,則的長(zhǎng)為_(kāi).【答案】【解析】由題意，由余弦定理可知，所以點(diǎn)睛：本題考查空間幾何體由二面角的定義而知，過(guò)作公共邊的垂線，交于點(diǎn)，則就是二面角的平面角，由四邊形內(nèi)角和，得到，利用余弦定理解得答案14如圖，已知圓錐的高是底面半徑的倍，側(cè)面積為，若正方形內(nèi)接于底面圓，則四棱錐側(cè)面積為_(kāi)【答案】.【解析】分析：設(shè)圓錐底面半徑為，則高為，母線長(zhǎng)為，由圓錐側(cè)面積為，可得，結(jié)合，利用三角形面積公式可得結(jié)果.詳解：設(shè)圓錐底面半徑為，則高為，母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐側(cè)面積為，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則，正四棱錐的斜高為，正四棱錐的側(cè)面積為，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查圓錐的性質(zhì)、正四棱錐的性質(zhì)，以及圓錐的側(cè)面積、正四棱錐的側(cè)面積，屬于中檔題，解答本題的關(guān)鍵是求得正四棱錐底面棱長(zhǎng)與圓錐底面半徑之間的關(guān)系.15已知直線上有兩個(gè)點(diǎn)和, 且為一元二次方程的兩個(gè)根, 則過(guò)點(diǎn)且和直線相切的圓的方程為_(kāi).【答案】或【解析】由題意可知，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，圓心在直線的中垂線上，故過(guò)圓心滿足直線，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由圓與直線相切故，由弦長(zhǎng)公式可得，圓心到直線的距離為，由勾股定理可知解得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，得解?！驹斀狻可嫌袃蓚€(gè)點(diǎn)和,為一元二次方程的兩個(gè)根，故，那么，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)閳A心在直線的中垂線上，故過(guò)圓心的直線為，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由圓與直線相切故，由弦長(zhǎng)公式可得，圓心到直線的距離為，因?yàn)閳A的半徑、半弦長(zhǎng)、圓心到直線的距離構(gòu)成直角三角形，由勾股定理可知解得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以圓的方程為或?！军c(diǎn)睛】利用圓與直線的幾何性質(zhì)解圓有關(guān)的問(wèn)題常見(jiàn)解法，圓心到直線的距離、半徑、弦長(zhǎng)之間的關(guān)系為。16設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿足：，命題：實(shí)數(shù)滿足，若是的必要不充分條件，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】命題中點(diǎn)組成集合，命題中點(diǎn)組成集合，題意說(shuō)明，由集合的包含關(guān)系可得【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖內(nèi)部（含邊界），不等式表示的平面區(qū)域是以為圓心為半徑的圓及內(nèi)部，如圖，若是的必要不充分條件，則圓在內(nèi)部，圓心到直線的距離為，所以，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查必要不充分條件的應(yīng)用，考查不等式組表示的平面區(qū)域解題方法是數(shù)形結(jié)合思想法17如圖為一幾何體的三視圖，則其外接球的體積為_(kāi).【答案】【解析】由三視圖還原幾何體，得出線面位置關(guān)系，然后找出外接球球心，求得半徑，由體積公式計(jì)算體積【詳解】由三視圖知該幾何體是三棱錐，底面，底面中作交延長(zhǎng)線于，則，從而，設(shè)是的外心，則，過(guò)作平面，則，只要取，則為外接球球心，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查球的體積，解題關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，得出三棱錐中的線面間的位置關(guān)系。三棱錐外接球球心在過(guò)它的各面外心且與此面垂直的直線上三、解答題18設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿足，命題：實(shí)數(shù)滿足.（1）若，若同為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.（2）若且是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）求出命題為真時(shí)變量的取值范圍，然后求交集即可；（2）同樣求出命題為真時(shí)變量的取值集合，由充分不必要條件得出集合的包含關(guān)系，從而得參數(shù)取值范圍【詳解】命題：實(shí)數(shù)滿足，命題：實(shí)數(shù)滿足.（1）若，命題：實(shí)數(shù)滿足，解得.命題：實(shí)數(shù)滿足，解得.若同為真命題，則，解得.實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）命題：實(shí)數(shù)滿足，化為：，.若，且是的充分比必要條件，則是的充分比必要條件，解得：.實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查由復(fù)合命題真假及充分必要條件求參數(shù)范圍解題關(guān)鍵把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系19已知圓過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程.（2）過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線方程.【答案】（1）；（2）和【解析】（1）可設(shè)，由可得參數(shù)，及半徑，得圓方程；（2）利用半弦長(zhǎng)，弦心距，半徑構(gòu)成的直角三角形可得弦心距為1，斜率存在時(shí)設(shè)直線方程，再由點(diǎn)到直線距離公式求得斜率，斜率不存在的直線檢驗(yàn)是否滿足題意【詳解】（1）圓心在直線上，可設(shè)，利用可得，解得，圓心，半徑，故圓的方程為：；（2），半弦長(zhǎng)為，利用半弦長(zhǎng)，弦心距，半徑構(gòu)成的直角三角形可得，弦心距為1，故直線滿足題意，設(shè)另一直線方程為，即，由解得，所求方程為，即.故所求直線的方程為和.【點(diǎn)睛】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，直線與圓相交問(wèn)題要注意利用垂徑定理，即弦中點(diǎn)與圓心連線垂直于弦20在四棱錐中，四邊形是矩形，平面平面，點(diǎn)分別為中點(diǎn).（1）求證：平面.（2）若.求二面角的余弦值.求三棱錐的體積.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），【解析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，可證都與平面平行，從而得面面平行，又得證線面平行；（2）證明后，以以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，由法向量夾角得二面角，由以上證明可得與平面垂直，因此棱錐換底求體積，即【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，四邊形是矩形，點(diǎn)分別為中點(diǎn).，平面，平面，平面，同理平面，平面平面，平面，平面.（2）解：，四邊形是矩形，平面平面，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則.二面角的余弦值為.解：，平面，到平面的距離，三棱錐的體積：.【點(diǎn)睛】本題考查證明線面平行，用向量法求二面角，考查求棱錐的體積證明線面平行可用線面平行的判定定理，也可用面面平行的性質(zhì)求三棱錐體積，注意可換底，換一個(gè)高易求的面作為底計(jì)算21已知圓心在軸上的圓與直線切于點(diǎn)、圓.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，圓于軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）、過(guò)點(diǎn)任作一條傾斜角不為0的直線與圓相交于兩點(diǎn)、問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出實(shí)數(shù)的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由、【答案】（1）；（2）存在;實(shí)數(shù)【解析】（1）由點(diǎn)在切線上，求出參數(shù)，設(shè)圓心，由圓心到切線距離為半徑可求得，也求得半徑，得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線求出圓與的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，過(guò)且不垂直軸的直線的方程為：，代入圓方程，用韋達(dá)定理得，計(jì)算，由求得，同時(shí)說(shuō)明直線斜率不存在時(shí)也滿足條件即得結(jié)論【詳解】（1）設(shè)圓心，點(diǎn)在直線上，即，由題意得，解得，圓心，半徑，故圓的方程為：；（2）在圓的方程中令可得，得，在