杭州市余杭區(qū)2015-2016學(xué)年高一上期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析

第 1頁（共 16頁） 2015年浙江省杭州市余杭區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本大題共 12小題，每小題 4分，共 48分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 .） 1已知集合 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，集合 A=2， 4， 5，則 ） A B 1， 3， 5 C 1， 3， 6， 7 D 1， 3， 5， 7 2當 a 1 時，在同一坐標系中，函數(shù) y=y=圖象是（ ） A B C D 3下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)單調(diào) 遞減的函數(shù)是（ ） A y= y=x C y= y=把函數(shù) y=圖象向右平移 個長度單位，所得曲線的對應(yīng)函數(shù)式（ ） A y=3x ） B y=3x+ ） C y=3x ） D y=3x+ ） 5若 （ 0），則 ）的值是（ ） A B C D 6函數(shù) f（ x） =5|x|的值域是（ ） A（ ， 1 B 1， +） C（ 0， 1 D（ 0， +） 7函數(shù) f（ x） = 的最大值是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 8已知函數(shù) f（ x）是 R 上的增函數(shù)，對實數(shù) a， b，若 a+b 0，則有（ ） A f（ a） +f（ b） f（ a） +f（ b） B f（ a） +f（ b） f（ a） +f（ b） C f（ a） f（ b） f（ a） f（ b） D f（ a） f（ b） f（ a） f（ b） 9若 0，則 a， b 滿足的關(guān)系是（ ） 第 2頁（共 16頁） A 1 a b B 1 b a C 0 a b 1 D 0 b a 1 10函數(shù) y=x ， 的值域是（ ） A ， B 2， 2 C 1， D 1， +1 11若 +） = ，則 為（ ） A 5 B 1 C 6 D 12已知 f（ x）為偶函數(shù)，當 x0 時， f（ x） =（ x 1） 2+1，則滿足 ff（ a） + = 的實數(shù) a 的個數(shù)為（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 二填空題（本大題共 6小題，單空每小題 6分，多空每小題 6分，共 28分，將答案填在答題卷的相應(yīng)位置） 13若函數(shù) f（ x） =3x+ ），則 f（ x）的周期是 ； f（ ） = 14若 ，則 = ； 15已知某扇形的周長是 16，圓心角是 2 弧度，則該扇形的面積是 16若函數(shù) f（ x） =35x+a 的一個零點在區(qū)間（ 2， 0）內(nèi)，另一個零點在區(qū)間（ 1， 3）內(nèi)，則實數(shù) a 的取值范圍是 17已知 f（ x） =4 區(qū)間 1， 3上是增函數(shù)，則 a 的取值范圍是 18已知定義在 R 上的函數(shù) f（ x）滿足： f（ x+1） = ，當 x（ 0， 1時， f（ x） =2x，則 f（ 于 三解答題（本大題共 4小題，共 44分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟） 19函數(shù) f（ x） =x+），（ A 0， 0， 0 ）圖象的一段如圖所示 （ 1）求此函數(shù)的解析式； （ 2）求函數(shù) f（ x）在區(qū)間 上的最大值和最小值 第 3頁（共 16頁） 20已知函數(shù) f（ x） = 為奇函數(shù) （ 1）求實數(shù) a 的值； （ 2）試判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明； （ 3）對任意的 xR，不等式 f（ x） m 恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍 21已知函數(shù) f（ x） =2 x 1（ xR） （ 1）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間； （ 2）若 f（ = ， ，求 值 22如圖，正方形 邊長為 1， P， Q 分別為 動點，且 周長為 2，設(shè) AP=x， AQ=y （ 1）求 x， y 之間的函數(shù)關(guān)系式 y=f（ x）； （ 2）判斷 大小是否為定值？并說明理由； （ 3）設(shè) 面積分別為 S，求 S 的最小值 第 4頁（共 16頁） 2015年浙江省杭州市余杭區(qū)高一（上）期末 數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12小題，每小題 4分，共 48分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 .） 1已知集合 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，集合 A=2， 4， 5，則 ） A B 1， 3， 5 C 1， 3， 6， 7 D 1， 3， 5， 7 【考點】 補集及其運算 【專題】 計算題；定義法；集合 【分析】 由全集 U 及 A，求出 A 的補集即可 【解答】 解： 集合 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，集合 A=2， 4， 5， 1， 3， 6， 7， 故選： C 【點評】 此題考查了補集及其運算，熟練掌握補集的定義是解本題的關(guān)鍵 2當 a 1 時，在同一坐標系中，函數(shù) y=y=圖象是（ ） A B C D 【考點】 對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【專題】 作圖題；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)底數(shù)與指數(shù)（對數(shù)）函數(shù)單調(diào)性即可判斷 【解答】 解： a 1 時，函數(shù) y=y=均為增函數(shù)， 故選： B 【點評】 本題考查的知識是對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握底數(shù)與指數(shù)（對 數(shù)）函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵 3下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)是（ ） A y= y=x C y= y=考點】 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷 【專題】 函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱便可判斷出 A 錯誤，可判斷 y=x 和 y= 在（ 0， 1）內(nèi)單調(diào)遞增便可判斷 B 錯誤，而根據(jù)奇函數(shù)和減函數(shù)的定義即可判斷出 C 正確，根據(jù) y= 錯誤 【解答】 解： A根據(jù) y=圖象知該函數(shù)不是奇函數(shù)， 該選項錯誤； 第 5頁（共 16頁） B y=x 和 在（ 0， 1）內(nèi)都單調(diào)遞增， 在（ 0， 1）內(nèi)單調(diào)遞增， 該選項錯誤； C y= 奇函數(shù)，且 x 增大時， y 減小， 該函數(shù)在（ 0， 1）內(nèi)單調(diào)遞減， 該選項正確； D由 y=圖象知該函數(shù)在（ 01， 1）內(nèi)單調(diào)遞增， 該選項錯誤 故選 C 【點評】 考查奇函數(shù)圖象的對稱性，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性，奇函數(shù)和減函數(shù)的定義，清楚 y= y=圖象 4把函數(shù) y=圖象向右平移 個長度單位，所得曲線的對應(yīng)函數(shù)式（ ） A y=3x ） B y=3x+ ） C y=3x ） D y=3x+ ） 【考點】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【專題】 計算題；數(shù)形結(jié)合；分析法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 根據(jù)函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律即可求解 【解答】 解：把函數(shù) y=長度單位，所得曲線的對應(yīng)函數(shù)式為 y=（ x ） =3x ） 故選： A 【點評】 本題主要考查了函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題 5若 （ 0），則 ）的值是（ ） A B C D 【考點】 兩角和與差的余弦函數(shù) 【專題】 函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的求值 【分析】 由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得 入兩角差的余弦公式計算可得 【解答】 解： 0 且 ， = ， ） = + = 故選： C 【點評】 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬基礎(chǔ)題 6函數(shù) f（ x） =5|x|的值域是（ ） A（ ， 1 B 1， +） C（ 0， 1 D（ 0， +） 第 6頁（共 16頁） 【考點】 指數(shù)函數(shù)的圖象變換 【專題】 數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 在 x 上加絕對值的圖象表明去掉絕對值后的原函數(shù)圖象只保留 x 0 部分，然后關(guān)于 y 軸對稱后得到的圖象就是填絕對值的圖象 【解答】 解： y=5其圖象是過（ 0， 1），單調(diào)遞增的， 而 y=5|x|的左側(cè)圖象是指數(shù)函數(shù) y=5 具體圖象如下： 故選： B 【點評】 本題主要考 查指數(shù)函數(shù)圖象，和在 x 上填絕對值后的圖象特點屬于基礎(chǔ)題 7函數(shù) f（ x） = 的最大值是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【專題】 數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；不等式 【分析】 作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得 【解答】 解：作出分段函數(shù) f（ x） = 的圖象（如圖）， 數(shù)形結(jié)合可得最大值為 4， 故選： D 第 7頁（共 16頁） 【點評】 本題考查函分段函數(shù)圖象，準確作圖是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題 8已知函數(shù) f（ x）是 R 上的增函數(shù)，對實數(shù) a， b，若 a+b 0，則有（ ） A f（ a） +f（ b） f（ a） +f（ b） B f（ a） +f（ b） f（ a） +f（ b） C f（ a） f（ b） f（ a） f（ b） D f（ a） f（ b） f（ a） f（ b） 【考點】 函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì) 【專題】 證明題 【分析】 先利用不等式的性質(zhì)將 a+b 0 轉(zhuǎn)化為兩實數(shù)的大小形式，再利用函數(shù) f（ x）的單調(diào)性，比較函數(shù)值的大小，最后利用同向不等式相加性得正確不等式 【解答】 解： a+b 0， a b， b a 函數(shù) f（ x）是 R 上的增函數(shù) f（ a） f（ b）， f（ b） f（ a） f（ a） +f（ b） f（ a） +f（ b） 故選 A 【點評】 本題考查了不等式的基本性質(zhì)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法 9若 0，則 a， b 滿足的關(guān)系是（ ） A 1 a b B 1 b a C 0 a b 1 D 0 b a 1 【考點】 對數(shù)值大小的比較 【專題】 計算題；方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解 【解答】 解： 0= 0 a 1， 0 b 1， 2 1，要使 0 0 b 1 0， a b，且 0 a 1， 0 b a 1 故選： D 【點評】 本題考查兩個數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運用 10函數(shù) y=x ， 的值域是（ ） A ， B 2， 2 C 1， D 1， +1 【考點】 函數(shù)的值域 【專題】 計算題；函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 直接利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)值域 【解答】 解： 函數(shù) y= x ， 上為增函數(shù)， ， 第 8頁（共 16頁） 故選： D 【點評】 本題考查函數(shù)值域的求法，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)題 11若 +） = ，則 為（ ） A 5 B 1 C 6 D 【考點】 三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值 【專題】 計算題 【分析】 由兩角和差的正弦公式，解得 ， ，相除求得 的值 【解答】 解：由題意可得 ， ， 解得 ， ， =5， 故選 A 【點評】 本題考查兩角和差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求出 ，是解題的關(guān)鍵 12已知 f（ x）為偶函數(shù)，當 x0 時， f（ x） =（ x 1） 2+1，則滿足 ff（ a） + = 的實數(shù) a 的個數(shù)為（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 【考點】 根的存在性及根的個數(shù)判斷；函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【專題】 數(shù)形結(jié)合；分類討論；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 利用換元法將函方程轉(zhuǎn)化為 f（ t） = ，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可 【解答】 解：設(shè) t=f（ a） + ， 則條件等價為 f（ t） = ， 若 x0，則 x0， 當 x0 時， f（ x） =（ x 1） 2+1， 當 x0 時， f（ x） =（ x 1） 2+1=（ x+1） 2+1， f（ x）為偶函數(shù)， f（ x） =（ x+1） 2+1=f（ x）， 即 f（ x） =（ x+1） 2+1， x0， 作出函數(shù) f（ x）的圖象如圖： 當 x0 時，由（ x 1） 2+1= ，得（ x 1） 2= ，則 x=1+ 或 x=1 ， f（ x）為偶函數(shù)， 第 9頁（共 16頁） 當 x 0 時， f（ x） = 的解為 1 ， 1+ ； 綜上所述， f（ t） = 得解為 + 或 ， 1 ， 1+ ； 由 t=f（ a） + 得， 若 + ，則 f（ a） + =1+ ，即 f（ a） = + 1，此時 a 無解， 若 ，則 f（ a） + =1 ，即 f（ a） = （ ， 0），此時 a 有 2 個解， 若 1 ，則 f（ a） + = 1 ，即 f（ a） = （ ， 0），此時 a 有 2 個解， 若 1+ ，則 f（ a） + = 1+ ，即 f（ a） = + （ ， 0），此時 a 有 2 個解， 故共有 2+2+2=6 個解 故選： C 【點評】 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合數(shù)形結(jié)合進行求解是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強，有一定的難度 二填空題（本大題共 6小題，單空每小題 6分，多空每小題 6分，共 28分，將答案填在答題卷的相應(yīng)位置） 13若函數(shù) f（ x） =3x+ ），則 f（ x）的周期是 4 ； f（ ） = 【考點】 正弦函數(shù)的圖象 【專題】 計算題；函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 利用三角函數(shù)的周期公式可求周期，利用特殊角的三角函數(shù)值即可計算得解 【解答】 解： f（ x） =3x+ ）， f（ x）的周期 T= =4， f（ ） =3+ ） =33 故答案為： 4， 第 10頁（共 16頁） 【點評】 本題主要考查了三角函數(shù)的周期公式，特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 14若 ，則 = 2 ； 【考點】 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用；三角函數(shù)的化簡求值 【專題】 轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值 【分析】 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得要求式子的值 【解答】 解： ，則 = =， = = ， 故答案為： 2； 【點評】 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題 15已知某扇形的周長是 16，圓心角是 2 弧度，則該扇形的面積是 16 【考點】 扇形面積公式 【專題】 計算題；方程思想；綜合法；三角函數(shù)的求值 【分析】 設(shè)出扇形的半徑，求出扇形的弧長，利用周長公式，求出半徑，然后求出扇形的面積 【解答】 解：設(shè)扇形的半徑為： R，所以 2R+2R=16，所以 R=4，扇形的弧長為： 8，半徑為4， 扇形的面積為： S= 84=16 故答案為： 16 【點評 】 本題是基礎(chǔ)題，考查扇形的面積公式的應(yīng)用，考查計算能力 16若函數(shù) f（ x） =35x+a 的一個零點在區(qū)間（ 2， 0）內(nèi)，另一個零點在區(qū)間（ 1， 3）內(nèi)，則實數(shù) a 的取值范圍是 （ 12， 0） 【考點】 二分法求方程的近似解 【專題】 計算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)函數(shù) f（ x） =35x+a 的一個零點在區(qū)間（ 2， 0）內(nèi)，另一個零點在區(qū)間（ 1， 3）內(nèi)，得到 ，解得即可 【解答】 解： f（ x） =35x+a 的一個零點在區(qū)間（ 2， 0）內(nèi)，另一個零點在區(qū)間（ 1，3）內(nèi)， ，即 第 11頁（共 16頁） 解得 12 a 0， 故 a 的取值范圍為（ 12， 0）， 故答案為：（ 12， 0） 【點評】 本題考查函數(shù)零點的判斷定理，理解零點判定定理的內(nèi)容，將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式組是解本題的關(guān)鍵 17已知 f（ x） =4 區(qū)間 1， 3上是增函數(shù)，則 a 的取值范圍是 4 a 0 【考點】 對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 【專題】 計算題；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 若 f（ x） =4 區(qū)間 1， 3上是增函數(shù)，則內(nèi)函數(shù) t=4 區(qū)間 1，3上是增函數(shù)，且恒為正，進而得到答案 【解答】 解： f（ x） =4 區(qū)間 1， 3上是增函數(shù)， 故內(nèi)函數(shù) t=4 區(qū)間 1， 3上是增函數(shù)，且恒為正， 故 ， 解得： 4 a 0， 故答案為： 4 a 0 【點評】 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵 18已知定義在 R 上的函數(shù) f（ x）滿足： f（ x+1） = ，當 x（ 0， 1時， f（ x） =2x，則 f（ 于 【考點】 函數(shù)的周期性；函數(shù)的值 【 專題】 計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)題意，算出 f（ x+2） =f（ x），得 f（ x）是最小正周期為 2 的周期函數(shù)從而算出 f（ =f（ 由 x（ 0， 1時 f（ x） =2x，結(jié)合 f（ x+1） f（ x） =1 算出 f（ = = ，即可得到所求的函數(shù)值 【解答】 解： f（ x+1） = ， f（ x+2） = = =f（ x），可得 f（ x）是最小正周期為 2 的周期函數(shù) 8 9 16， 2 1 3， 4） 因此 f（ =f（ 2） =f（ 第 12頁（共 16頁） f（ = = 而 f（ = = ， f（ =f（ = = 故答案為： 【點評】 本題給出函數(shù)滿足的條件，求特殊自變量對應(yīng)的函數(shù)值著重考查了函數(shù)的周期性及其證明、對數(shù)的運算法則和函數(shù)性質(zhì)的理解等知識，屬于中檔題 三解答題（本大題共 4小題，共 44分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟） 19函數(shù) f（ x） =x+），（ A 0， 0， 0 ）圖象的一段如圖所示 （ 1）求此函數(shù)的解析式； （ 2）求函數(shù) f（ x） 在區(qū)間 上的最大值和最小值 【考點】 由 y=x+）的部分圖象確定其解析式；正弦函數(shù)的圖象 【專題】 函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 （ 1）由圖象可得 A 值，由周期公式可得 ，代點結(jié)合角的范圍可得 ，可得解析式； （ 2）由 和三角函數(shù)的最值可得 【解答】 解：（ 1）由圖象可得 A= ，由 = （ ） = 可得周期 T=， = =2， f（ x） = 2x+）， ， 又 0 ， ，故 ，可得 ， 此函數(shù)的解析式為： ； （ 2） ， ， 第 13頁（共 16頁） f（ x）在 即 x=0 時取得最大值 ， f（ x）在 即 時取得最小值 【點評】 本題考查三角函數(shù)的圖象和解析式，涉及三角函數(shù)的最值，屬中檔題 20已知函數(shù) f（ x） = 為奇函數(shù) （ 1）求實數(shù) a 的值； （ 2）試判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明； （ 3）對任意的 xR，不等式 f（ x） m 恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍 【考點】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)恒成立問題 【專題】 證明題；綜合題；函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 （ 1）解 f（ 0） =0 可得 a 值； （ 2）由單調(diào)性的定義可得； （ 3） 由（ 1）（ 2）可得函數(shù) f（ x）為增函數(shù)，當 x 趨向于正無窮大時， f（ x）趨向于 1，可得 m1 【解答】 解：（ 1）由函數(shù)為奇函數(shù)可得 f（ 0） = =0，解得 a= 1； （ 2）由（ 1）可得 f（ x） = = =1 ， 可得函數(shù)在 R 上單調(diào)遞增，下面證明： 任取實數(shù) f（ f（ = = 0， 函數(shù) f（ x） = R 上的增函數(shù)； （ 3） 函數(shù) f（ x）為增函數(shù)，當 x 趨向于正無窮大時， f（ x）趨向于 1， 要使不等式 f（ x） m 恒成立，則需 m1 【點評】 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及恒成立問題， 屬中檔題 21已知函數(shù) f（ x） =2 x 1（ xR） （ 1）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間； （ 2）若 f（ = ， ，求 值 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象 【專題】 計算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 第 14頁（共 16頁） 【分析】 （ 1）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)可得解析式 f（ x） =22x