高等數(shù)學(xué)習(xí)題集-第二章 導(dǎo)數(shù)與微分.doc

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分一. 填空題1. , 則= _.解. , 假設(shè), 則 , 所以2. 設(shè) , 則_.解. , 3. 設(shè)函數(shù)y = y(x)由方程確定, 則_.解. , 所以 4. 已知f(x) =f(x), 且, 則_.解. 由f(x) =f(x)得, 所以所以 5. 設(shè)f(x)可導(dǎo), 則_.解. =+=6. 設(shè), 則k = _.解. , 所以所以 7. 已知, 則_.解. , 所以. 令x2 = 2, 所以8. 設(shè)f為可導(dǎo)函數(shù), , 則_.解. 9. 設(shè)y = f(x)由方程所確定, 則曲線y = f(x)在點(diǎn)(0, 1)處的法線方程為_.解. 上式二邊求導(dǎo). 所以切線斜率 . 法線斜率為, 法線方程為 , 即 x2y + 2 = 0.二. 單項(xiàng)選擇題1. 已知函數(shù)f(x)具有任意階導(dǎo)數(shù), 且, 則當(dāng)n為大于2的正整數(shù)時(shí), f(x)的n階導(dǎo)數(shù)是(a) (b) (c) (d) 解. , 假設(shè)=, 所以 =, 按數(shù)學(xué)歸納法 =對(duì)一切正整數(shù)成立. (a)是答案.2. 設(shè)函數(shù)對(duì)任意x均滿足f(1 + x) = af(x), 且b, 其中a, b為非零常數(shù), 則(a) f(x)在x = 1處不可導(dǎo) (b) f(x)在x = 1處可導(dǎo), 且a(c) f(x)在x = 1處可導(dǎo), 且b (d) f(x)在x = 1處可導(dǎo), 且ab解. 在f(1 + x) = af(x)中代入=, 所以. (d)是答案注: 因?yàn)闆]有假設(shè)可導(dǎo), 不能對(duì)于二邊求導(dǎo).3. 設(shè), 則使存在的最高階導(dǎo)數(shù)n為(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. . 所以n = 2, (c)是答案.4. 設(shè)函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo), 當(dāng)自變量x由x0增加到x0 + Dx時(shí), 記Dy為f(x)的增量, dy為f(x)的微分, 等于(a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) 解. 由微分定義Dy = dy + o(Dx), 所以. (b)是答案.5. 設(shè) 在x = 0處可導(dǎo), 則(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b為任意常數(shù) (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b為任意常數(shù)解. 在x = 0處可導(dǎo)一定在x = 0處連續(xù), 所以 , 所以b = 0. , , 所以 0 = a. (c)是答案.三. 計(jì)算題1. 解. 2. 已知f(u)可導(dǎo), 解. =3. 設(shè)y為x的函數(shù)是由方程確定的, 求.解. , 所以4. 已知, 求.解. , 5. 設(shè), 求解. , 6. 設(shè)函數(shù)f(x)二階可導(dǎo), , 且, 求, .解. , 所以=3. 所以 7. 設(shè)曲線x = x(t), y = y(t)由方程組確定. 求該曲線在t = 1處的曲率.解. . 所以 所以 . 所以 . 在t = 1的曲率為 四. 已知當(dāng)x 0時(shí), f(x)有定義且二階可導(dǎo), 問(wèn)a, b, c為何值時(shí) 二階可導(dǎo).解. F(x)連續(xù), 所以, 所以c = f(0) = f(0);因?yàn)镕(x)二階可導(dǎo), 所以連續(xù), 所以b = , 且 存在, 所以, 所以 , 所以 五. 已知.解. , k =