函數(shù)不定式極限的洛必達(dá)法則.doc

函數(shù)不定式極限的洛必達(dá)法則需要熟記的幾個(gè)重要極限：需要知道的極限四則運(yùn)算法則：設(shè)則（1）（2）（3）（4）注：上式不僅對(duì)這種類(lèi)型的極限成立，它對(duì)于，這些類(lèi)型的極限也都成立。另外，它對(duì)數(shù)列極限也實(shí)用。需要知道的定理:1.若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，2.若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，在點(diǎn)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。用極限來(lái)表述就是如下：注：若復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)當(dāng)時(shí)極限為，而或在點(diǎn)處無(wú)定義（即為的可去間斷點(diǎn)），又有外函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則我們?nèi)钥捎蒙鲜龆ɡ韥?lái)求復(fù)合函數(shù)的極限，即有上式不僅對(duì)這種類(lèi)型的極限成立，它對(duì)于，這些類(lèi)型的極限也都成立。比方說(shuō)： 3.若函數(shù)函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限存在，假設(shè)為，即，那么把換成正整數(shù)所得到的數(shù)列的極限也為，即.注：這個(gè)定理為我們求數(shù)列的極限提供了一條很好的途徑，它告訴我們?cè)谇髷?shù)列的極限時(shí)，可以先求出該數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限。比方說(shuō)：，那么目的：能用洛必達(dá)法則求“”、“”型不定式極限。當(dāng)（或）時(shí)，函數(shù)和都趨于零或都趨于無(wú)窮大，此時(shí)極限存在（或無(wú)窮大）稱(chēng)為不定式極限對(duì)于不定式的極限，不能直接用極限運(yùn)算法則求得時(shí)，可用求導(dǎo)的方法解決。下面介紹的洛必達(dá)法則，是求此類(lèi)極限的有效方法。一、 洛必達(dá)法則1“” 型不定式當(dāng)，時(shí)極限稱(chēng)為“” 型不定式定理1.若(1)，；(2)與在點(diǎn)的附近（點(diǎn)可除外）可導(dǎo)，且；(3) 存在(或無(wú)窮大)則=注：上述定理不僅對(duì)這種類(lèi)型的極限成立，它對(duì)于，這些類(lèi)型的極限也都成立。例1. 求解：由洛必達(dá)法則知原式=例2. 求 解：原式=例3. 求解：原式=例4. 求解：原式 =例5. 求解：原式=例6. 求解:原式=12“”型不定式當(dāng)，時(shí)極限稱(chēng)為 “” 型不定式定理2 若(1)，；(2)與在點(diǎn)的附近可導(dǎo)，且；(3)存在（若無(wú)窮大），則注：上述定理不僅對(duì)這種類(lèi)型的極限成立，它對(duì)于，這些類(lèi)型的極限也都成立。例7求解：原式例8求解：原式例9求（為正整數(shù)）解：原式03其它型不定式除了型和型以外，還有其它類(lèi)型的不定式，它們可先化為、型然后再用洛必達(dá)法則求之。例10求分析：這是一個(gè)型的不定式極限，利用恒等變形，就可將它轉(zhuǎn)化為型的不定式極限，然后根據(jù)洛比達(dá)法則求之即可。解：原式例11求解： 這是未定型，作恒等變形，通過(guò)“通分”將轉(zhuǎn)化為未定型原式=例12.求解：這是型不定式極限，作恒等變形，其指數(shù)部分的極限是不定式極限，可先求得，從而，再根據(jù)的連續(xù)性知，例13.求解：這是型不定式極限，恒等變形，其指數(shù)部分的極限是型不定式極限，可先求得，然后，再根據(jù)的連續(xù)性知，.例13.求解：這是型不定式極限，恒等變形，其指數(shù)部分的極限是型不定式極限，可先求得， 這里然后，再根據(jù)的連續(xù)性知，二、練習(xí)： 1.求 2.求 3.求 4.求 .5.求 6.求.7.求 (n為正整數(shù), ) 8.求 9.求 10.求 .1.求 2. 求3.求 4.求三、小結(jié)； (1)使用法則前，必須檢驗(yàn)是否屬于或 未定型，若不是未定型，就不能使用該法則；(2)如果有可約因子，或有非零極限值的乘積因子，則可先約去或提出，以簡(jiǎn)化演算步驟；(3)當(dāng)不存在(不包括的情況)時(shí)，并不能斷定也不存在，此時(shí)應(yīng)使用其他方法求極限練習(xí)解答型例1（E01）求 解 原式例2（E02）求 解 原式例3（E03）求解 例4（E04）求 .解 注: 若求為自然數(shù)）則可利用上面求出的函數(shù)極限,得.型 例5（E05）求解 例6（E06）求.解 原式例7（E07）求 (n為正整數(shù), )解 反復(fù)應(yīng)用洛必達(dá)法則次，得原式注：對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)均為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大，但它們?cè)龃蟮乃俣群懿灰粯?，其增大速度比較: 對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù).注: 對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)均為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大, 但它們?cè)龃蟮乃俣群懿灰粯? 冪函數(shù)增大的速度遠(yuǎn)比對(duì)數(shù)函數(shù)快，而指數(shù)函數(shù)增大的速度又遠(yuǎn)比冪函數(shù)快.洛必達(dá)法則雖然是求未定式的一種有效方法, 但若能與其它求極限的方法結(jié)合使用, 效果則更好. 例如能化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)盡可能先化簡(jiǎn)，可以應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小替換或重要極限時(shí)，應(yīng)盡可能應(yīng)用，以使運(yùn)算盡可能簡(jiǎn)捷.例8 求 解 注意到則有注: 洛必達(dá)法則雖然是求未定式的一種有效方法, 但若能與其它求極限的方法結(jié)合使用, 效果則更好. 例如能化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)盡可能先化簡(jiǎn)，可以應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小替換或重要極限時(shí)，應(yīng)盡可能應(yīng)用，以使運(yùn)算盡可能簡(jiǎn)捷.例9