230°45°60°角的三角函數(shù)值 (2).doc

第一章直角三角形的邊角關(guān)系230，45，60角的三角函數(shù)值素材一新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)情景導(dǎo)入置疑導(dǎo)入歸納導(dǎo)入復(fù)習(xí)導(dǎo)入類(lèi)比導(dǎo)入懸念激趣圖121置疑導(dǎo)入如圖121，為了測(cè)量一棵大樹(shù)的高度，準(zhǔn)備了如下測(cè)量工具：含30和60兩個(gè)銳角的三角尺；皮尺你能利用上述測(cè)量工具測(cè)出這棵大樹(shù)的高度嗎？(用多媒體演示上面的問(wèn)題，并讓學(xué)生交流各自的想法)說(shuō)明與建議 說(shuō)明：以生活中的實(shí)例入手，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情給學(xué)生時(shí)間，讓學(xué)生去充分思考交流討論，并由此引出新課建議：給學(xué)生充足的時(shí)間尋求解決問(wèn)題的方法，在學(xué)生操作時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考、分析，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)懸念激趣在剛剛過(guò)去的雙十一(11月11日)活動(dòng)中，中國(guó)人創(chuàng)造了網(wǎng)購(gòu)的奇跡，書(shū)寫(xiě)了世界的傳奇今天是雙十二(12月12日)，網(wǎng)上稱(chēng)之為“年末促銷(xiāo)全民瘋搶購(gòu)物節(jié)”，必將續(xù)寫(xiě)網(wǎng)購(gòu)的傳奇本課老師也準(zhǔn)備了幾件物美價(jià)廉的寶貝，投放進(jìn)幾家商鋪進(jìn)行出售，你們有沒(méi)有信心搶到呢？很好，我們先看看商鋪里面有些什么寶貝吧，看誰(shuí)能搶到它們！(利用多媒體投影)商鋪：圖122說(shuō)明與建議 說(shuō)明：以進(jìn)行網(wǎng)購(gòu)，積極搶購(gòu)訂單的形式引入新課，大大調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，既復(fù)習(xí)了上節(jié)課的重點(diǎn)知識(shí)，又為本課的學(xué)習(xí)鋪平了道路建議：把知識(shí)的回顧放到“網(wǎng)購(gòu)”中，讓學(xué)生獨(dú)立思考，解決問(wèn)題素材二教材母題挖掘教材母題教材第9頁(yè)例2一個(gè)小孩蕩秋千，秋千鏈子的長(zhǎng)度為2.5 m，當(dāng)秋千向兩邊擺動(dòng)時(shí)，擺角恰好為60，且兩邊的擺動(dòng)角度相同，求它擺至最高位置時(shí)與其擺至最低位置時(shí)的高度之差(結(jié)果精確到0.01 m)圖123【模型建立】首先從題目情境中抽象出“數(shù)學(xué)模型”，然后根據(jù)問(wèn)題，從中構(gòu)造出合適的直角三角形再求解這里一定要準(zhǔn)確記憶特殊角的三角函數(shù)值.【變式變形】1如圖124，小陽(yáng)發(fā)現(xiàn)電線(xiàn)桿AB在太陽(yáng)光下的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD8米，BC20米，CD與地面成30角，且此時(shí)測(cè)得1米長(zhǎng)的木桿的影長(zhǎng)為2米，則電線(xiàn)桿的高度為(D)圖124A9米 B28米 C(7)米 D(142)米解析 延長(zhǎng)BC，AD交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF垂直BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.如果沒(méi)有土坡的遮擋，電線(xiàn)桿AB的影長(zhǎng)應(yīng)為BE.根據(jù)相同時(shí)刻物體的高度與影長(zhǎng)成正比可得：，因此要求AB的長(zhǎng)，需先求BE的長(zhǎng)，而B(niǎo)EBCCFEF，故需求CF與EF的長(zhǎng)在RtDCF中，DFCDsin304米，CFCDcos304米由，得EF8米，所以BE(284)米，ABBE(142)米2如圖125，為了求出湖兩岸A，B兩點(diǎn)之間的距離，觀測(cè)者從測(cè)點(diǎn)A，B分別測(cè)得BAC90，ABC30，又量得BC160 m，則A，B兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)80_m(結(jié)果保留根號(hào))解析 在RtABC中，ABBCcosABC16080(m) 圖125 圖1263. 如圖126，身高1.6 m的小美用一個(gè)兩銳角分別為30和60的三角尺測(cè)量一棵樹(shù)的高度，已知她與樹(shù)之間的距離為6 m，那么這棵樹(shù)高大約為多少？(結(jié)果精確到0.1 m，其中小麗眼睛距離地面高度近似為身高)解析 樹(shù)高相當(dāng)于CE，問(wèn)題也就轉(zhuǎn)化為求CD與DE的和，而DE相當(dāng)于小美的身高，在RtACD中利用三角函數(shù)的知識(shí)求CD就成了解題的關(guān)鍵解：在RtACD中，tan30，.CD2 m.樹(shù)高CECDDE21.65.1(m)4.如圖127，在離水面高度為5米的岸上有人用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子與水面的夾角為30，此人以每秒0.5米的速度收繩問(wèn)8秒后船向岸邊移動(dòng)了多少米？(結(jié)果精確到0.1米)解析 斜邊縮短，直角邊AC不變，導(dǎo)致直角邊AB的變化，所以需要先求出斜邊變化后的值，再由勾股定理即可求解解：設(shè)8秒后，點(diǎn)B移至點(diǎn)B，此時(shí)BC100.586(米)，AB(米)，船向岸邊移動(dòng)的距離為55.3(米)答：8秒后船向岸邊移動(dòng)了5.3米 圖127 圖1285如圖128，為了測(cè)量一條河的寬度，一測(cè)量員在河岸邊的C處測(cè)得對(duì)岸一棵樹(shù)A在正南方向，測(cè)量員向正東方向走180米到點(diǎn)B處，測(cè)得這棵樹(shù)在南偏西60的方向上，求河的寬度(結(jié)果保留根號(hào))解：由題意，知ACB90，ABC30，CB180米，所以ACCBtan3018060(米)答：河寬為60米素材三 考情考向分析命題角度1 30，60角的三角函數(shù)值考查含30，60角的直角三角形的性質(zhì)sin30，cos30，sin60，cos60；等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形三線(xiàn)合一，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵例揚(yáng)州中考 如圖129，已知AOB60，點(diǎn)P在邊OA上，OP12，點(diǎn)M，N在邊OB上，PMPN.若MN2，則OM(C)圖129A.3 B4 C5 D6解析 過(guò)點(diǎn)P作PDOB，交OB于點(diǎn)D.在RtOPD中，cos60，OP12，OD6.PMPN，PDMN，MN2，MDNDMN1，OMODMD615.故選C.命題角度2 特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值常與絕對(duì)值以及完全平方的非負(fù)性、三角形內(nèi)角和定理綜合考查例邵陽(yáng)中考 在ABC中，若0，則C的度數(shù)是(D)A30B45C60D90解析 0，sinA，cosB，A30，B60，則C180306090.故選D.命題角度3 利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算在考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，往往會(huì)加入零指數(shù)冪的運(yùn)算法則、絕對(duì)值的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值等，因此熟知零指數(shù)冪的運(yùn)算法則、絕對(duì)值的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值是解答此類(lèi)題的關(guān)鍵再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可例桂林中考 計(jì)算：(1)02sin60|.解：原式1212.素材四 教材習(xí)題答案P9隨堂練習(xí)1計(jì)算：(1)sin60tan45；(2)cos60tan60；(3)sin45sin602cos45.解：(1)原式1.(2)原式 .(3)原式 2.2某商場(chǎng)有一自動(dòng)扶梯，其傾斜角為30，高為7 m扶梯的長(zhǎng)度是多少？解：設(shè)扶梯的長(zhǎng)度為x m，則sin30，解得x14.答：扶梯的長(zhǎng)度為14 m.P10習(xí)題1.31. 計(jì)算：(1)tan45sin30；(2)cos60sin45tan30；(3)6tan230sin602cos45.解：(1) 原式1.(2)原式.(3)原式622.2如圖，河岸AD，BC互相平行，橋AB垂直于兩岸，橋長(zhǎng)12 m，在C處看橋兩端A，B，夾角BCA60，求B，C間的距離(結(jié)果精確到1 m)解：在RtABC中， tanC ，AB12, C60，tan60 ，解得BC47(m)答：B，C間的距離約為7 m.3如圖，SO是等腰三角形SAB的高，已知ASB120，AB54，求SO的長(zhǎng)解：ASB是等腰三角形，ASB120，AB54，OSB60，OB27.在RtSOB中，tanOSB，SO9.4如圖，身高1.75 m的小麗用一個(gè)兩銳角分別為30和60的三角尺測(cè)量一棵樹(shù)的高度(A30)，已知她與樹(shù)之間的距離為5 m，那么這棵樹(shù)大約有多高？(結(jié)果精確到0.1 m)解：在RtADC中， tanA ，AD5, A30，tan30 ，解得CD，CEDECDABCD1.754.6(m)答：這棵樹(shù)的高度約為4.6 m.5如圖，一段長(zhǎng)1500 m的水渠，其截面為四邊形ABCD，其中ABCD，BCAD，渠深A(yù)E0.8 m，底AB1.2 m，坡角為45，那么該段水渠最多能蓄水多少立方米？解：由題意，得DECFAE0.8 m故S四邊形ABCD(ABCD)AE1.6(m2). 故水渠最多能蓄水1.615002400(m3)6某階梯的形狀如圖所示，其中線(xiàn)段ABBC，AB部分的坡角為45，BC部分的坡角為30，AD1.5 m如果每個(gè)臺(tái)階的高不超過(guò)20 cm，那么這一階梯至少有多少個(gè)臺(tái)階？(最后一個(gè)臺(tái)階的高不足20 cm時(shí)，按一個(gè)臺(tái)階計(jì)算)解：14個(gè)素材五 圖書(shū)增值練習(xí)專(zhuān)題 特殊角的三角函數(shù)值1如圖所示，在數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)x的范圍是（）.Asin30xsin60 Bcos30xcos45 Ctan30xtan45 Dtan45xtan60ABC2如圖，已知：45A90，則下列各式成立的是（）.AsinAcosABsinAcosACsinAtanADsinAcosA3在頂角為30的等腰三角形ABC中，ABAC，若過(guò)點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，則BCD15根據(jù)圖形計(jì)算tan15 4一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，ABCF，F(xiàn)ACB90，E45，A60，AC10，試求CD的長(zhǎng)ABCFDE狀元筆記：【知識(shí)要點(diǎn)】30，45，60角的三角函數(shù)值【溫馨提示】熟記三角函數(shù)的特殊值是解題的關(guān)鍵.參考答案1D2B 解析在銳角三角函數(shù)中僅當(dāng)A45時(shí)，sinAcosA，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?5A90，所以B45，即AB，所以BCAC，所以，即sinAcosA，B選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；tanA 1，sinA1，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.32解析可設(shè)CDx，用含x的代數(shù)式表示BD即可4解析過(guò)點(diǎn)B作BMFD于點(diǎn)M在ACB中，ACB90， A60，AC10，ABC30， BCACtan6010.ABCF，BCM30BMBCsin30105.CMBCcos301015.在EFD中，F(xiàn)90， E45，EDF45，MDBM5CDCMMD15-5素材六 數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升巧用特殊角解三角函數(shù)題一 巧用“勾股數(shù)”ABCD圖“勾股數(shù)”就是滿(mǎn)足勾股定理的一組數(shù)據(jù)，如最常見(jiàn)的有3、4、5或5、12、13等，熟記常見(jiàn)勾股數(shù)的能給我們解題帶來(lái)便利例1 圖四邊形ABCD中，ABC=90，AB=3，BC=4，AD=13，CD=12，求四邊形ABCD的 面積分析：連結(jié)AC，由已知條件AB=3，BC=4，易知AC=5，而這時(shí)若對(duì)5、12、13這三個(gè)數(shù)不熟悉，問(wèn)題就無(wú)法解決；若知道這是一組勾股數(shù)52+122=132即AC2+CD2=AD2，可得ACD=90，于是就得到一個(gè)新的直角三角形ACD，S四邊形ABCD = SABC+SACD= ABBC +ACCD=36ABCDM圖二 巧用“ 30”例2 如圖ABC中，ABC=90，AC=10，ACB=75，BDAC，垂足為D，求BD的長(zhǎng) 分析：由條件ACB=75，可知它的余角15，由15可想到30存在，因此可作直角三角形斜邊上的中線(xiàn)BM，BM=AM，A=ABM，BMD=2A=30，BD= BM= AC=例3（2002年，福建福州）某市在“舊城改造”中，計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形 空地上種植某種草皮，以美化環(huán)境，30米20米1503010米圖ABCD已知這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購(gòu)買(mǎi)這種草皮至少需要（ ）A450a元 B225a元 C150a元 D300a元分析：由已知中的150想到它的補(bǔ)角30，因此延長(zhǎng)一邊，找到30，并構(gòu)造30所ABCDE圖在的直角三角形，易找另一邊上的高，S=1030=150，答案C 例4（2002天津市）某片綠地的形狀如案圖，其中A=60， ABBC，ADCD，AB=200m，CD=100m，求AD、CD的長(zhǎng)（精確到1m，3 1.732） 分析：本題關(guān)鍵是充分利用A=60，若連結(jié)AC，則破壞了A，因此不能連結(jié)AC，而延長(zhǎng)AD和BC相交于E點(diǎn)，這樣既構(gòu)造出了RtABE和RtCDE，同時(shí)又保全了A，易求得AD的長(zhǎng)約為227m，BC的長(zhǎng)約為146m，詳解略ABCDP如圖三 巧用“ 45”例5如圖ABC中，ABC=135，P為AC上一點(diǎn)，且PBA=90，CP：PA=1：2，求tanAPB分析：由ABC=135，感覺(jué)到135的補(bǔ)角45的存在，而45的出現(xiàn) ，易聯(lián)想出等腰三角形，實(shí)現(xiàn)等線(xiàn)段之間的轉(zhuǎn)換，因此可作出輔助線(xiàn)，作CDAB，垂足為D，得CBD=45，CD=BD，PBCD， = =3，APB=ACD，tanAPB=tanACD= =3ABCD圖例6已知：如圖，ABC中，ABC=90，A=225，BC=3，求AB的長(zhǎng)分析：由A=225，可想到45，于是在三角形內(nèi)部構(gòu)造45，作CD=AD，得CDB=45，ABCDMN7545圖再又BC=3易求BD=3，CD=AD=3 ，AB=3+3 四 巧用“ 60”例