2005年湖南省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷.doc

2005年湖南省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷考生注意：1.本試卷共三大題（19個(gè)小題），全卷滿分150分。2.用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答。3.解題書寫不要超出裝訂線。4.不能使用計(jì)算器。一、 選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1命題甲：；命題乙：，則命題甲是命題乙的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件2，如果圓至少覆蓋函數(shù)的一個(gè)最大點(diǎn)和一個(gè)最小點(diǎn)，則正整數(shù)的最小值為（ ） A B C D 3如果橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)成等差數(shù)列，則其離心率為（ ）A B C D 4對(duì)于 函數(shù)，則它是周期函數(shù)，這類函數(shù)的最小正周期是（ ）A B C D5函數(shù)的圖象為，而關(guān)于直線對(duì)稱的圖象為，將向左平移1個(gè)單后得到的圖象為，則所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（ ）A B C D6當(dāng)是兩個(gè)不相等的正數(shù)時(shí)，下列不等式中不成立的是（ ） A B C D 7記，若，則的值為（ ） A B C D 8某個(gè)貨場(chǎng)有2005輛車排隊(duì)等待裝貨，要求第一輛車必須裝9箱貨物，每相鄰的4輛車裝的貨物總數(shù)為34箱，為滿足上述要求，至少應(yīng)該有貨物的箱數(shù)是（ ）A B C D 9若干個(gè)棱長(zhǎng)為2、3、5的長(zhǎng)方體，依相同方向拼成棱長(zhǎng)為90的正方體，則正方體的一條對(duì)角線貫穿的小長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)是（ ）A B C D10一套重要資料鎖在一個(gè)保險(xiǎn)柜中，現(xiàn)有把鑰匙依次分給名學(xué)生依次開柜，但其中只有一把真的可以打開柜門，平均來(lái)說(shuō)打開柜門需要試開的次數(shù)為（ ）A B C D 二、填空題：(本小題共4小題，每小題6分，共24分，把答案填在題中橫線上)11設(shè)，對(duì)于函數(shù)滿足條件，那么對(duì)所有的，_;12一張坐標(biāo)紙對(duì)折一次后，點(diǎn)與點(diǎn)重疊，若點(diǎn)與點(diǎn)重疊，則_;13一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長(zhǎng)為，則這個(gè)球的體積為_;14集合中的元素是正整數(shù)，且有性質(zhì)：若，這樣的集合共有_個(gè)。三、解答題：（本大題5小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟。）15（本小題滿分12分）數(shù)列滿足，試求的值。16（本小題滿分12分）已知是面積為1的三角形的 邊上的任意一點(diǎn)，是邊上任意一點(diǎn)，連結(jié)，是線段上的任意一點(diǎn)，設(shè)且，試求三角形的面積的最大值。17（本小題滿分12分）過點(diǎn)作一條直線和分別相交于兩點(diǎn)，試求的最大值。（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）18（本小題滿分16分）若正數(shù)滿足求證19（本小題滿分14分）從岳陽(yáng)到郴州的快速列車包括起始和終點(diǎn)共有六站，將這六站分別記為A,B,C,D,E,F,有一天張兵和其他18位旅客乘同一車廂離開岳陽(yáng)，這些人中有些是湖北人，其他的是湖南人，認(rèn)識(shí)所有同車廂旅客的張兵觀測(cè)到：除了終點(diǎn)站，在每一站，當(dāng)火車到達(dá)時(shí)這節(jié)車廂上的湖南人的數(shù)目與下車旅客的數(shù)目相同，且這次行程中沒有新的旅客進(jìn)入這節(jié)車廂。張兵又進(jìn)一步觀測(cè)到，當(dāng)火車離開車站時(shí)，車廂內(nèi)有12名旅客；當(dāng)火車離開車站時(shí)，還有7名旅客在這一車廂內(nèi)；當(dāng)他準(zhǔn)備在站下車時(shí)，還有5名旅客在這一車廂內(nèi)。試問開始時(shí)火車的這一節(jié)車廂有多少湖北人，有多少湖南人？且在旅途中這些數(shù)目如何變化？2005年湖南省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷（參考答案）一：選擇題1 B 提示：從原命題的等價(jià)命題逆否命題來(lái)考慮2 B 提示：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以圓只要覆蓋的一個(gè)最值點(diǎn)即可，令，解得距原點(diǎn)最近的一個(gè)最大點(diǎn)，由題意得正整數(shù)的最小值為23C 提示：由，消去得，所以4. D 提示：將代替式中的，則有于是，可得，所以5B 提示：,6. B 提示：當(dāng)時(shí)，而7C 提示：令，則答案為48A 提示：設(shè)第輛車裝貨物箱，由題意得：，實(shí)際象以4為周期的數(shù)列，答案為9B 提示：由2，3，5的最小公倍數(shù)為30，由2，3，5組成的棱長(zhǎng)為30的正方體的一條對(duì)角線穿過的長(zhǎng)方體為整數(shù)個(gè)，所以由2。3。5組成棱長(zhǎng)為90的正方體的一條對(duì)角線穿國(guó)的小長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)應(yīng)為3的倍數(shù)，故答案為B10C 提示：當(dāng)=2時(shí)，打開柜門需要的次數(shù)為，故答案為C 或已知每一位學(xué)生打開柜門的概率為，所以打開柜門次數(shù)的平均數(shù)（即數(shù)學(xué)期望）為，故答案為C 二、 填空題：11用換元法可得12可解得對(duì)稱軸方程為，由得，所以13，提示：可把正四面體變?yōu)檎襟w的內(nèi)接正四面體，此時(shí)正方體的棱長(zhǎng)為于是球的半徑為，1463個(gè) 提示：記，故滿足條件的集合為個(gè)三、 解答題：15解：因?yàn)?，所以所以，?6解：連結(jié)，則三角形的面積為由均值不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以三角形的面積的最大值為。17解：過點(diǎn)作一圓與軸、軸分別相切于點(diǎn)A、B，且使點(diǎn)在優(yōu)弧AB上，則圓的方程為，于是過點(diǎn)作圓的切線和軸、軸分別相交于兩點(diǎn)，圓為的內(nèi)切圓，故若過點(diǎn)的直線不和圓相切，則作圓的平行于的切線和軸、軸分別相交于兩點(diǎn)，則由折線的長(zhǎng)大于的長(zhǎng)及切線長(zhǎng)定理，得所以，的最大值為6。18證明：由條件，有，令；則，從而原條件可化為： 令則，解得，故19解：由條件得在B站有7人下車，即19個(gè)旅客中有7個(gè)湖南人，在E站有2人下車，即在DE途中有2位湖南人，CD中至少有2位湖南人，在D站至少有2人下車，所以C站后車廂內(nèi)至少有9個(gè)人，又因?yàn)?，所以BC途