高三數學空間向量復習課件.ppt

空間向量復習 例3 如圖 一塊均勻的正三角形面的鋼板的質量為500kg 在它的頂點處分別受力f1 f2 f3 每個力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的角都是60 且 f1 f2 f3 200kg 這塊鋼板在這些力的作用下將會怎樣運動 這三個力最小為多少時 才能提起這塊鋼板 o a b c f1 f2 f3 500kg 例4 如圖 在四棱錐p abcd中 底面abcd是正方形 側棱pd 底面abcd pd dc e是pc的中點 作ef pb交pb于點f 1 求證 pa 平面edb 2 求證 pb 平面efd 3 求二面角c pb d的大小 d a b c e p f o a b 結論 空間任意兩個向量都是共面向量 所以它們可用同一平面內的兩條有向線段表示 因此凡是涉及空間任意兩個向量的問題 平面向量中有關結論仍適用于它們 3 1 1空間向量的運算 平面向量 概念 加法減法數乘運算 運算律 定義 表示法 相等向量 減法 三角形法則 加法 三角形法則或平行四邊形法則 空間向量 具有大小和方向的量 數乘 ka k為正數 負數 零 加法交換律 加法結合律 數乘分配律 類比思想數形結合思想 數乘 ka k為正數 負數 零 推廣 1 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量 2 首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形 則它們的和為零向量 g m 始點相同的三個不共面向量之和 等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所示向量 一 共線向量 零向量與任意向量共線 3 1 2共線向量定理與共面向量定理 若p為a b中點 則 假如op oa tab 則點p a b三點共線 可用于證明點共線 二 共面向量 1 共面向量 平行于同一平面的向量 叫做共面向量 注意 空間任意兩個向量是共面的 但空間任意三個向量就不一定共面的了 2 共面向量定理 如果兩個向量不共線 則向量與向量共面的充要條件是存在實數對使 注 可用于證明三個向量共面 推論 空間一點p位于平面mab內的充要條件是存在有序實數對x y使或對空間任一點o 有 1 已知a 2 4 5 b 3 x y 若a b 求x y的值 2 證明 三向量a e1 e2 b 3e1 2e2 c 2e1 3e2共面 若a mb nc 試求實數m n之值 1 兩個向量的夾角 3 1 3空間向量的數量積 2 兩個向量的數量積 注意 兩個向量的數量積是數量 而不是向量 零向量與任意向量的數量積等于零 3 射影 b a 注意 是軸l上的正射影 a1b1是一個可正可負的實數 它的符號代表向量與l的方向的相對關系 大小代表在l上射影的長度 4 空間向量的數量積性質 注意 性質2 是證明兩向量垂直的依據 性質3 是求向量的長度 模 的依據 對于非零向量 有 5 空間向量的數量積滿足的運算律 注意 1 應用可證明兩直線垂直 2 利用可求線段的長度 向量數量積的應用 3 1 4空間向量正交分解及其坐標表示 二 空間直角坐標系 3 1 5向量的直角坐標運算 二 距離與夾角 1 距離公式 1 向量的長度 模 公式 注意 此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度 在空間直角坐標系中 已知 則 2 空間兩點間的距離公式 2 兩個向量夾角公式 注意 1 當時 同向 2 當時 反向 3 當時 思考 當及時 的夾角在什么范圍內 立體幾何中的向量方法 1 用空間向量解決立體幾何問題的 三步曲 1 建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系 用空間向量表示問題中涉及的點 直線 平面 把立體幾何問題轉化為向量問題 2 通過向量運算 研究點 直線 平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題 3 把向量的運算結果 翻譯 成相應的幾何意義 化為向量問題 進行向量運算 回到圖形問題 二 怎樣求平面法向量 1 已知正方體abcd a1b1c1d1的棱長為2 e f分別是bb1 dd1的中點 求證 1 fc1 平面ade 2 平面ade 平面b1c1f 證明 如圖1所示建立空間直角坐標系d xyz 則有d 0 0 0 a 2 0 0 c 0 2 0 c1 0 2 2 e 2 2 1 f 0 0 1 所以 設 分別是平面ade 平面b1c1f的法向量 則 2 已知向量則上的單位向量為 同理可求 1 又fc1 平面ade 平面ade 平面ade 平面b1c1f 2 取y 1 則 三 有關結論 異面直線所成角的范圍 結論 3 2 3利用空間向量求空間角 題型二 線面角 直線與平面所成角的范圍 直線ab與平面 所成的角 可看成是向量與平面 的法向量所成的銳角的余角 所以有 二面角的范圍 關鍵 觀察二面角的范圍 b a a m n n a b 一 求異面直線的距離 方法指導 作直線a b的方向向量a b 求a b的法向量n 即此異面直線a b的公垂線的方向向量 在直線a b上各取一點a b 作向量ab 求向量ab在n上的射影d 則異面直線a b間的距離為 方法指導 作直線a b的方向向量a b 求a b的法向量n 即此異面直線a b的公垂線的方向向量 在直線a b上各取一點a b 作向量ab 求向量ab在n上的射影d 則異面直線a b間的距離為 3 2 4 如圖點p為平面外一點 點a為平面內的任一點 平面的法向量為n 過點p作平面 的垂線po 記pa和平面 所成的角為 則點p到平面的距離 n a p o 二 求點到平面的距離 例4 已知正方形abcd的邊長為4 cg 平面abcd cg 2 e f分別是ab ad的中點 求直線bd到平面gef的距離 d a b c g f e 三 求直線與平面間距離 例5 在邊長為1的正方體abcd a1b1c1d1中 m n e f分別是棱a1b1 a1d1 b1c1 c1d1的中點 求平面amn與平面efdb的距離 四 求平行平面與平面間距離 立體幾何中的向量方法 坐標法 問題1 已知 abc為正三角形 ec 平面abc 且ec db在平面abc同側 ce ca 2bd 求證 平面ade 平面ace 怎樣建立適當的空間直角坐標系 怎樣證明平面ade 平面ace 如何求平面ade 平面ace的法向量 一個平面的法向量有多少個 能否設平面ade的法向量為n 1 y z 這樣做有什么好處 解 分別以cb ce所在直線為y z軸 c為原點建立空間直角坐標系c xyz 如右下圖 設正三角形abc邊長為2則c 0 0 0 e 0 0 2 d 0 2 1 b 0 2 0 設n為ac中點 則n連接bn abc為正三角形 bn ac ec 平面abc bn ec 又ac ec c bn 平面ace 因此可取向量為平面ace的法向量 那么 設平面ade的法向量為n 1 y z 則 nn n n 平面dea 平面ace 為了方便計算 能否取平面ace的法向量為 通過上例 你能說出用坐標法解決立體幾何中問題的一般步驟嗎 步驟如下 1 建立適當的空間直角坐標系 2 寫出相關點的坐標及向量的坐標 3 進行相關的計算 4寫出幾何意義下的結論 小結 1 怎樣利用向量求距離 點到平面的距離 連結該點與平面上任意一點的向量在平面定向法向量上的射影 如果不