立體幾何中的向量方法求空間角PPT課件.ppt

立體幾何中的向量方法 空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問題提供了一種重要的工具和方法 解題時(shí) 可用定量的計(jì)算代替定性的分析 從而避免了一些繁瑣的推理論證 求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問題 也是高考的熱點(diǎn)之一 空間的角常見的有 線線角 線面角 面面角 異面直線所成角的范圍 思考 結(jié)論 一 線線角 4 2011 陜西卷 如圖 在 ABC中 ABC 60 BAC 90 AD是BC上的高 沿AD把 ABD折起 使 BDC 90 設(shè)E為BC的中點(diǎn) 求AE與DB夾角的余弦值 易得D 0 0 0 B 1 0 0 C 0 3 0 A 0 0 E x y z 6 直線與平面所成角的范圍 思考 結(jié)論 二 線面角 7 1 若直線l的方向向量與平面 的法向量的夾角等于120 則直線l與平面 所成的角等于 A 120 B 60 C 30 D 60 或30 解析 由題意得直線l與平面 的法向量所在直線的夾角為60 直線l與平面 所成的角為90 60 30 答案 C 練習(xí) 8 如圖所示 在四棱錐P ABCD中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD PA AD 2 AB 1 AM PD于點(diǎn)M 求直線CD與平面ACM所成角的正弦值 x y z 9 利用向量法求線面角的方法 1 分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量 轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角 或其補(bǔ)角 2 通過平面的法向量來求 即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角 取其余角就是斜線和平面所成的角 10 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的方向向量 在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱 的夾角 如圖 設(shè)二面角的大小為 其中 D C B A 三 面面角 方向向量法 二面角的范圍 11 練習(xí) 如圖3 甲站在水庫底面上的點(diǎn)A處 乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處 從A B到直線 庫底與水壩的交線 的距離AC和BD分別為和 CD的長為 AB的長為 求庫底與水壩所成二面角的余弦值 解 如圖 化為向量問題 根據(jù)向量的加法法則有 于是 得 設(shè)向量與的夾角為 就是庫底與水壩所成的二面角 因此 所以 所以庫底與水壩所成二面角的余弦值為 12 三 面面角 二面角的范圍 法向量法 注意 法向量的方向 一進(jìn)一出 二面角等于法向量夾角 同進(jìn)同出 二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角 13 已知三棱柱ABC A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面 BAC 90 AB AA1 2 AC 1 M N分別是A1B1 BC的中點(diǎn) 求二面角M AN B的余弦值 x y z 14 15 求二面角最常用的方法 1 分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量 然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小 但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角 2 分別在二面角的兩個(gè)平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足出發(fā)的兩個(gè)向量 則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小 以上兩種方法各有利弊 要善于結(jié)合題目的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń忸} 16 1 異面直線所成角 2 直線與平面所成角 歸納小結(jié) D C B A 方向向量法 3