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2011年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編數(shù)列一、選擇題1(天津理4)已知為等差數(shù)列,其公差為-2,且是與的等比中項(xiàng),為的前項(xiàng)和,則的值為A-110 B-90 C90 D110【答案】D2(四川理8)數(shù)列的首項(xiàng)為,為等差數(shù)列且若則,則A0 B3 C8 D11【答案】B【解析】由已知知由疊加法3(四川理11)已知定義在上的函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),設(shè)在上的最大值為,且的前項(xiàng)和為,則A3 B C2 D【答案】D【解析】由題意,在上,4(上海理18)設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列,是邊長(zhǎng)為的矩形面積(),則為等比數(shù)列的充要條件為A是等比數(shù)列。 B或是等比數(shù)列。C和均是等比數(shù)列。D和均是等比數(shù)列,且公比相同。【答案】D5(全國(guó)大綱理4)設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,公差,則A8 B7 C6 D5【答案】D6(江西理5) 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足:,且=1那么=A1 B9 C10 D55【答案】A7(福建理10)已知函數(shù)f(x)=e+x,對(duì)于曲線y=f(x)上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,給出以下判斷:ABC一定是鈍角三角形ABC可能是直角三角形ABC可能是等腰三角形ABC不可能是等腰三角形其中,正確的判斷是A B C D【答案】B二、填空題8(湖南理12)設(shè)是等差數(shù)列,的前項(xiàng)和,且,則= 【答案】259(重慶理11)在等差數(shù)列中,則_【答案】7410(北京理11)在等比數(shù)列an中,a1=,a4=-4,則公比q=_;_。2 【答案】11(安徽理14)已知的一個(gè)內(nèi)角為120o,并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,則的面積為_.【答案】12(湖北理13)九章算術(shù)“竹九節(jié)”問(wèn)題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共為3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為 升?!敬鸢浮?3(廣東理11)等差數(shù)列前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和若,則k=_【答案】1014(江蘇13)設(shè),其中成公比為q的等比數(shù)列,成公差為1的等差數(shù)列,則q的最小值是_【答案】三、解答題15(江蘇20)設(shè)部分為正整數(shù)組成的集合,數(shù)列,前n項(xiàng)和為,已知對(duì)任意整數(shù)kM,當(dāng)整數(shù)都成立 (1)設(shè)的值; (2)設(shè)的通項(xiàng)公式本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查考生分析探究及邏輯推理的能力,滿分16分。解:(1)由題設(shè)知,當(dāng), 即, 從而 所以的值為8。 (2)由題設(shè)知,當(dāng) , 兩式相減得所以當(dāng)成等差數(shù)列,且也成等差數(shù)列從而當(dāng)時(shí),(*)且,即成等差數(shù)列,從而,故由(*)式知當(dāng)時(shí),設(shè)當(dāng),從而由(*)式知故從而,于是因此,對(duì)任意都成立,又由可知,解得因此,數(shù)列為等差數(shù)列,由所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為16(安徽理18)在數(shù)1和100之間插入個(gè)實(shí)數(shù),使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這個(gè)數(shù)的乘積記作,再令.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.本題考查等比和等差數(shù)列,指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算,兩角差的正切公式等基本知識(shí),考查靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力,綜合運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力.解:(I)設(shè)構(gòu)成等比數(shù)列,其中則 并利用(II)由題意和(I)中計(jì)算結(jié)果,知另一方面,利用得所以17(北京理20)若數(shù)列滿足,數(shù)列為數(shù)列,記=()寫出一個(gè)滿足,且0的數(shù)列;()若,n=2000,證明:E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011;()對(duì)任意給定的整數(shù)n(n2),是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列,使得=0?如果存在,寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列;如果不存在,說(shuō)明理由。 解:()0,1,2,1,0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A5)()必要性:因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列,所以.所以A5是首項(xiàng)為12,公差為1的等差數(shù)列.所以a2000=12+(20001)1=2011.充分性,由于a2000a10001,a2000a10001a2a11所以a2000a19999,即a2000a1+1999.又因?yàn)閍1=12,a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是遞增數(shù)列.綜上,結(jié)論得證。()令因?yàn)樗砸驗(yàn)樗詾榕紨?shù),所以要使為偶數(shù),即4整除.當(dāng)時(shí),有當(dāng)?shù)捻?xiàng)滿足,當(dāng)不能被4整除,此時(shí)不存在E數(shù)列An,使得18(福建理16) 已知等比數(shù)列an的公比q=3,前3項(xiàng)和S3=。(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(II)若函數(shù)在處取得最大值,且最大值為a3,求函數(shù)f(x)的解析式。本小題主要考查等比數(shù)列、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,滿分13分。 解:(I)由解得所以(II)由(I)可知因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為3,所以A=3。因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得最大值,所以又所以函數(shù)的解析式為19(廣東理20) 設(shè)b0,數(shù)列滿足a1=b,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,解: (1)由令,當(dāng)當(dāng)時(shí),當(dāng) (2)當(dāng)時(shí),(欲證),當(dāng)綜上所述20(湖北理19)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足:,N*,()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()若存在N*,使得,成等差數(shù)列,是判斷:對(duì)于任意的N*,且,是否成等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查推理論證能力,以及特殊與一般的思想。(滿分13分) 解:(I)由已知可得,兩式相減可得 即 又所以r=0時(shí), 數(shù)列為:a,0,0,; 當(dāng)時(shí),由已知(), 于是由可得, 成等比數(shù)列, , 綜上,數(shù)列的通項(xiàng)公式為 (II)對(duì)于任意的,且成等差數(shù)列,證明如下: 當(dāng)r=0時(shí),由(I)知, 對(duì)于任意的,且成等差數(shù)列, 當(dāng),時(shí), 若存在,使得成等差數(shù)列, 則, 由(I)知,的公比,于是 對(duì)于任意的,且 成等差數(shù)列, 綜上,對(duì)于任意的,且成等差數(shù)列。21(遼寧理17) 已知等差數(shù)列an滿足a2=0,a6+a8=-10(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(II)求數(shù)列的前n項(xiàng)和解: (I)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由已知條件可得解得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 5分 (II)設(shè)數(shù)列,即,所以,當(dāng)時(shí), 所以 綜上,數(shù)列 12分22(全國(guó)大綱理20) 設(shè)數(shù)列滿足且()求的通項(xiàng)公式;()設(shè)解: (I)由題設(shè) 即是公差為1的等差數(shù)列。 又 所以 (II)由(I)得 ,8分12分23(全國(guó)新課標(biāo)理17) 已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(II)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和解:()設(shè)數(shù)列an的公比為q,由得所以由條件可知c0,故由得,所以故數(shù)列an的通項(xiàng)式為an=()故所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為24(山東理20) 等比數(shù)列中,分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù),且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()若數(shù)列滿足:,求數(shù)列的前n項(xiàng)和解:(I)當(dāng)時(shí),不合題意;當(dāng)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),符合題意;當(dāng)時(shí),不合題意。因此所以公式q=3,故 (II)因?yàn)樗?所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),綜上所述,25(上海理22) 已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為,(),將集合中的元素從小到大依次排列,構(gòu)成數(shù)列。(1)求;(2)求證:在數(shù)列中但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為;(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解: ; 任意,設(shè),則,即 假設(shè)(矛盾), 在數(shù)列中但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為。 , 當(dāng)時(shí),依次有, 。26(四川理20) 設(shè)為非零實(shí)數(shù),(1)寫出并判斷是否為等比數(shù)列。若是,給出證明;若不是,說(shuō)明理由;(II)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和解析:(1)因?yàn)闉槌?shù),所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列。(2)(2)(1)27(天津理20) 已知數(shù)列與滿足:, ,且()求的值;()設(shè),證明:是等比數(shù)列;(III)設(shè)證明:本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分. (I)解:由 可得又(II)證明:對(duì)任意,得將代入,可得即又因此是等比數(shù)列.(III)證明:由(II)可得,于是,對(duì)任意,有將以上各式相加,得即,此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由式得從而所以,對(duì)任意,對(duì)于n=1,不等式顯然成立.所以,對(duì)任意28(浙江理19)已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為a(),設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,成等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及(2)記,當(dāng)時(shí),試比較與的大小本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查分類討論思想。滿分14分。 (I)解:設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由得因?yàn)?,所以所以(II)解:因?yàn)?,所以因?yàn)椋援?dāng),即所以,當(dāng)當(dāng)29(重慶理2
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