高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何階段復(fù)習(xí)課課件 新人教A版選修21 .ppt

階段復(fù)習(xí)課第三章 核心解讀 1 證明空間任意三點共線的方法設(shè)空間三點p a b 1 2 對空間任一點o 3 對空間任一點o 2 證明空間四點共面的方法設(shè)空間四點p a b c 1 x y為有序?qū)崝?shù)對 2 對空間任一點o 3 對空間任一點o x y z 1 3 空間向量運算的坐標表示設(shè)a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 1 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a a1 a2 a3 a b a1b1 a2b2 a3b3 2 重要結(jié)論a b a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 r a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 4 模 夾角和距離公式 1 設(shè)a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 則 a cos a b 2 設(shè)a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 則 5 空間向量的結(jié)論與線面位置關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系 1 設(shè)直線l的方向向量是u a1 b1 c1 平面 的法向量v a2 b2 c2 則l u v u v 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 l u v u kv a1 b1 c1 k a2 b2 c2 a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 k r 2 設(shè)直線l m的方向向量分別為a b 平面 的法向量分別為u v 則l m a b a kb k r l m a b a b 0 l a u a u 0 l a u a ku k r u v u kv k r u v u v 0 6 空間向量與空間角的關(guān)系 1 設(shè)異面直線l1 l2的方向向量分別為m1 m2 則l1與l2的夾角 滿足cos cos 2 設(shè)直線l的方向向量和平面 的法向量分別為m n 則直線l與平面 的夾角 滿足sin cos 3 求二面角的大小 如圖 ab cd是二面角 l 的兩個半平面 內(nèi)與棱l垂直的直線 則二面角的大小 如圖 n1 n2分別是二面角 l 的兩個半平面 的法向量 則二面角的大小 滿足cos cos或 cos 主題一空間向量概念及運算 典例1 1 2014 貴州高二檢測 下列說法中正確的是 a 若 a b 則a b的長度相同 方向相同或相反b 若向量a是向量b的相反向量 則 a b c 空間向量的減法滿足結(jié)合律d 在四邊形abcd中 一定有 2 如圖 在正方形abcd中 已知ab 2 m為bc的中點 若n為正方形內(nèi) 含邊界 任意一點 則的最大值為 自主解答 1 選b a b 說明a與b模長相等 但方向不確定 對于a的相反向量b a 故 a b 從而b正確 空間向量只定義加法具有結(jié)合律 減法不具有結(jié)合律 一般的四邊形不具有只有平行四邊形才能成立 故a c d均不正確 2 由數(shù)量積公式得 表示向量在向量的方向上的投影 要使值最大 只需最大 又因點n在正方形內(nèi) 含邊界 所以當點n與c重合時 過點c作ch am 垂足為h 得最大 故由ab 2 m為bc的中點可得所以的最大值為6 答案 6 延伸探究 題 2 中若結(jié)論改為則結(jié)果如何 解析 由數(shù)量積公式得表示向量在向量的方向上的投影 要使值最大 只需最大 又因點n在正方形內(nèi) 含邊界 所以當點n與c重合時 cb ab 得最大 故的最大值為4 方法技巧 空間向量運算的幾何意義 1 加法 減法 其幾何意義體現(xiàn)在平行四邊形法則與三角形法則中 2 數(shù)乘運算 其幾何意義體現(xiàn)的是在有向直線上的向量長度與方向的轉(zhuǎn)化 3 數(shù)量積公式 其幾何意義體現(xiàn)在夾角與模的理解上 如利用 a 2 a a可以解決線段長度問題 在單位向量e方向上的投影為 補償訓(xùn)練 在以下四個式子中a b c a b c a b c a b a b 表達正確的有 a 1個b 2個c 3個d 0個 解析 選a 根據(jù)數(shù)量積的定義 b c是一個實數(shù) a b c無意義 實數(shù)與向量無數(shù)量積 故a b c 錯 a b a b cos a b 只有a b c 正確 主題二空間向量的坐標運算 典例2 1 若向量a 4 2 4 b 6 3 2 則 2a 3b a 2b 2 若a x 5 x 2x 1 b 1 x 2 2 x 當取最小值時 x的值等于 自主解答 1 因為2a 3b 10 13 14 a 2b 16 4 0 所以 2a 3b a 2b 10 13 14 16 4 0 212 答案 212 2 由點a b坐標 得 1 x 2x 3 3x 3 所以當x 時 取最小值 答案 方法技巧 熟記空間向量的坐標運算公式設(shè)a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 1 加減運算 a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 2 數(shù)量積運算 a b x1x2 y1y2 z1z2 3 向量夾角 cos 4 向量長度 設(shè)m1 x1 y1 z1 m2 x2 y2 z2 則提醒 在利用坐標運算公式時注意先對向量式子進行化簡再運算 拓展延伸 向量坐標運算的綜合應(yīng)用向量運算的坐標表示公式要熟記 從而能準確快速地進行計算 專門運算的題目很少 一般與共面向量定理 共線向量定理組合出題 熟練掌握這兩個定理也是運算的基礎(chǔ) 共面向量 利用p與a b向量共面 p xa yb時 一定要注意a b不能共線 反之利用p xa yb p與a b向量共面時 則不需要a b不共線的條件 常見結(jié)論 空間任一點o和不共線三點a b c 則 x y z 1 是p a b c四點共面的充要條件 補償訓(xùn)練 設(shè)點c 2a 1 a 1 2 在點p 2 0 0 a 1 3 2 b 8 1 4 確定的平面上 則a的值為 a 7b 4c 16d 16 解析 選d 1 3 2 6 1 4 根據(jù)共面向量定理 設(shè) x y r 則 2a 1 a 1 2 x 1 3 2 y 6 1 4 x 6y 3x y 2x 4y 所以解得x 7 y 4 a 16 主題三空間向量與平行 垂直問題 典例3 1 已知a b c三點的坐標分別為a 4 1 3 b 2 5 1 c 3 7 若則 等于 a 28b 28c 14d 14 2 2014 銀川高二檢測 如圖 在長方體abcd a1b1c1d1中 aa1 ad 1 e為cd的中點 求證 b1e ad1 在棱aa1上是否存在一點p 使得dp 平面b1ae 若存在 求ap的長 若不存在 說明理由 自主解答 1 選d 2 6 2 1 6 3 因為所以 2 1 6 6 2 3 0 解得 14 2 以a為原點 的方向分別為x軸 y軸 z軸的正方向建立空間直角坐標系 如圖 設(shè)ab a 則a 0 0 0 d 0 1 0 d1 0 1 1 e 1 0 b1 a 0 1 故 0 1 1 1 1 a 0 1 1 0 因為 0 1 1 1 1 0 所以b1e ad1 假設(shè)在棱aa1上存在一點p 0 0 z0 0 z0 1 使得dp 平面b1ae 此時 0 1 z0 又設(shè)平面b1ae的法向量n x y z 由得 取x 1 得平面b1ae的一個法向量n 1 a 要使dp 平面b1ae 只要n 有 az0 0 解得z0 又dp 平面b1ae 所以存在點p 滿足dp 平面b1ae 此時ap 方法技巧 利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系 1 線線平行 證明兩條直線平行 只需證明兩條直線的方向向量是共線向量 2 線線垂直 證明兩條直線垂直 只需證明兩直線的方向向量垂直 3 線面平行 證明直線的方向向量與平面的法向量垂直 證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線的方向向量是共線向量 利用共面向量定理 即證明直線的方向向量可用平面內(nèi)兩不共線向量線性表示 4 線面垂直 證明直線的方向向量與平面的法向量平行 利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題 5 面面平行 證明兩個平面的法向量平行 即是共線向量 轉(zhuǎn)化為線面平行 線線平行問題 6 面面垂直 證明兩個平面的法向量互相垂直 轉(zhuǎn)化為線面垂直 線線垂直問題 補償訓(xùn)練 如圖所示 在平行六面體abcd a1b1c1d1中 m n分別是c1d1 ab的中點 e在aa1上且ae 2ea1 f在cc1上且cf fc1 試證明me nf 證明 由平行六面體的性質(zhì)知所以又m e n f不共線 所以me nf 主題四利用空間向量求空間角 典例4 1 2012 四川高考 如圖 在正方體abcd a1b1c1d1中 m n分別是棱cd cc1的中點 則異面直線a1m與dn所成的角的大小是 2 2013 江蘇高考 如圖 在直三棱柱a1b1c1 abc中 ab ac ab ac 2 a1a 4 點d是bc的中點 求異面直線a1b與c1d所成角的余弦值 求平面adc1與平面aba1所成二面角的正弦值 自主解答 1 設(shè)正方體的棱長為1 建立如圖所示的空間直角坐標系dxyz 則d 0 0 0 n 0 1 a1 1 0 1 m 0 0 所以 1 1 0 1 所以所以 90 所以異面直線a1m與dn所成的角的大小為90 答案 90 2 以a為坐標原點 建立如圖所示的空間直角坐標系axyz 則a 0 0 0 b 2 0 0 c 0 2 0 d 1 1 0 a1 0 0 4 c1 0 2 4 所以 2 0 4 1 1 4 因為所以異面直線a1b與c1d所成角的余弦值為 設(shè)平面adc1的法向量為n1 x y z 因為 1 1 0 0 2 4 所以n1 0 n1 0 即x y 0且y 2z 0 取z 1 得x 2 y 2 所以n1 2 2 1 是平面adc1的一個法向量 取平面aa1b的一個法向量為n2 0 1 0 設(shè)平面adc1與平面aba1所成二面角的大小為 由 cos 得sin 因此 平面adc1與平面aba1所成二面角的正弦值為 方法技巧 用向量法求空間角的注意點 1 異面直線所成角 兩異面直線所成角的范圍為0 90 需找到兩異面直線的方向向量 借助方向向量所成角求解 2 直線與平面所成的角 要求直線a與平面 所成的角 先求這個平面 的法向量n與直線a的方向向量a夾角的余弦cos n a 易知 n a 或者 n a 3 二面角 如圖 有兩個平面 與 分別作這兩個平面的法向量n1與n2 則平面 與 所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等或互補 所以首先應(yīng)判斷二面角是銳角還是鈍角 補償訓(xùn)練 2013 江西高考 如圖 四棱錐p abcd中 pa 平面abcd e為bd的中點 g為pd的中點 dab dcb ea eb ab 1 pa 連接ce并延長交ad于f 1 求證 ad 平面cfg 2 求平面bcp與平面dcp的夾角的余弦值 解題指南 1 利用判定定理證明線面垂直時 需證線線垂直 本題易證 ef ad gf ad 2 建立空間直角坐標系 借助空間向量求出 解析 1 在 abd中 因為e是bd的中點 所以ea eb ed ab 1 故 bad abe aeb 因為 dab dcb 所以 eab ecb 從而有 fed bec aeb 所以 fed fea 故ef ad af fd 又因為pg gd 所以fg pa 又pa 平面abcd 所以gf ad 又gf ef f 故ad 平面cfg 2 以點a為坐標原點 建立如圖所示的空間直角坐標系 則a 0 0 0 b 1 0 0 所以設(shè)平面bcp的法向量n1 1 y1 z1 則解得即n1 同理 設(shè)平面dcp的法向量n2 1 y2 z2 則解得即n2 1 2 從而平面bcp與平面dcp的夾角的余弦值為cos 主題五空間向量解決空間的探索性問題 典例5 2013 北京高考 如圖 在三棱柱abc a1b1c1中 aa1c1c是邊長為4的正方形 平面abc 平面aa1c1c ab 3 bc 5 1 求證 aa1 平面abc 2 求二面角a1 bc1 b1的余弦值 3 證明 在線段bc1上存在點d 使得ad a1b 并求的值 自主解答 1 因為a1acc1是正方形 所以aa1 ac 又因為平面abc 平面a1acc1 交線為ac 所以aa1 平面abc 2 因為ac 4 bc 5 ab 3 所以ac ab 分別以ac ab aa1為x軸 y軸 z軸建立如圖所示的空間直角坐標系 則a1 0 0 4 b 0 3 0 c1 4 0 4 b1 0 3 4 4 0 0 0 3 4 4 3 0 0 0 4 設(shè)平面a1bc1的法向量為n1 x1 y1 z1 平面b1bc1的法向量為n2 x2 y2 z2 所以所以 所以可取n1 0 4 3 由可得可取n2 3 4 0 所以cos n1 n2 由圖可知二面角a1 bc1 b1為銳角 所以余弦值為 3 設(shè)點d的豎坐標為t 0 t 4 在平面bcc1b1中作de bc于e 根據(jù)比例關(guān)系可知d t 4 t t 0 t 4 所以 t 4 t t 0 3 4 又因為所以 4 t 4t 0 所以t 所以 方法技巧 探索性問題的處理策略用空間向量研究立體幾何中的探索性 或存在性 問題的關(guān)鍵是構(gòu)建向量及空間直角坐標系 然后利用空間向量的數(shù)量積 向量模的投影公式處理空間平行 垂直等位置關(guān)系問題 可避開傳統(tǒng)的 作 證 算 中的難點 具有較強的可操作性 提醒 利用空間幾何體的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運算的關(guān)系式 建立方程是動點存在性問題得以解決的關(guān)鍵 補償訓(xùn)練 在底面是菱形的四棱錐p abcd中 abc 60 pa ac a pb pd 點e在pd上 且pe ed 2 1 在棱pc上是否存在一點 使bf 平面aec 證明你的結(jié)論 解析 以 為坐標原點 直線ad ap分別為y軸 z軸 過點a作垂直于平面yoz的直線為x軸 建立空間直角坐標系 由題知a 0 0 0 bc d 0 a 0 p 0 0 a e 設(shè)點 是棱pc上的點 其中0 1 則令得 即當 時 亦即f是pc的中點時 共面 又bf 平面aec 所以當f是棱pc的中點時 bf 平面aec 強化訓(xùn)練 1 已知a 1 0 2 b 6 2 1 2 若a b 則 與 的值可以是 a 2 b c 3 2d 2 2 解析 選a 因為a b 所以存在實數(shù)k 使b ka 即 6 2 1 2 k k 0 2k 所以所以或 2 在長方體abcd a1b1c1d1中 下列關(guān)于的表達式 正確的個數(shù)是 a 1個b 2個c 3個d 4個 解題指南 可借助空間幾何體中的有向線段 利用平行四邊形法則 三角形法則結(jié)合所對應(yīng)的向量進行表示 解析 選b 通過題意 可知又所以 正確 對于 所以 錯誤 同理 錯誤 對于 易得所以 正確 故選b 3 如圖所示 在正方體abcd a1b1c1d1中 以d為原點建立空間直角坐標系 e為bb1的中點 f為a1d1的中點 則下列向量中能作為平面aef的法向量的是 a 1 2 4 b 4 1 2 c 2 2 1 d 1 2 2 解析 選b 設(shè)平面aef的法向量n x y z 正方體abcd a1b1c1d1的棱長為1 則a 1 0 0 e 1 1 f 0 1 故由即所以只有選項b滿足 故選b 4 若向量a 1 2 b 2 1 2 a b夾角的余弦值為則 等于 解析 cos a b 所以 2或答案 2或 5 a 1 t 1 t t b 2 t t 則 b a 的最小值是 解析 b a 1 t 2t 1 0 因為 b a 2 1 t 2 2t 1 2 5t2 2t 2 所以 b a min 答案 誤區(qū)警示 求向量b a的模時 不能先進行向量的坐標運算 再求向量模 而是直接利用 b a 而導(dǎo)致計算煩瑣 6 2013 重慶高考 如圖 四棱錐p abcd中 pa 底面abcd bc cd 2 ac 4 acb acd f為pc的中點 af pb 1 求pa的長 2 求二面角b af d的正弦值 解題指南 建立空間直角坐標系 寫出相應(yīng)點的坐標 根據(jù)af pb可求出pa的長 再通過求平面的法向量可以求出二面角的正弦值 解析 1 如圖 連接bd交ac于o 因為bc cd 即 bcd為等腰三角形 又ac平分 bcd 故ac bd 以o為坐標原點 的方向分別為x軸 y軸 z軸的正方向 建立空間直角坐標系oxyz 則oc cdcos 1 而ac 4 得ao ac oc 3 又od cdsin故a 0 3 0 b 0 0 c 0 1 0 d 0 0 因pa 底面abcd 可設(shè)p 0 3 z 由f為pc邊中點 f 0 1 又因af pb 故 0 即6 0 z 舍去z 所以即pa長為 2 由 1 知 3