數(shù)值分析-第五版-考試總結(jié).doc

第一章：數(shù)值分析與科學(xué)計算引論截斷誤差：近似解與精確解之間的誤差。近似值的誤差e*（x為準(zhǔn)確值）：e*=x*-x近似值的誤差限*：x*-x *近似值相對誤差er*（er*較小時約等）：er*=e*xe*x*近似值相對誤差限r(nóng)*：r*=*x*函數(shù)值的誤差限*(f(x*)：*(f(x*)f(x*) *(x*)近似值x*=(a1.a2a3an)10m有n位有效數(shù)字：*=1210m-n+1r*=*x*12a110-n+1第二章：插值法1.多項式插值Px=a0+a1x+anxn其中： Pxi=yi , i=0,1,na0+a1x0+anx0n=y0a0+a1x1+anx1n=y1a0+a1xn+anxnn=yn2.拉格朗日插值Lnx=k=0nyklkx=k=0nykk+1(x)(x-xk)n+1(xk)n次插值基函數(shù)：lkx=(x-x0)(x-xk-1)(x-xk+1)(x-xn)(xk-x0)(xk-xk-1)(xk-xk+1)(xk-xn) , k=0,1,n引入記號：n+1x=(x-x0)(x-x1)(x-xn)余項：Rnx=fx-Lnx=fn+1n+1!n+1x , (a,b)3.牛頓插值多項式：Pnx=fx0+fx0,x1x-x0+fx0,x1,xnx-x0x-xn-1n階均差（把中間去掉，分別填在左邊和右邊）：fx0,x1,xn-1,xn=fx1,xn-1,xn-fx0,x1,xn-1xn-x0余項：Rnx=fx,x0,x1,xnn+1x4.牛頓前插公式（令x=x0+th，計算點(diǎn)值，不是多項式）：Pnx0+th=f0+tf0+t(t-1)2!2f0+t(t-1)(t-n-1)n!nf0n階差分：nf0=n-1f1-n-1f0余項：Rnx=tt-1t-nhn+1n+1!fn+1 , (x0,xn)5.泰勒插值多項式：Pnx=fx0+fx0x-x0+fnx0n!(x-x0)nn階重節(jié)點(diǎn)的均差：fx0,x0,x0=1n!fn(x0)6.埃爾米特三次插值：Px=fx0+fx0,x1x-x0+fx0,x1,x2x-x0x-x1+Ax-x0x-x1(x-x2)其中，A的標(biāo)定為：Px1=fx17.分段線性插值：Ihx=x-xk+1xk-xk+1fk+x-xkxk+1-xkfk+1第三章：函數(shù)逼近與快速傅里葉變換1. Sx屬于 n維空間：Sx=j=0najj2.范數(shù)：x=max1inxi and maxaibf(x)x1=i=1nxi andabf(x)dxx2=(i=1nxi2)12 and (abf2(x)dx)123.帶權(quán)內(nèi)積和帶權(quán)正交：f,k=i=0m(xi)fxikxi and ab(x)f(x)k(x)dxfx,gx=ab(x) fxgxdx=04.最佳逼近的分類（范數(shù)的不同、是否離散）：最優(yōu)一致（-范數(shù)）逼近多項式P*(x)：fx-P*(x)=minPHnfx-P(x)最佳平方（2-范數(shù)）逼近多項式P*(x)：fx-P*(x)22=minPHnfx-P(x)22最小二乘擬合（離散點(diǎn)）P*(x)：f-P*22=minPf-P*225.正交多項式遞推關(guān)系：n+1x=x-nnx-nn-1x0x=1,-1x=0n=(xnx,nx)(nx,nx) ,n=(nx,nx)(n-1x,n-1x)6.勒讓德多項式：正交性：-11Pn(x)Pm(x)dx=0 , mn 22n+1 , m=n奇偶性：Pn-x=(-1)nPn(x)遞推關(guān)系：n+1Pn+1x=2n+1xPnx-nPn-1(x)7切比雪夫多項式：遞推關(guān)系：Tn+1x=2xTnx-Tn-1x正交性：-11Tn(x)Tm(x)1-x2dx=0cosncosmdx=0 , mn2 , m=n0 , m=n=0Tnx在-1，1上有n個零點(diǎn)：xk=cos2k-12n,k=1,nTn+1x在a,b上有n+1個零點(diǎn)：（最優(yōu)一致逼近）xk=b-a2cos2k+12(n+1)+b+a2,k=0,1,n首項xn的系數(shù)：2n-18.最佳平方逼近：fx-S*(x)22=minS(x)fx-S(x)22=minS(x)ab(x)fx-Sx2dx法方程：j=0nk,jaj=f,k正交函數(shù)族的最佳平方逼近：ak*=f,kk,k9.最小二乘法：22=minS(x)i=0m(xi)Sxi-yi2法方程：j=0nk,jaj=f,k正交多項式的最小二乘擬合:ak*=f,PkPk,Pk第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分1.求積公式具有m次代數(shù)精度求積公式（多項式與函數(shù)值乘積的和），對于次數(shù)不超過m的多項式成立，m+1不成立abf(x)dx=k=0nAkf(xk)2.插值型求積公式In=abLn(x)dx=k=0nablk(x)dxf(xk)=k=0nAkf(xk)Rf=abfx- Ln(x)dx=abRn(x)dx=abfn+1n+1!n+1(x)dx3.求積公式代數(shù)精度為m時的余項Rf=abfxdx-k=0nAkfxk=1m+1!abxm+1dx-k=0nAkxkm+14.牛頓-柯特斯公式：將a,b劃分為n等份構(gòu)造出插值型求積公式In=(b-a)k=0nCk(n)f(xk)5.梯形公式：當(dāng)n=1時，C0(1)=C1(1)=12T=b-a2fa+f(b),Rnf=-b-a12b-a2f()6.辛普森公式：當(dāng)n=2時，C0(2)=16,C1(2)=46,C2(2)=16S=b-a6fa+4fa+b2+f(b),Rnf=-b-a180(b-a2)4f(4)()7.復(fù)合求積公式：h=b-an,xk=a+kh,xk+1/2=xk+h2復(fù)合梯形公式：Tn=h2fa+2k=1n-1f(xk)+f(b),Rnf=-b-a12h2f()復(fù)合辛普森公式：Sn=h6fa+4k=0n-1f(xk+1/2)+2k=1n-1f(xk)+f(b),Rnf=-b-a180(h2)4f(4)()8.高斯求積公式（求待定參數(shù)xk和Ak）：（1）求高斯點(diǎn)（xk）：令 n+1x=(x-x0)(x-x1)(x-xn)與任何次數(shù)不超過n的多項式p(x)帶權(quán)(x)正交，即則abp(x)n+1x(x)dx=0，由n+1個方程求出高斯點(diǎn)x0,x1xn。（2）求待定參數(shù)Ak：ab(x)f(x)dx=k=0nAkf(x)，f(x)也為次數(shù)不超過n的多項式。9.高斯-勒讓德求積公式：取權(quán)函數(shù)為x=1的勒讓德多項式Pn+1(x)的零點(diǎn)即為求積公式的高斯點(diǎn)。10.高斯-切比雪夫求積公式：取權(quán)函數(shù)為x=11-x2的切比雪夫多項式的零點(diǎn)xk=cos2k+12n+2即為求積公式的高斯點(diǎn)。第五章 解線性方程組的直接方法1.矩陣的從屬范數(shù)：A=max1inj=1naij(行元素絕對值之和中最大的)A1=max1jni=1naij(列元素絕對值之和中最大的)A2=max(ATA)2.條件數(shù)：cond(A)=A-1Acond(A)2=max(ATA)min(AAT),當(dāng)A=AT時,cond(A)2=max(A)min(A)第六章 解線性方程組的迭代法1.迭代法：Ax=bM-Nx=bx=M-1Nx+M-1bx(k+1)=Bx(k)+f2.迭代法收斂：limkx(k)存在。3.迭代法收斂的充分必要條件：Bj=1jinaij8.弱對角占優(yōu)矩陣：若此矩陣也為不可約矩陣，則其雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法均收斂。aiij=1jinaij其中，可約矩陣：n階矩陣A有如下型式，否則為不可約矩陣。PTAP=A11A120A229.超松弛迭代法：為高斯-塞德爾迭代法的一種修正。Ax=bA=(D-L)-U=(1D-L)-(1D+U-D)M=(1D-L),N=(1D+U-D)M-Nx=bx=M-1Nx+M-1bL=M-1N=D-L-1(U+1-D)=D-L-1(1-D+U)f=M-1b=D-L-1bx(k+1)=Lx(k)+f10.最速下降法：A是對稱正定矩陣Ax=b令：xk+1=xk+kp(k)使下式最?。簒(k+1)=x(k)+p(k)=x(k)+Ax(k)-b,p(k)+22Ap(k),p(k)則：dd=0,k=-Axk-b,pkApk,pk=r(k),r(k)Ar(k),r(k)其中：p(k)=-xk=-Axk-b=r(k)故而：xk+1=xk+kr(k)11.共軛梯度法：（1）令x0=0，計算r(0)=-Ax0-b，取p(0)=r(0)（2）對k=0,1,，計算xk+1=xk+kp(k)k=r(k),r(k)Apk,pkr(k+1)=r(k)-kApkpk+1=r(k+1)+kpkk=r(k+1),r(k+1)r(k),r(k)（3）若r(k)=0或Apk,pk=0，計算停止。第七章 非線性方程與方程組的數(shù)值解法1.二分法：1）計算f(x)在有根區(qū)間a,b的端值f(a), f(b) 2）計算區(qū)間中點(diǎn)值f(a+b2) 3）判斷fa+b2=0或者f(a+b2)f(a)02.不動點(diǎn)迭代法：fx=0x=x=fx+xxk+1=xk3.不動點(diǎn)迭代法收斂：limkxk=x*4. (x)在a,b上存在不動點(diǎn)x*：（壓縮映射）a(x)bx-(y)Lx-yL15. 不動點(diǎn)迭代法收斂性：滿足上條，則不動點(diǎn)迭代法收斂，誤差為：xk-x*Lk1-Lx1-x06.局部收斂：存在x*的某個鄰域內(nèi)的任意的x0，迭代法產(chǎn)生的序列收斂到x*。7.不動點(diǎn)迭代法局部收斂：其中x*為(x)的不動點(diǎn)，(x)在x*鄰域連續(xù)。(x*)18. P階收斂：當(dāng)k時，迭代誤差ek=xk-x*，滿足ek+1ekpC09.牛頓（m重根）法:xk+1=xk-fxkfxk,xk+1=xk-mf(xk)f(xk)10.簡化的牛頓法：xk+1=xk-f(xk)f(x0)11.牛頓下山法：xk+1=xk-fxkfxk,k=0,1,從=1開始試算，之后逐次減半，直到滿足下降條件：f(xk+1)23n任取非零向量v0，構(gòu)造向量序列，v1=Av0,v2=A2v0,vk+1=Ak+1v0,假設(shè)：v0=1x1+2x2+nxn,10則：vk=11kx1+22kx2+nnkxn=1k1x1+i=2nii1kxi11kx1limk(vk+1)i(vk)i=15.收斂速度： r=216.冪法改進(jìn)：u0=v00vk=Auk-1,uk=vkuk,uk=maxvklimkuk=x1maxx1limkuk=17.加速方法（原點(diǎn)平移法）：構(gòu)造矩陣