2010年中考數(shù)學真題分類匯編(150套)專題十八·二次函數(shù).doc

28（2010廣東中山）如圖（1），（2）所示，矩形ABCD的邊長AB=6，BC=4，點F在DC上，DF=2動點M、N分別從點D、B同時出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點A的方向運動（點M可運動到DA的延長線上），當動點N運動到點A時，M、N兩點同時停止運動連接FM、MN、FN，當F、N、M不在同一直線時，可得FMN，過FMN三邊的中點作PQW設(shè)動點M、N的速度都是1個單位/秒，M、N運動的時間為x秒試解答下列問題：（1）說明FMNQWP；（2）設(shè)0x4（即M從D到A運動的時間段）試問x為何值時，PQW為直角三角形？當x在何范圍時，PQW不為直角三角形？（3）問當x為何值時，線段MN最短？求此時MN的值【答案】解：（1）由題意可知P、W、Q分別是FMN三邊的中點，PW是FMN的中位線，即PWMNFMNQWP（2）由題意可得 DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，由勾股定理分別得 =，=+=+當=+時，+=+解得 當=+時，+=+此方程無實數(shù)根=+時，=+解得 （不合題意，舍去），綜上，當或時，PQW為直角三角形；當0x或x4時，PQW不為直角三角形（3）當0x4，即M從D到A運動時，只有當x=4時，MN的值最小，等于2；當4x6時，=+=+=當x=5時，取得最小值2，當x=5時，線段MN最短，MN=29（2010湖南常德）如圖9, 已知拋物線與軸交于A (4，0) 和B(1，0)兩點，與軸交于C點（1）求此拋物線的解析式；（2）設(shè)E是線段AB上的動點，作EF/AC交BC于F，連接CE，當CEF的面積是BEF面積的2倍時，求E點的坐標;（3）若P為拋物線上A、C兩點間的一個動點，過P作軸的平行線，交AC于Q，當P點運動到什么位置時，線段PQ的值最大，并求此時P點的坐標xyOBCA圖9【答案】解：（1）由二次函數(shù)與軸交于、兩點可得：解得：故所求二次函數(shù)的解析式為（2）SCEF=2 SBEF, EF/AC, , BEFBAC, 得故E點的坐標為(,0).（3）解法一：由拋物線與軸的交點為，則點的坐標為（0，2）若設(shè)直線的解析式為，則有解得： 故直線的解析式為若設(shè)點的坐標為，又點是過點所作軸的平行線與直線的交點，則點的坐標為（則有：即當時，線段取大值，此時點的坐標為（2，3）解法二：延長交軸于點，則要使線段最長，則只須的面積取大值時即可.設(shè)點坐標為（，則有: 即時，的面積取大值，此時線段最長，則點坐標為（2，3）30 （2010湖南郴州）如圖（1），拋物線與y軸交于點A，E（0，b）為y軸上一動點，過點E的直線與拋物線交于點B、C.（1）求點A的坐標；（2)當b=0時（如圖（2），與的面積大小關(guān)系如何？當時，上述關(guān)系還成立嗎，為什么？（3）是否存在這樣的b，使得是以BC為斜邊的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，說明理由. 第26題圖（1）圖（2）【答案】（1）將x=0，代入拋物線解析式，得點A的坐標為（0，4）（2）當b0時，直線為，由解得， 所以B、C的坐標分別為（2，2），（2，2） ，所以（利用同底等高說明面積相等亦可） 當時，仍有成立. 理由如下由，解得， 所以B、C的坐標分別為（，+b），（，+b），作軸，軸，垂足分別為F、G，則，而和是同底的兩個三角形，所以. （3）存在這樣的b.因為所以所以，即E為BC的中點所以當OE=CE時，為直角三角形 因為所以 ，而所以，解得，所以當b4或2時，OBC為直角三角形. 31（2010湖南懷化）圖9是二次函數(shù)的圖象，其頂點坐標為M(1,-4).（1）求出圖象與軸的交點A,B的坐標； （2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P，使,若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）將二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結(jié)合這個新的圖象回答：當直線與此圖象有兩個公共點時，的取值范圍.圖9【答案】解;(1) 因為M(1,-4) 是二次函數(shù)的頂點坐標，所以 令解之得.A，B兩點的坐標分別為A（-1，0），B（3,0）(2) 在二次函數(shù)的圖象上存在點P，使設(shè)則，又,圖1二次函數(shù)的最小值為-4，.當時，.故P點坐標為（-2，5）或（4，5）7分（3）如圖1，當直線經(jīng)過A點時，可得8分 當直線經(jīng)過B點時，可得由圖可知符合題意的的取值范圍為32（2010湖北鄂州）如圖，在直角坐標系中，A（-1，0），B（0，2），一動點P沿過B點且垂直于AB的射線BM運動，P點的運動速度為每秒1個單位長度，射線BM與x軸交與點C（1）求點C的坐標（2）求過點A、B、C三點的拋物線的解析式（3）若P點開始運動時，Q點也同時從C出發(fā)，以P點相同的速度沿x軸負方向向點A運動，t秒后，以P、Q、C為頂點的三角形為等腰三角形（點P到點C時停止運動，點Q也同時停止運動）求t的值（4）在（2）（3）的條件下，當CQ=CP時，求直線OP與拋物線的交點坐標【答案】（1）點C的坐標是（4，0）；（2）設(shè)過點A、B、C三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a0），將點A、B、C三點的坐標代入得：解得，拋物線的解析式是：y= x2+x+2（3）設(shè)P、Q的運動時間為t秒，則BP=t，CQ=t以P、Q、C為頂點的三角形為等腰三角形，可分三種情況討論若CQ=PC，如圖所示，則PC= CQ=BP=t有2t=BC=，t=若PQ=QC，如圖所示，過點Q作DQBC交CB于點D，則有CD=PD由ABCQDC，可得出PD=CD=，解得t=若PQ=PC，如圖所示，過點P作PEAC交AC于點E，則EC=QE=PC，t=（-t），解得t=（4）當CQ=PC時，由（3）知t=，點P的坐標是（2，1），直線OP的解析式是：y=x，因而有x =x2+x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1，直線OP與拋物線的交點坐標為（1+，）和（1-，）33（2010湖北省咸寧）已知二次函數(shù)的圖象與軸兩交點的坐標分別為（，0），（，0）（）（1）證明；（2）若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線，試求二次函數(shù)的最小值【答案】（1）證明：依題意，是一元二次方程的兩根根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得， （2）解：依題意，由（1）得二次函數(shù)的最小值為34（2010湖北恩施自治州） 如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側(cè)，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點.（1）求這個二次函數(shù)的表達式（2）連結(jié)PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四邊形POPC， 那么是否存在點P，使四邊形POPC為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由（3）當點P運動到什么位置時，四邊形 ABPC的面積最大并求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積.【答案】解：（1）將B、C兩點的坐標代入得 解得： 所以二次函數(shù)的表達式為： （2）存在點P，使四邊形POPC為菱形設(shè)P點坐標為（x，），PP交CO于E若四邊形POPC是菱形，則有PCPO連結(jié)PP 則PECO于E，OE=EC= 解得=，=（不合題意，舍去）P點的坐標為（，）8分（3）過點P作軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設(shè)P（x，），易得，直線BC的解析式為則Q點的坐標為（x，x3）.= 當時，四邊形ABPC的面積最大此時P點的坐標為，四邊形ABPC的面積 35（2010北京）在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸的交點分別為原點O和點A，點B（2，n）在這條拋物線上（1）求B點的坐標；（2）點P在線段OA上，從O點出發(fā)向A點運動，過P點作x軸的垂線，與直線OB交與點E，延長PE到點D，使得ED=PE，以PD為斜邊，在PD右側(cè)做等等腰直角三角形PCD（當P點運動時，C點、D點也隨之運動）當?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點C落在此拋物線上時，求OP的長；1yxO（第24題）123424331234412若P點從O點出發(fā)向A點作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段OA上另一個點Q從A點出發(fā)向O點作勻速運動，速度為每秒2個單位（當Q點到達O點時停止運動，P點也同時停止運動）過Q點做x軸的垂線，與直線AB交與點F，延長QF到點M，使得FM=QF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN（當Q點運動時，M點、N點也隨之運動）若P點運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值【答案】解：（1）拋物線經(jīng)過原點，m23m+2=0.解的m1=1，m2=2.由題意知m1.m=2，拋物線的解析式為點B（2，n）在拋物線，n=4.B點的坐標為（2，4）（2）設(shè)直線OB的解析式為y=k1x求得直線OB的解析式y(tǒng)=2xA點是拋物線與x軸的一個交點，可求得A點的坐標為（10，0），設(shè)P點的坐標為（a，0），則E點的坐標為（a，2a）根據(jù)題意做等腰直角三角形PCD，如圖1. 可求得點C的坐標為（3a，2a），有C點在拋物線上，得2a=x（3a）2+x3a.即a2 a=0解得 a1=，a2=0（舍去）OP= 依題意作等腰直角三角形QMN.設(shè)直線AB的解析式y(tǒng)=k2x+b由點A(10 ，0)，點B（2，4），求得直線AB的解析式為y=x+5當P點運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，有以下三種情況：第一種情況：CD與NQ在同一條直線上，如圖2所示，可證DPQ為等腰直角三角形此時QP、OP、AQ的長可依次表示為t 、4t、 2t個單位PQ = DP = 4tt+4t+2t=10t=第二種情況：PC與MN在同一條直線上，如圖3所示可證PQM為等腰直角三角形此時OP、AQ的長依次表示為t、2t個單位，OQ = 10 2tF點在直線AB上FQ=tMQ=2tPQ=MQ=CQ=2tt+2t+2t=10t=2.第三種情況：點P、Q重合時，PD、QM在同一條直線上，如圖4所示，此時OP、AQ的長依次表示為t、2t個單位t+2t=10t=綜上，符合題意的值分別為，2，36（2010云南紅河哈尼族彝族自治州）二次函數(shù)的圖像如圖8所示，請將此圖像向右平移1個單位，再向下平移2個單位. （1）畫出經(jīng)過兩次平移后所得到的圖像，并寫出函數(shù)的解析式. （2）求經(jīng)過兩次平移后的圖像與x軸的交點坐標，指出當x滿足什么條件時，函數(shù)值大于0？【答案】解：畫圖如圖所示：依題意得： = =平移后圖像的解析式為：（2）當y=0時，=0 平移后的圖像與x軸交與兩點，坐標分別為（，0）和（，0）由圖可知，當x時，二次函數(shù)的函數(shù)值大于0.37（2010云南楚雄）已知：如圖，拋物線與軸相交于兩點A(1，0)，B(3，0).與軸相較于點C（0，3）（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若點D（）是拋物線上一點，請求出的值，并求處此時ABD 的面積【答案】解：（1）由題意可知 解得所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式為（2）把D（）代人函數(shù)解析式中，得所以38（2010湖北隨州）已知拋物線頂點為C（1，1）且過原點O.過拋物線上一點P（x，y）向直線作垂線，垂足為M，連FM（如圖）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直線x1上有一點，求以PM為底邊的等腰三角形PFM的P點的坐標，并證明此時PFM為正三角形；（3）對拋物線上任意一點P，是否總存在一點N（1，t），使PMPN恒成立，若存在請求出t值，若不存在請說明理由.【答案】（1）a1，b2，c0（2）過P作直線x=1的垂線，可求P的縱坐標為，橫坐標為.此時，MPMFPF1，故MPF為正三角形.（3）不存在.因為當t，x1時，PM與PN不可能相等，同理，當t，x1時，PM與PN不可能相等.39（2010河南）在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三點.(1)求拋物線的解析式；(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，AMB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值； (3)若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=x上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、Q、B、0為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標.【答案】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a0)，則有 解得 拋物線的解析式y(tǒng)=x2+x4 （2）過點M作MDx軸于點D.設(shè)M點的坐標為（m，n）. 則AD=m+4，MD=n，n=m2m4 . S = SAMD+S梯形DMBOSABO = ( m+4) (n)(n4) (m) 44 = 2n-2m-8 = 2(m2m4) -2m-8 = m2-4m (4 m 0)S最大值 = 4 （3）滿足題意的Q點的坐標有四個，分別是：（-4 ，4 ），（4 ，-4），（-2+，2），（-2，2）40（2010四川樂山）如圖(13.1)，拋物線yx2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C(0，2)，連接AC，若tanOAC2(1)求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；(2)在拋物線的對稱軸l上是否存在點P，使APC90，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖(13.2)所示，連接BC，M是線段BC上(不與B、C重合)的一個動點，過點M作直線ll，交拋物線于點N，連接CN、BN，設(shè)點M的橫坐標為t當t為何值時，BCN的面積最大？最大面積為多少？【答案】解：（1）拋物線y=x2bxc過點C(0,2). x=2又tanOAC=2, OA=1,即A(1,0).又點A在拋物線y=x2bx2上. 0=12b12,b=3拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為y=x23x2（2）存在過點C作對稱軸l的垂線,垂足為D,如圖所示,x=.AE=OE-OA=-1=,APC=90,tanPAE= tanCPD,即，解得PE=或PE=，點P的坐標為（，）或（，）。（備注：可以用勾股定理或相似解答）（3）如圖，易得直線BC的解析式為：y=-x2，點M是直線l和線段BC的交點，M點的坐標為（t，-t+2）(0t2)MN=-t+2-(t23t2)=- t22tSBCM= SMNC+SMNB=MNt+MN(2-t)=MN(t+2-t)=MN=- t22t(0t2),SBCN=- t22t=-(t-1)2+1當t=1時，SBCN的最大值為1。41（2010江蘇徐州）如圖，已知二次函數(shù)y=的圖象與y軸交于點A，與x軸 交于B、C兩點，其對稱軸與x軸交于點D，連接AC 全品中考網(wǎng) (1)點A的坐標為_ ，點C的坐標為_ ； (2)線段AC上是否存在點E，使得EDC為等腰三角形?若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由； (3)點P為x軸上方的拋物線上的一個動點，連接PA、PC，若所得PAC的面積為S，則S取何值時，相應(yīng)的點P有且只有2個?【答案】42（2010云南昆明）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三點.（1）求此拋物線的解析式；（2）以O(shè)A的中點M為圓心，OM長為半徑作M，在（1）中的拋物線上是否存在這樣的點P，過點P作M的切線l ，且l與x軸的夾角為30，若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.（注意：本題中的結(jié)果可保留根號） 【答案】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為： 由題意得： 解得： 拋物線的解析式為： （2）存在 l拋物線的頂點坐標是，作拋物線和M（如圖），設(shè)滿足條件的切線 l 與 x 軸交于點B，與M相切于點C連接MC，過C作CD x 軸于D MC = OM = 2, CBM = 30, CMBCBCM = 90 ，BMC = 60 ，BM = 2CM = 4 , B (-2, 0) 在RtCDM中，DCM = CDM - CMD = 30DM = 1, CD = = C (1, )設(shè)切線 l 的解析式為:，點B、C在 l 上，可得： 解得： 切線BC的解析式為：點P為拋物線與切線的交點由 解得： 點P的坐標為：， 拋物線的對稱軸是直線此拋物線、M都與直線成軸對稱圖形于是作切線 l 關(guān)于直線的對稱直線 l(如圖)得到B、C關(guān)于直線的對稱點B1、C1l滿足題中要求，由對稱性，得到P1、P2關(guān)于直線的對稱點： ，即為所求的點.這樣的點P共有4個：，43（2010陜西西安）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過A（1，0），B（3，0），C（0，1）三點。 （1）求該拋物線的表達式； （2）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標?！敬鸢浮拷猓海?）設(shè)該拋物線的表達式為。根據(jù)題意，得、解之，得所求拋物線的表達式為 （2）當AB為邊時，只要PQ/AB，且PQ=AB=4即可，又知點Q在y軸上，點P的橫坐標為4或-4，這時，將合條件的點P有兩個，分別記為P1，P2。而當x=4時，此時當AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，又知點Q在y軸上，且線段AB中點的橫坐標為1，點P的橫坐標為2，這時，符合條件的點P只有一個，記為P3，而當x=2時，y=-1，此時P3（2，-1）綜上，滿足條件的點44（2010四川內(nèi)江）如圖，拋物線ymx22mx3m(m0)與x軸交于A、B兩點， 與y軸交于C點.（1）請求拋物線頂點M的坐標（用含m的代數(shù)式表示），A，B兩點的坐標；（2）經(jīng)探究可知，BCM與ABC的面積比不變，試求出這個比值；（3）是否存在使BCM為直角三角形的拋物線？若存在，請求出；如果不存在，請說明理由.xMABCyO【答案】解：（1）ymx22mx3mm(x22x3)m(x1)24m,拋物線頂點M的坐標為（1，4m）2分拋物線ymx22mx3m(m0)與x軸交于A、B兩點，當y0時，mx22mx3m0，m0，x22x30，解得x11，x,23，A，B兩點的坐標為（1,0）、（3,0）.4分（2）當x0時，y3m，點C的坐標為（0，3m）,SABC|3(1)|3m|6|m|6m，5分過點M作MDx軸于D，則OD1，BDOBOD2，MD|4m |4m.xMABCyODNSBCMSBDM S梯形OCMDSOBCBDDM(OCDM)ODOBOC24m(3m4m)133m3m，7分 SBCM：SABC12.8分（3）存在使BCM為直角三角形的拋物線. 過點C作CNDM于點N，則CMN為Rt，CNOD1，DNOC3m,MNDMDNm,CM2CN2MN21m2， 在RtOBC中，BC2OB2OC299m2，在RtBDM中，BM2BD2DM2416m2.如果BCM是Rt，且BMC90時，CM2BM2BC2,即1m2416m299m2，解得m,m0，m.存在拋物線yx2x使得BCM是Rt;10分如果BCM是Rt，且BCM90時，BC2CM2BM2.即99m21m2416m2，解得m1,m0，m1.存在拋物線yx22x3使得BCM是Rt; 如果BCM是Rt，且CBM90時，BC2BM2CM2.即99m2416m21m2，整理得m2，此方程無解,以CBM為直角的直角三角形不存在.（或99m21m2，416m21m2，以CBM為直角的直角三角形不存在.）綜上的所述，存在拋物線yx2x和yx22x3使得BCM是Rt.45（2010廣東東莞）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，它與軸的一個交點坐標為（1，0），與軸的交點坐標為（0，3）求出b,c的值，并寫出此時二次函數(shù)的解析式；根據(jù)圖象，寫出函數(shù)值y為正數(shù)時，自變量x的取值范圍xy31O【答案】根據(jù)題意，得：，解得，所以拋物線的解析式為令，解得；根據(jù)圖象可得當函數(shù)值y為正數(shù)時，自變量x的取值范圍是1346（2010 福建三明）已知拋物線經(jīng)過點B（2，0）和點C（0，8），且它的對稱軸是直線。 （1）求拋物線與軸的另一交點A坐標；（2分） （2）求此拋物線的解析式；（3分） （3）連結(jié)AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B）不重合，過點E作EFAC交BC于點F，連結(jié)CE，設(shè)AE的長為m，CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）在（3）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時BCE的形狀；若不存在，請說明理由。【答案】（1）拋物線的對稱軸是直線由對稱性可得A點的坐標為（-6，0）2分 （2）點C（0，8）在拋物線的圖象上將A（-6，0）、B（2，0）代入表達式得解得 所求解析式為也可用5分 （3）依題意，AE=m，則BE=8-mOA=6，OC=8，AC=10EF/AC 過點F作FGAB，垂足為G，則10分 （4）存在.理由如下：當m=4時，S有最大值，S最大值=812分m=4點E的坐標為（-2，0）為等腰三角形14分47（2010湖北襄樊）如圖7，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=4，OB=2，拋物線過A、B、C三點，與x軸交于另一點D一動點P以每秒1個單位長度的速度從B點出發(fā)沿BA向點A運動，運動到點A停止，同時一動點Q從點D出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿DC向點C運動，與點P同時停止（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線的對稱軸與AB交于點E，與x軸交于點F，當點P運動時間t為何值時，四邊形POQE是等腰梯形？（3）當t為何值時，以P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似？圖7【答案】解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，OC=AB=4A（4，2），B（0，2），C（4，0）拋物線y=ax2+bx+c過點B，c=2由題意，有 解得所求拋物線的解析式為（2）將拋物線的解析式配方，得拋物線的對稱軸為x=2D（8，0），E（2，2），F(xiàn)（2，0）欲使四邊形POQE為等腰梯形，則有OP=QE即BP=FQt=63t，即t= （3）欲使以P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似，PBO=BOQ=90，有或，即PB=OQ或OB2=PBQO若P、Q在y軸的同側(cè)當PB=OQ時，t=83t，t=2當OB2=PBQO時，t(83t)=4，即3t28t+4=0解得若P、Q在y軸的異側(cè)當PB=OQ時，3t8=t，t=4當OB2=PBQO時，t(3t8)=4，即3t28t4=0解得t=0故舍去，t=當t=2或t=或t=4或t=秒時，以P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似48（2010 山東東營） 如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標軸交于點A（-1， 0）和點B（0，-5）（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點P，使得ABP的周長最小請求出點P的坐標xOA（第23題圖）By【答案】解：（1）根據(jù)題意，得2分解得 3分xOA（第23題圖）ByCPx=2二次函數(shù)的表達式為4分（2）令y=0，得二次函數(shù)的圖象與x軸 的另一個交點坐標C（5, 0）.5分由于P是對稱軸上一點，連結(jié)AB，由于，要使ABP的周長最小，只要最小.6分由于點A與點C關(guān)于對稱軸對稱，連結(jié)BC交對稱軸于點P，則= BP+PC =BC，根據(jù)兩點之間，線段最短，可得的最小值為BC.因而BC與對稱軸的交點P就是所求的點.8分設(shè)直線BC的解析式為，根據(jù)題意，可得解得所以直線BC的解析式為.9分因此直線BC與對稱軸的交點坐標是方程組的解，解得所求的點P的坐標為（2，-3）.10分49（2010 四川綿陽）如圖，拋物線y = ax2 + bx + 4與x軸的兩個交點分別為A（4，0）、B（2，0），與y軸交于點C，頂點為DE（1，2）為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點D的坐標；（2）在直線EF上求一點H，使CDH的周長最小，并求出最小周長；（3）若點K在x軸上方的拋物線上運動，當K運動到什么位置時，EFK的面積最大？并求出最大面積CEDGAxyOBF【答案】（1）由題意，得 解得，b =1所以拋物線的解析式為，頂點D的坐標為（1，）（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M因為EF垂直平分BC，即C關(guān)于直線EG的對稱點為B，連結(jié)BD交于EF于一點，則這一點為所求點H，使DH + CH最小，即最小為DH + CH = DH + HB = BD = 而 CDH的周長最小值為CD + DR + CH =設(shè)直線BD的解析式為y = k1x + b，則 解得 ，b1 = 3所以直線BD的解析式為y =x + 3由于BC = 2，CE = BC2 =，RtCEGCOB，得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5G（0，1.5）同理可求得直線EF的解析式為y =x +聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使CDH的周長最小的點H（，）（3）設(shè)K（t，），xFtxE過K作x軸的垂線交EF于N則 KN = yKyN =（t +）=所以 SEFK = SKFN + SKNE =KN（t + 3）+KN（1t）= 2KN = t23t + 5 =（t +）2 +即當t =時，EFK的面積最大，最大面積為，此時K（，）50（2010 湖北孝感） 如圖，已知二次函數(shù)圖像的頂點坐標為（2，0），直線與二次函數(shù)的圖像交于A、B兩點，其中點A在y軸上。 （1）二次函數(shù)的解析式為y= ；（3分） （2）證明點不在（1）中所求的二次函數(shù)的圖像上；（3分） （3）若C為線段AB的中點，過C點作軸于E點，CE與二次函數(shù)的圖像交于D點。 y軸上存在點K，使以K、A、D、C為頂點的四邊形是平行四邊形，則K點的坐標是 ；（2分） 二次函數(shù)的圖像上是否存在點P，使得？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由。（4分）【答案】（1）解：3分 （2）證明：設(shè)點的圖像上，則有：4分整理得原方程無解5分的圖象上6分說明：由從而判斷點不在二次函數(shù)圖像上的同樣給分。 （3）解：；8分二次函數(shù)的圖象上存在點P，使得如圖，過點B作軸于F，則BF/CE/AO，又C為AB中點，9分設(shè)，由題意有：10分解得11分 12分說明：在求出得到POE的邊OE上的高為16，即點P的縱坐標為16，然后由可求出P點坐標。51（2010 江蘇鎮(zhèn)江）運算求解 已知二次函數(shù)的圖象C1與x軸有且只有一個公共點. （1）求C1的頂點坐標； （2）將C1向下平移若干個單位后，得拋物線C2，如果C2與x軸的一個交點為A（3，0），求C2的函數(shù)關(guān)系式，并求C2與x軸的另一個交點坐標； （3）若的取值范圍.【答案】（1） （1分）軸有且只有一個公共點，頂點的縱坐標為0.C1的頂點坐標為（1，0） （2分） （2）設(shè)C2的函數(shù)關(guān)系式為把A（3，0）代入上式得C2的函數(shù)關(guān)系式為 （3分）拋物線的對稱軸為軸的一個交點為A（3，0），由對稱性可知，它與x軸的另一個交點坐標為（1，0）. （4分） （3）當?shù)脑龃蠖龃?，?（5分）52(2010江蘇蘇州) (本題滿分9分)如圖，以A為頂點的拋物線與y軸交于點B已知A、B兩點的坐標分別為(3，0)、(0，4) (1)求拋物線的解析式； (2)設(shè)M(m，n)是拋物線上的一點(m、n為正整數(shù))，且它位于對稱軸的右側(cè)若以M、B、O、A為頂點的四邊形四條邊的長度是四個連續(xù)的正整數(shù)，求點M的坐標； (3)在(2)的條件下，試問：對于拋物線對稱軸上的任意一點P，PA2+PB2+PM228是否總成立?請說明理由【答案】53（2010廣東廣州，21，12分）已知拋物線yx22x2（1）該拋物線的對稱軸是 ，頂點坐標 ；（2）選取適當?shù)臄?shù)據(jù)填入下表，并在圖7的直角坐標系內(nèi)描點畫出該拋物線的圖象；xy（3）若該拋物線上兩點A（x1，y1），B（x2，y2）的橫坐標滿足x1x21，試比較y1與y2的大小【答案】解：（1）x1；（1，3）（2）x10123y12321（3）因為在對稱軸x1右側(cè)，y隨x的增大而減小，又x1x21，所以y1y254（10湖南益陽）如圖，在平面直角坐標系中，已知A、B、C三點的坐標分別為A（2，0），B（6，0），C（0，3）.(1)求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；(2)過點作CD平行于軸交拋物線于點D，寫出D點的坐標，并求AD、BC的交點E的坐標；(3)若拋物線的頂點為，連結(jié)C、D，判斷四邊形CEDP的形狀，并說明理由.【答案】解： 由于拋物線經(jīng)過點，可設(shè)拋物線的解析式為，則，解得拋物線的解析式為4分 的坐標為 5分直線的解析式為直線的解析式為由求得交點的坐標為 8分連結(jié)交于，的坐標為又，且四邊形是菱形12分55（2010江蘇南京）（7分）已知點A（1，1）在二次函數(shù)圖像上。（1）用含的代數(shù)式表示；（2）如果該二次函數(shù)的圖像與軸只有一個交點，求這個二次函數(shù)的圖像的頂點坐標。【答案】56（2010江蘇鹽城）（本題滿分12分）已知：函數(shù)y=ax2+x+1的圖象與x軸只有一個公共點（1）求這個函數(shù)關(guān)系式；（2）如圖所示，設(shè)二次函數(shù)y=ax2+x+1圖象的頂點為B，與y軸的交點為A，P為圖象上的一點，若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點B，求P點的坐標；（3）在(2)中，若圓與x軸另一交點關(guān)于直線PB的對稱點為M，試探索點M是否在拋物線y=ax2+x+1上，若在拋物線上，求出M點的坐標；若不在，請說明理由AxyOB【答案】解：（1）當a = 0時，y = x+1，圖象與x軸只有一個公共點(1分)當a0時，=1- 4a=0，a = ，此時，圖象與x軸只有一個公共點函數(shù)的解析式為：y=x+1 或y=x2+x+1（3分） （2）設(shè)P為二次函數(shù)圖象上的一點，過點P作PCx 軸于點C是二次函數(shù)，由（1）知該函數(shù)關(guān)系式為：y=x2+x+1，則頂點為B（-2，0），圖象與y軸的交點坐標為A（0，1）（4分）以PB為直徑的圓與直線AB相切于點B PBAB 則PBC=BAO RtPCBRtBOA ，故PC=2BC，（5分）設(shè)P點的坐標為(x，y)，ABO是銳角，PBA是直角，PBO是鈍角，x-2BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P點的坐標為(x，-4-2x)點P在二次函數(shù)y=x2+x+1的圖象上，-4-2x=x2+x+1（6分）解之得：x1=-2，x2=-10x-2 x=-10，P點的坐標為：(-10，16)（7分）（3）點M不在拋物線上（8分）由（2）知：C為圓與x 軸的另一交點，連接CM，CM與直線PB的交點為Q，過點M作x軸的垂線，垂足為D，取CD的中點E，連接QE，則CMPB，且CQ=MQ QEMD，QE=MD，QECECMPB，QECE PCx 軸 QCE=EQB=CPBtanQCE= tanEQB= tanCPB =CE=2QE=22BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE=Q點的坐標為(-，)可求得M點的坐標為(，)（11分）=C點關(guān)于直線PB的對稱點M不在拋物線上（12分）(其它解法，仿此得分)1-21AxyOBPMCQED57（2010遼寧丹東市）如圖，平面直角坐標系中有一直角梯形OMNH，點H的坐標為（8，0），點N的坐標為（6，4）（1）畫出直角梯形OMNH繞點O旋轉(zhuǎn)180的圖形OABC，并寫出頂點A，B，C的坐標（點M的對應(yīng)點為A， 點N的對應(yīng)點為B， 點H的對應(yīng)點為C）；（2）求出過A，B，C三點的拋物線的表達式； （3）截取CE=OF=AG=m，且E，F(xiàn)，G分別在線段CO，OA，AB上，求四邊形BEFG的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；面積S是否存在最小值?若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由； （4）在（3）的情況下，四邊形BEFG是否存在鄰邊相等的情況，若存在，請直接寫出此時m的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，說明理由第26題圖 【答案】（1） 利用中心對稱性質(zhì)，畫出梯形OABC 1分A，B，C三點與M，N，H分別關(guān)于點O中心對稱，A（0，4），B（6，4），C（8，0） 3分（寫錯一個點的坐標扣1分）OMNHACEFDB8(6，4)xy（2）設(shè)過A，B，C三點的拋物線關(guān)系式為，拋物線過點A（0，4）， 則拋物線關(guān)系式為 4分將B（6，4）， C（8，0）兩點坐標代入關(guān)系式，得5分 解得6分所求拋物線關(guān)系式為：7分（3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m 8分 OA（AB+OC）AFAGOEOFCEOA （ 04） 10分 當時，S的取最小值又0m4，不存在m值，使S的取得最小值 12分（4）當時，GB=GF，當時，BE=BG14分58（2010山東濟寧）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（，）的拋物線交軸于點，交軸于，兩點（點在點的左側(cè)）. 已知點坐標為（，）.（1）求此拋物線的解析式；（2）過點作線段的垂線交拋物線于點， 如果以點為圓心的圓與直線相切，請判斷拋物線的對稱軸與有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；(第23題)（3）已知點是拋物線上的一個動點，且位于，兩點之間，問：當點運動到什么位置時，的面積最大？并求出此時點的坐標和的最大面積.【答案】（1）解：設(shè)拋物線為.拋物線經(jīng)過點（0，3），.拋物線為.3分 (2) 答：與相交. 4分證明：當時，. 為（2，0），為（6，0）.設(shè)與相切于點，連接，則.，.又，.6分拋物線的對稱軸為，點到的距離為2.拋物線的對稱軸與相交. 7分(3) 解：如圖，過點作平行于軸的直線交于點.可求出的解析式為.8分設(shè)點的坐標為（，），則點的坐標為（，）. . , 當時，的面積最大為. 此時，點的坐標為（3，）. 10分(第23題)59（2010甘肅蘭州）（本題滿分11分）如圖1，已知矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3；拋物線經(jīng)過坐標