【畢業(yè)學(xué)位論文】（Word原稿）李群方法在求解幾類偏微分方程中的應(yīng)用-流體機(jī)械及工程

分類號(hào) 密級(jí) 編號(hào) 中國科學(xué)院研究生院 碩士學(xué)位論文 李群方法 在 求解幾類偏微分方程 中的應(yīng)用 指導(dǎo)教師 研究員 碩 士 中國科學(xué)院廣州能源研究所 申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別 碩士 學(xué)科專業(yè)名稱 流 體機(jī)械及工程 論文提交日期 論文答辯日期 培養(yǎng)單位 中國科學(xué)院 廣州能源研究所 學(xué)位授予單位 中國科學(xué)院研究生院 答辯委員會(huì)主席 he ie to of 2007 摘 要 傳統(tǒng)能源供應(yīng)日益緊張，開發(fā)可再生能源 已 成為當(dāng)務(wù)之急 。海洋能是眾多可再生能源的一種，波浪能利用是現(xiàn)今 各國 海洋能開發(fā)研究的重點(diǎn) ， 水動(dòng)力學(xué) 數(shù)值計(jì)算和 非線性偏微分方程 求解則是 研究 波浪能 利用 的 工具 。在眾多求解偏微分方程方法 中， 李群給我們提供了一種如何構(gòu)造 函數(shù)和自變量的變換方法， 實(shí)現(xiàn)原微分方程的約化 降維，求解此 降 維方程 便 獲得原方程的解， 它 使人們?cè)谶\(yùn)用變換求解偏微分方程時(shí)變得有章可循。 本文 的主要工作是 ，通過對(duì)求解偏微分方程 的 數(shù)值方法現(xiàn)狀 大致 介紹 和 分析其自身局限性和缺陷，以李群理論的基礎(chǔ)為始詳細(xì)介紹了幾類李群對(duì)稱方法，之后以 一科學(xué)計(jì)算軟件為平臺(tái)，通過對(duì) 熱傳導(dǎo) 方程的經(jīng)典和非經(jīng)典對(duì)稱方法的推導(dǎo)，演示其推導(dǎo)方法和結(jié)果。通過對(duì)其特征方程的常數(shù)賦予特值，獲得其群不變量，再帶回原方程實(shí)現(xiàn)降維約化，并求解 該降維方程 ，從而獲得 熱傳導(dǎo) 方程的解，然后對(duì) 程， 程， 程不同方法求解來獲得其更豐富的解。 本文的研究意義在于應(yīng)用李群方法求解偏微分方程 的 精確解， 同時(shí) 利用科學(xué)計(jì)算軟件 進(jìn)行符號(hào)計(jì)算 推導(dǎo) ， 擴(kuò)展了 李群方法 應(yīng)用的 適用性， 為 水動(dòng)力 學(xué) 方程 的 求解提供了 參考 ，同時(shí)對(duì)幾類偏微分方程的求解也增加了其解的豐富性 ，且為 波浪能的基礎(chǔ)研究提供了理論 鋪墊 ，并對(duì)進(jìn)一步的工程實(shí)際應(yīng)用具有一定的參考價(jià)值。 關(guān)鍵詞 ：李群 無窮小生成元 偏微分方程 科學(xué)計(jì)算軟件e a in of On is we to is of is in of is of of In of s is to us to of us a we In we of In , of we In , by of we so we by to of is is in at ie is in to of ie of in to in of in 錄 I 目 錄 第 1 章 緒 論 . 1 言 . 1 線性偏微分方程求解常用的幾種數(shù)值方法 . 2 限差分法 . 2 限元法 . 3 界元法 . 3 限體積法 . 4 值方法求解存在的困難 . 4 群簡(jiǎn)介 . 6 群在偏微分方程中的應(yīng)用 . 6 算機(jī)代數(shù)系統(tǒng) . 7 論文的安排 . 8 第 2 章 李群理論基礎(chǔ)及李對(duì)稱群法介紹 . 13 言 . 13 群理論基礎(chǔ) . 14 及子群 . 14 換群、單參數(shù)李群變換和無窮小變換 . 14 拓、微分方程不變性、微分方程對(duì)稱群 . 15 典李群方法 . 16 經(jīng)典李群方法 . 17 對(duì)稱方法 . 18 義對(duì)稱方法 . 22 似對(duì)稱法 . 23 參數(shù)近似群 . 23 似對(duì)稱 . 24 論 . 25 第 3 章 應(yīng)用本文方法求解幾類常見的偏微分方程 . 29 言 . 29 李群方法 在求解幾類偏微分方程中的應(yīng)用 窮小生成元的求解及熱傳導(dǎo)方程的求解 . 29 典方法求解熱傳導(dǎo)方程 . 30 經(jīng)典方法求解熱傳導(dǎo)方程 . 35 用李群方法求解 程 . 38 程的經(jīng)典李群方法求解 . 38 程的非經(jīng)典李群方法求解 . 40 用李群方法求解 程 . 41 典李群方法求解 . 42 經(jīng)典方法求解一般形式的 程 . 45 用李群方法求解 程 . 47 典李群方法求解 程 . 47 論 . 49 第 4 章 總結(jié)與展望 . 53 文主要結(jié)論 . 53 一步研究工作展望 . 54 致 謝 . 55 攻讀碩士期間發(fā)表論文情況 . 56 作者 簡(jiǎn)介 . 57 后 記 . 58 第 1 章 緒 論 1 第 1章 緒 論 言 隨著常規(guī)能源的日漸耗竭，能源危機(jī)和環(huán)境污染問題日益凸現(xiàn)。針對(duì)此問題，各國都紛紛開展和高度重視替代能源和可再生能源的研究和開發(fā)，其研究范圍已擴(kuò)展到太陽能、風(fēng)能、 生物能 、海洋能（波浪能，海流能，潮汐能，溫差能，鹽差能）、 地?zé)崮?、天然氣水合物 和核能等眾多方面。我國地域遼闊，具有豐 富的替代能源和可再生能源，加大替代能源和可再生能源資源的開發(fā)力度，將逐步改善我國以煤和石油為主的能源供應(yīng)與消費(fèi)結(jié)構(gòu)，保障我國的能源安全，促進(jìn)常規(guī)能源資源更加合理和有效的利用，實(shí)現(xiàn)能源、經(jīng)濟(jì)與環(huán)境的協(xié)調(diào)和可持續(xù)發(fā)展 1。 同時(shí) 隨著陸地資源的枯竭，人們將目光 逐漸 轉(zhuǎn)向蘊(yùn)藏著豐富資源的海洋。海洋能就是 一種 可以 利用海洋資源， 海洋能 是 指依附在海水中的可再生能源，海洋通過各種物理過程 或化學(xué)過程 接收、儲(chǔ)存和散發(fā)能量，這些能量以波浪、海流、潮汐、溫差、鹽 差 等形式存在于海洋之中。 鑒于能量轉(zhuǎn)換效率及環(huán)境影響，波浪能和海流能更具 有開發(fā)潛力 2。 波浪 能作為一種清潔的可再生能源，長期以來，世界各國投入了大量的人力和財(cái)力對(duì)其進(jìn)行研究。在二十世紀(jì)七十年代以前，波浪能利用研究的活動(dòng)主要是波能轉(zhuǎn)換裝置的發(fā)明，八十年代以后，研究進(jìn)入了以實(shí)用化、商品化為目標(biāo)的應(yīng)用示范階段，較早提出的某些影響很大的裝置，如鴨式 3、筏式 4裝置研究進(jìn)展緩慢，而振蕩水柱 (波能系統(tǒng)成為主攻方向。從 1984 年以來建成的大部分裝置都是振蕩水柱式波能裝置，如挪威 500式波能裝置 5，英國的 75式波能裝置 6，英國 500式波能裝置 7，葡萄牙 500式波能裝置 8，歐共體的 9，日本的 漂浮式波能裝置 10，印度 150箱式波能裝置 11，中國 320式振蕩水柱波力電站 12,13以及 100式振蕩水柱波力電站 14。 水動(dòng)力學(xué)和 波浪理論的基礎(chǔ)研究 是 波浪 能利用的基礎(chǔ) 之一 ， 自上世紀(jì) 80年代以來此領(lǐng)域的研究非常活躍 15,16。但是 就現(xiàn)在的波浪理論而言，因?yàn)樵诳乩钊悍椒?在求解幾類偏微分方程中的應(yīng)用 2 制方程中存在一個(gè)非線性的運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件而使得問題 變得 復(fù)雜，一般采用數(shù)值模擬 方法 ， 對(duì)于數(shù)值計(jì)算的結(jié)果 一般都需要 進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，而問題的關(guān)鍵所在 就是 開邊界條件 ， 而數(shù)值求解又要求這個(gè)邊界是確定的，所以在 波浪理論 中 出現(xiàn) 了 許多問題 。 如果能在以上理論中尋找一種精確解，必將大大提高波浪理論的基礎(chǔ)研究水平，其結(jié)果應(yīng)用到工程實(shí)際必將影響到波浪能的利用和開發(fā) 在理論研究方面的突破，針對(duì)偏微分方程的求解首當(dāng)其沖。 線性偏微分方程求解常用的幾種數(shù)值方法 偏微分方程是一門兼具有理論性和應(yīng)用性的學(xué)科，是當(dāng)今世界上解決物理世界中出現(xiàn)的各種問題重要的一門學(xué)科 。 美國科學(xué)院院士 為 17： “微分方程是所有物理科學(xué)及其相應(yīng)技術(shù)的 基礎(chǔ)。因此，毫不奇怪，微分方程對(duì)確保國家經(jīng)濟(jì)地位的技術(shù)基礎(chǔ)十分重要 ”。 然而對(duì)于偏微分方程的求解，目前還沒有十分有效的通用求解方法。 對(duì)于 非線性科學(xué)中出現(xiàn)的各種非線性偏微分方程 的求解方法目前大多分兩類：一是解析方法 1822如分離變量法，積分變換法；二是數(shù)值方法 2326如有限差分法 (有限元法 (邊界元法 (有限體積法 (。 在 波浪理論 中 ， 描述流體運(yùn)動(dòng)的方程在一般情況下屬于非線性守恒方程組，不能用解析方法求解，目前數(shù)值方法已經(jīng)成為流體力學(xué)中不可或缺的工具 27。 但對(duì)于不同問題，數(shù)值方法遇到各式各樣的困難和限制，它的局限性也日益暴露出來，如方法自身的限制，非線性邊界條件的處理，無窮遠(yuǎn)處邊界條件的給定，還有動(dòng)邊界，計(jì)算域，計(jì)算精度等問題。 下面我們分別介紹一下這幾種數(shù)值方法： 限差分法 28 有限差分法屬于求解偏微分方程最經(jīng)典和最流行的方法，之后發(fā)展的一系列特殊方法，如有限元法、譜方法、準(zhǔn)譜方法等，都只是對(duì)空間離散的一種不同于有限差分的特殊處理，還有基于將方程寫成特殊形式的特殊方法，其針對(duì)的是特殊用途，也沒有有限差分法那樣能普遍應(yīng)用。構(gòu)造有限差分法的基本思路第 1 章 緒 論 3 是將計(jì)算空 間劃分為線段、四邊形、六面體等網(wǎng)格單元，然后以 數(shù)展開等方法，對(duì)控制方程中的每項(xiàng)導(dǎo)數(shù)構(gòu)造差分，并用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。求出代數(shù)方程組的解，就作為微分方程定解問題的數(shù)值近似解。它是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡(jiǎn)單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法，并且其概念、計(jì)算格式和程序簡(jiǎn)單，收斂性也較好。 限元法 29,30 有限元法是對(duì)連續(xù)力學(xué)和物理問題的一種數(shù)值求解方法，是把無法用理論方法精確求解的復(fù)雜 問題，通過一定的方法轉(zhuǎn)換為可計(jì)算的有限單元結(jié)構(gòu)體系，并依靠計(jì)算機(jī)對(duì)原問題進(jìn)行近似求解的一種工程計(jì)算方法。它的基本思路是將求解域看成若干個(gè)有限元的小子域 (單元 )構(gòu)成，對(duì)于每一個(gè)單元假設(shè)一個(gè)較簡(jiǎn)單的近似解，然后推導(dǎo)求解該域應(yīng)滿足的條件，進(jìn)而得到問題的近似解。通過對(duì)單元?jiǎng)澐诌M(jìn)行控制，可以在要求的精度范圍內(nèi)逼近原問題的真解。有限元法的實(shí)質(zhì)就是分段（分片、分塊）逼近，將整個(gè)求解域劃分為有限個(gè)求解子區(qū)域，構(gòu)造分區(qū)的插值函數(shù)以逼近真解。其最大的優(yōu)點(diǎn)是具有廣泛的適應(yīng)性，特別適用于幾何、物理?xiàng)l件比較復(fù)雜的問題，而且便于程序的 標(biāo)準(zhǔn)化，能把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，把無限問題有限化，這對(duì)于解決許多難以求得精確解的實(shí)際問題的求解非常有效。有限元法的求解不僅計(jì)算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜問題，因而已成為工程領(lǐng)域的有效分析手段之一。 界元法 31,32 邊界元法是一種繼 有限元法 之后發(fā)展起來的一種新數(shù)值方法 ， 與有限元法在連續(xù)體域內(nèi)劃分單元的基本 思想 不同 ， 邊界元法是在定義域的邊界上劃分單元 ，用滿足 控制方程 的函數(shù)去逼近邊界條件 。 所以邊界元法與有限元相比具有單元的未知數(shù)少 ， 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn) 。邊界元法在工程問題的數(shù)值計(jì)算上，具有以下主要優(yōu)點(diǎn)： 分離散僅在邊界上進(jìn)行，從而大大簡(jiǎn)化數(shù)值計(jì)算的前處理工作； 2. 作為一種半解析的數(shù)值計(jì)算法，場(chǎng)域內(nèi)各點(diǎn)的數(shù)值解是通過解析式來計(jì)算的，從而減小了由于場(chǎng)域剖分離散所帶來李群方法 在求解幾類偏微分方程中的應(yīng)用 4 的誤差； 格剖分越密、節(jié)點(diǎn)數(shù)越 多，計(jì)算精度越高。 邊界元法的不足之處是在靠近邊界處存在奇異解的問題和數(shù)值計(jì)算線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣為非對(duì)稱滿陣。 限體積法 33 有限體積法（ 稱為控制體積法。其基本思路是：將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，并使每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周圍有一個(gè)控制體積；將待解的微分方程對(duì)每一個(gè)控制體積積分，得出一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點(diǎn)上的因變量的數(shù)值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律，即假設(shè)值的分段的分布剖面。從積分區(qū)域的選取方法看來，有限體積法屬于加權(quán)剩余法中的子區(qū)域法；從未知 解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡(jiǎn)言之，子區(qū)域法屬于有限體積 法 的基本方法。 就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律（既插值函數(shù)），并將其作為近似解。有限差分法只考慮網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)值而不考慮值在網(wǎng)格點(diǎn)之間如何變化。有限體積法只尋求的結(jié)點(diǎn)值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時(shí)，必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數(shù)只用于計(jì)算控制 體積的積分，得出離散方程之后，便 可忘掉插值函數(shù)；如果需要的話，可以對(duì)微分方程中不同 的 項(xiàng)采取不同的插值函數(shù)。 上述四種數(shù)值計(jì)算方法是流體力學(xué)中常用到的主要方法，除此之外，還有其他數(shù)值求解方法如譜方法 34,35，加權(quán)參數(shù)法 36,37，辛算法 38等。 值方法求解存在的困難 盡管數(shù)值計(jì)算方法是研究偏微分方程的一種有效手段。但對(duì)不同的問題，數(shù)值方法可能遇到各種各樣的困難或限制。以海洋中波浪變形和波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用問題為例，有如下幾個(gè)方面的問題制約著數(shù)值方法的有效實(shí)現(xiàn)： （ 1）非線性自由面邊界條件的處理 非線性自由面邊界條件的處理 是模擬非線性波浪問題的難點(diǎn)之一，目前在第 1 章 緒 論 5 數(shù)值方法中的做法是線性化處理，將非線性項(xiàng)化成線性項(xiàng)，并運(yùn)用迭代法。實(shí)踐證明，這種處理方法是有效的，但會(huì)使計(jì)算效率大為下降。 2無窮遠(yuǎn)處開邊界條件的給定 對(duì)于無窮域的波浪作用或波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用問題，利用數(shù)值方法需要給定無窮遠(yuǎn)處開邊界條件。對(duì)于線性波浪問題，數(shù)學(xué)上已經(jīng)導(dǎo)出了輻射開邊界條件，而對(duì)非線性波浪，迄今還沒有提出合適的開邊界條件。理論上數(shù)值方法不能求解該問題，目前的做法都是近似的，從數(shù)學(xué)上說，這樣求解的將不是原問題，而是原問題的近似，因此不可避免地帶來誤差。 （ 3）動(dòng)邊界問題 在研究非線性波浪問題時(shí)，自由面邊界和物面邊界都是預(yù)先未知的動(dòng)邊界，而采用數(shù)值方法求解時(shí)要求計(jì)算域的邊界是已知的。為了使數(shù)值計(jì)算能夠順利進(jìn)行，目前的做法是將計(jì)算時(shí)段取得足夠小，利用前一時(shí)刻得到的邊界來近似作為本時(shí)刻的邊界，這樣做在每一時(shí)刻都不可避免地帶來誤差，如果誤差不被放大，則計(jì)算結(jié)果是可以接受的，否則得到的結(jié)果 將因?yàn)檎`差越來越大而 失去意義 。 （ 4）計(jì)算域問題 大區(qū)域或無窮域波浪問題的求解，也是數(shù)值方法遇到的困難之一。由于區(qū)域大，將需要布置大量的計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)，從而使形成的代數(shù)方程組的系數(shù) 矩陣是一個(gè)龐大的稠密或稀疏矩陣，導(dǎo)致該類問題無法求解或是計(jì)算效率極其低下。 （ 5）計(jì)算精度問題 所有的數(shù)值方法都是近似的，因而得到的結(jié)果都是原問題的近似結(jié)果，這種近似結(jié)果在大多數(shù)情況下是可以接受的，但對(duì)某些特殊問題，如剛性方程，則可能得到的結(jié)果是錯(cuò)誤的。 （ 6）各種數(shù)值方法的自身限制 除了上面的問題外，所有的數(shù)值方法都有其自身限制。如有限差分法和有限體積法，需要構(gòu)造相容性和穩(wěn)定性好的差分格式，否則可能導(dǎo)致計(jì)算無法進(jìn)行或者計(jì)算精度很低，此外有限差分法對(duì)不規(guī)則的幾何區(qū)域問題也遇到困難，只能對(duì)不規(guī)則區(qū)域進(jìn)行近似； 邊界元方法至少需要導(dǎo)出原控制方程的格林函數(shù)，在某些情況下還可能需要得到滿足控制方程和若干邊界條件的格林函數(shù)，但對(duì)某些問題可能很難導(dǎo)出格林函數(shù)，如 程。該方法最適合于求解橢圓型的李群方法 在求解幾類偏微分方程中的應(yīng)用 6 邊值問題，對(duì)另外一些問題，可能不及有限差分或者有限元法優(yōu)越；有限元方法需要導(dǎo)出與原問題等價(jià)的積分方程，是利用該方法的難點(diǎn)之一。 高效利用海洋能首先必須解決非線性水波力學(xué)的計(jì)算問題，但該問題目前因其具有非線性邊界，求解域無窮大，運(yùn)動(dòng)隨機(jī)等難點(diǎn)，而成為計(jì)算數(shù)學(xué)目前尚未解決的難題之一。 李群 39作為一種數(shù)學(xué)工具，不少國內(nèi) 外學(xué)者紛紛用它來研究偏微分方程或常微分方程的求解。它對(duì)非線性偏微分方程非常有效，且具有解法與現(xiàn)有的數(shù)值解法不同，求解區(qū)域大小并不增加其難度等優(yōu)點(diǎn)。 群簡(jiǎn)介 4044 李群是數(shù)學(xué)中應(yīng)用極其廣泛的一個(gè)重要分支，李群與微分方程的聯(lián)系由來已久。 19 世紀(jì)末，李群的奠基人挪威數(shù)學(xué)家 是在研究微分方程的對(duì)稱性（即在變換下的不變性）的過程中，建立了連續(xù)群理論，后人稱之為李群。如果一個(gè)連續(xù)群把一組微分方程的一個(gè)解變換為另一個(gè)解，這就是連續(xù)對(duì)稱群。李群誕生后，對(duì)數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)、工程及其它以數(shù)學(xué)為 基礎(chǔ)的學(xué)科產(chǎn)生了深刻的影響，尤其在工程和應(yīng)用科學(xué)的偏微分方程研究中有很重要的應(yīng)用。隨后 5, 6, 7, 8, 9分別進(jìn)一步發(fā)展了李群，使其成為一個(gè)完整的理論體系， 0, 1，2， Na 3擴(kuò)展了李群理論，給出了用李群求解偏微分方程的相似變換理論。近年來， 論引起許多人的關(guān)注，人們 已經(jīng)開始用它求解非線性方程以及加入部分邊界條件的問題。 20 世紀(jì) 80 年代以來，隨著非線性偏微分方程研究的需要，通過微分方程的不變性來研究非線性偏微分方程的性質(zhì)，特別是求方程的精確解已吸引了越來越多的人的關(guān)注，在非線性微分方程的研究領(lǐng)域特別活躍。 群在偏微分方程中 的 應(yīng)用 5456 李群方法的早期應(yīng)用是在求解常微分方程中，對(duì)于一個(gè)常微分方程系統(tǒng)，如果知道了它的足夠大的對(duì)稱群，則可通過積分來求出它的通解，具體的說，第 1 章 緒 論 7 如果知道了一個(gè)微分方程的一個(gè)單參數(shù)對(duì)稱群，一階的方程就可以通過積分求解，高階的方程則可以降階 用李群求解偏微分方程的基本思想是：通過群變換，找到不變量（其實(shí)質(zhì)是群變換導(dǎo)致的自變量之間，或自變量與因變量之間的一種約束），再將不變量作為新變量，將原偏微分方程轉(zhuǎn)換成新變量下的降維方程（原偏微分方程在單參數(shù)群或 s 參數(shù)群的作用下會(huì)降 1 維或 s 維）。對(duì)降維方程求解后將結(jié)果還原成原來的變量而得到原偏微分方程的解。但是有時(shí)求解降維方程比求解原方程還要困難，所以在實(shí)際求解中，往往只能得到某些特殊的解。 偏微分方程求 解的常用的一種方法是在求方程的某些類型的解時(shí)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程，即當(dāng)求方程的一個(gè)對(duì)稱群的不變解時(shí)，方程可約化為常微分方程，具體約化時(shí)，不需要找到坐標(biāo)變換，只需要找到群的不變量，而尋找群的不變量不一定要知道群本身，只需要找到群的生成元就行了，當(dāng)方程的自變量的個(gè)數(shù)多于兩個(gè)時(shí)，方程雖不能化為常微分方程，但方程的自變量個(gè)數(shù)將減少一個(gè)。 利用群的不變性來尋求常微分方程和偏微分方程的解的關(guān)鍵在于利用延拓理論將微分方程的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的問題。如何 求 微分方程的 對(duì)稱 群與生成元以及求群不變 量，并由此得到降維系統(tǒng) ，使 求解 變得簡(jiǎn)明且易于應(yīng)用就顯得特別重要了，這就是微分方程的對(duì)稱研究課題。 用于水動(dòng)力學(xué)的計(jì)算，近年來， 論引起許多人的關(guān)注，在非線性微分方程的研究領(lǐng)域尤為活躍。相信隨著計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的快速發(fā)展與提高、計(jì)算機(jī)算法的改進(jìn)、計(jì)算機(jī)符號(hào)語言的使用， 論的應(yīng)用將越來越廣泛。 算機(jī)代數(shù)系統(tǒng) 57 計(jì)算機(jī)從單純計(jì)算到文字處理、圖形變換與知識(shí)表示，正在改變著我們的工作方式和生活方式?？茖W(xué)計(jì)算分?jǐn)?shù)值計(jì)算和符號(hào)計(jì)算，數(shù)值計(jì)算處理的數(shù)據(jù)和處理后的結(jié)果都是數(shù)值，它是近似計(jì)算；符號(hào)計(jì)算所處理的數(shù)據(jù)和處理后的結(jié)果都 是具有含義的抽象符號(hào)，它是精確計(jì)算。實(shí)際上，符號(hào)計(jì)算就是借助計(jì)算機(jī)來完成數(shù)學(xué)演算、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)證明。計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)是根據(jù)計(jì)算機(jī)代數(shù)原理編寫的程序系統(tǒng)。今天，計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。目前，李群方法 在求解幾類偏微分方程中的應(yīng)用 8 世界上著名的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)有： ，這些計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)提供了一些基本運(yùn)算功能，如化簡(jiǎn)、微分、積分、因式分解等。 目前最優(yōu)秀的科學(xué)計(jì)算軟件包之一，它的數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算、圖形處理以及各種程序包為科研、教學(xué)和解決各個(gè)領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了新的思路 和強(qiáng)有力的分析計(jì)算手段。本文第三章的工作都是基于 論文的安排 本文 以 李群理論的基礎(chǔ) 為始 詳細(xì)介紹了幾類李群對(duì)稱方法，之后以一科學(xué)計(jì)算軟件為平臺(tái)，通過對(duì) 熱傳導(dǎo) 方程的經(jīng)典對(duì)稱和非經(jīng)典對(duì)稱方法的推導(dǎo)，演示其推導(dǎo)方法和結(jié)果。通過對(duì)其特征方程的常數(shù)賦予特殊值， 求解 獲得群不變量，再帶回原方程實(shí)現(xiàn)降維約化并求解，從而獲得 熱傳導(dǎo) 方程的解，然后對(duì) 程， 程， 程不同方法求解來獲得其更豐富的解。 本文的大致安排是： 本章主要介紹 了波浪能利用的基礎(chǔ)水動(dòng)力學(xué) 數(shù)值 計(jì)算中遇到的偏微分方程求解方面的問題，及目前常用的求解方法， 并指出目前數(shù)值求解方法在求解過程中碰到的難題，及自身的缺陷和局限性，之后 簡(jiǎn)單介紹了李群的 起源 和 應(yīng)用李群求解 偏微分方程 思路 及其應(yīng)用現(xiàn)狀 ； 第 2 章詳細(xì)介紹了基于李群求解偏微分方程的理論基礎(chǔ)， 介紹了群理論，子群概念，及延拓理論，經(jīng)典李群方法，非經(jīng)典李群方法，勢(shì)對(duì)稱方法，廣義對(duì)稱方法， 為本文 第三章的求解提供理論基礎(chǔ) 。 第 3 章 以科學(xué)計(jì)算軟件 平臺(tái)，通過對(duì) 熱傳導(dǎo) 方程的經(jīng)典 李群 方法和非經(jīng)典李群方法的演示推導(dǎo) 求解 ，然后對(duì) 程， 程四類 偏微分方程 ，運(yùn)用不同對(duì)稱方法求解，來獲得其更豐富的解。 第 4 章對(duì)本文工作進(jìn)行總結(jié)，并提出了進(jìn)一步存在的問題，為下一步工作提供設(shè)想和展望。 第 1 章 緒 論 9 參考文獻(xiàn) ： 1 李登偉等，中國 21世紀(jì)可替代能源和可再生能源，天然氣工業(yè)， 200