2012全國(guó)中考數(shù)學(xué)(續(xù)61套)壓軸題分類解析匯編專題4：三角形四邊形存在性問(wèn)題.doc

2012年全國(guó)中考數(shù)學(xué)（續(xù)61套）壓軸題分類解析匯編專題4：三角形四邊形存在性問(wèn)題24. （2012黑龍江龍東地區(qū)10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，ABOC，AOC=90，BCO=45，BC=12，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（18，0）。（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若直線DE交梯形對(duì)角線BO于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式；（3）若點(diǎn)P是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。【答案】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BFx軸于F，在RtBCF中BCO=45，BC=12，CF=BF=12 。 C 的坐標(biāo)為（18，0），AB=OF=6。點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，12）。（2）過(guò)點(diǎn)D作DGy軸于點(diǎn)G，OD=2BD，OD=OB。ABDG，ODGOBA 。 ，AB=6，OA=12，DG=4，OG=8。D（4，8），E（0，4）。設(shè)直線DE解析式為y=kx+b（k0） ，解得。直線DE解析式為y=x+4。（3）結(jié)論：存在。點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（2 ，2 ），（2 ，2 ），（4，4），（2，2）?！究键c(diǎn)】一次函數(shù)綜合題，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，菱形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）構(gòu)造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的長(zhǎng)度，即可求出B點(diǎn)坐標(biāo)。（2）已知E點(diǎn)坐標(biāo)，欲求直線DE的解析式，需要求出D點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)造ODGOBA，由線段比例關(guān)系求出D點(diǎn)坐標(biāo)，從而可以求出直線DE的解析式。（3）如圖所示，符合題意的點(diǎn)Q有4個(gè)：設(shè)直線y=x+4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，則E（0，4），F(xiàn)（4，0），OE=OF=4，EF=4。菱形OEP1Q1，此時(shí)OE為菱形一邊。則有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EFP1E=44。易知P1NF為等腰直角三角形，P1N=NF=P1F=42。設(shè)P1Q1交x軸于點(diǎn)N，則NQ1=P1Q1P1N=4（42）=2。又ON=OFNF=2，Q1（2 ，2）。菱形OEP2Q2，此時(shí)OE為菱形一邊。此時(shí)Q2與Q1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，Q2（2，2）。菱形OEQ3P3，此時(shí)OE為菱形一邊。此時(shí)P3與點(diǎn)F重合，菱形OEQ3P3為正方形，Q3（4，4）。菱形OP4EQ4，此時(shí)OE為菱形對(duì)角線。由菱形性質(zhì)可知，P4Q4為OE的垂直平分線，由OE=4，得P4縱坐標(biāo)為2，代入直線解析式y(tǒng)=x+4得橫坐標(biāo)為2，則P4（2，2）。由菱形性質(zhì)可知，P4、Q4關(guān)于OE或x軸對(duì)稱，Q4（2，2）。綜上所述，存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（2，2），Q2（2，2），Q3（4，4），Q4（2，2）。25. （2012黑龍江綏化10分）如圖，四邊形ABCD為矩形，C點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)在y軸上，D點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），B點(diǎn)坐標(biāo)是（3，4），矩形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的G處，E、F分別在AD、AB上，且F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4）（1）求G點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線EF解析式；（3）點(diǎn)N在x軸上，直線EF上是否存在點(diǎn)M，使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】解：（1）由已知得，F(xiàn)G=AF=2，F(xiàn)B=1。四邊形ABCD為矩形，B=90。G點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4）。（2）設(shè)直線EF的解析式是y=kx+b，在RtBFG中，BFG=60。AFE=EFG=60。AE=AFtanAFE=2tan60=2。E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，42）。又F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4）， 解得。直線EF的解析式為。（3）存在。M點(diǎn)的坐標(biāo)為（），（），（ ）。【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題，矩形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)折疊性質(zhì)可知FG=AF=2，而FG=ABAF=1，則在RtBFG中，利用勾股定理求出BG的長(zhǎng)，從而得到CG的長(zhǎng)，從而得到G點(diǎn)坐標(biāo)。（2）由題意，可知AEF為含30度角的直角三角形，從而可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；又F點(diǎn)坐標(biāo)已知，所以可利用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式。（3）分FG為平行四邊形邊和對(duì)角線兩種情況討論，探究可能的平行四邊形的形狀： 若以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則可能存在以下情形：FG為平行四邊形的一邊，且N點(diǎn)在x軸正半軸上，如圖1所示。過(guò)M1點(diǎn)作M1Hx軸于點(diǎn)H，易證M1HN1GBF，M1H=GB=，即yM1=。由直線EF解析式，求出。M1（）。FG為平行四邊形的一邊，且N點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，如圖2所示。仿照與相同的辦法，可求得M2（）。FG為平行四邊形的對(duì)角線，如圖3所示。過(guò)M3作FB延長(zhǎng)線的垂線，垂足為H易證M3FHGN3C，則有M3H=CG=4，所以M3的縱坐標(biāo)為8。代入直線EF解析式，得到M3的橫坐標(biāo)為。M3（）。綜上所述，存在點(diǎn)M，使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M1（），M2（），M3（ ）。26. （2012黑龍江黑河、齊齊哈爾、大興安嶺、雞西10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知RtAOB的兩條直角邊0A、08分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長(zhǎng)分別是方程x27x+12=0的兩根(OA0B)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒l個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。(2)求當(dāng)t為何值時(shí)，APQ與AOB相似，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)(3)當(dāng)t=2時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)M，使以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】解：（1）由x27 x +12=0解得x1=3，x2=4。 OAOB ，OA=3 , OB=4。A(0，3)， B(4，0)。 (2)由OA=3 , OB=4，根據(jù)勾股定理，得AB=5。由題意得，AP=t, AQ=52t 。分兩種情況討論：當(dāng)APQ=AOB時(shí)，如圖1，APQAOB。 ，即 解得 t= 。Q（）。當(dāng)AQP=AOB時(shí)，如圖2， APQABO。 ，即 解得 t= 。Q（）。（3）存在。M1（）， M2（），M3（）。【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定。【分析】（1）解出一元二次方程，結(jié)合OAOB即可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。 （2）分APQ=AOB和AQP=AOB兩種情況討論即可。（3）當(dāng)t=2時(shí)，如圖，OP=2，BQ=4，P（0，1），Q（）。 若以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則 當(dāng)AQ為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M1的橫坐標(biāo)與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為。M1（）。 當(dāng)PQ為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M2的橫坐標(biāo)與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為。M2（）。當(dāng)AP為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)Q、M3關(guān)于AP的中點(diǎn)對(duì)稱。由A(0，3)，P（0，1）得AP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）。由Q（）得M3的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為。M3（）。綜上所述，若以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（）或（）或（）。27. （2012湖北襄陽(yáng)12分）如圖，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)E處分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)O，D，C三點(diǎn)（1）求AD的長(zhǎng)及拋物線的解析式；（2）一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與ADE相似？（3）點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使以M，N，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)（不寫求解過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】解：（1）四邊形ABCO為矩形，OAB=AOC=B=90，AB=CO=8，AO=BC=10。由折疊的性質(zhì)得，BDCEDC，B=DEC=90，EC=BC=10，ED=BD。由勾股定理易得EO=6。AE=106=4。設(shè)AD=x，則BD=CD=8x，由勾股定理，得x2+42=（8x）2，解得，x=3。AD=3。拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)D（3，10），C（8，0），解得。拋物線的解析式為：。 （2）DEA+OEC=90，OCE+OEC=90，DEA=OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5。而CQ=t，EP=2t，PC=102t。當(dāng)PQC=DAE=90，ADEQPC，即，解得。當(dāng)QPC=DAE=90，ADEPQC，即，解得。當(dāng)或時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與ADE相似。（3）存在符合條件的M、N點(diǎn)，它們的坐標(biāo)為：M1（4，32），N1（4，38）；M2（12，32），N2（4，26）；M3（4，），N3（4，）?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，折疊和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)折疊圖形的軸對(duì)稱性，CEDCBD，在RtCEO中求出OE的長(zhǎng)，從而可得到AE的長(zhǎng)；在RtAED中，AD=ABBD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的長(zhǎng)進(jìn)一步能確定D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式。 （2）由于DEC=90，首先能確定的是AED=OCE，若以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與ADE相似，那么QPC=90或PQC=90，然后在這兩種情況下，分別利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出對(duì)應(yīng)的t的值。（3）假設(shè)存在符合條件的M、N點(diǎn)，分兩種情況討論：EC為平行四邊形的對(duì)角線，由于拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)EC中點(diǎn)，若四邊形MENC是平行四邊形，那么M點(diǎn)必為拋物線頂點(diǎn)。由得拋物線頂點(diǎn)，則：M（4，）。平行四邊形的對(duì)角線互相平分，線段MN必被EC中點(diǎn)（4，3）平分，則N（4，）。EC為平行四邊形的邊，則ECMN，設(shè)N（4，m），則M（48，m+6）或M（4+8，m6）；將M（4，m+6）代入拋物線的解析式中，得：m=38，此時(shí) N（4，38）、M（4，32）；將M（12，m6）代入拋物線的解析式中，得：m=26，此時(shí) N（4，26）、M（12，32）。綜上所述，存在符合條件的M、N點(diǎn)，它們的坐標(biāo)為：M1（4，32），N1（4，38）；M2（12，32），N2（4，26）；M3（4，），N3（4，）。28. （2012湖南永州10分）如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax2+bx1（a0）的圖象過(guò)點(diǎn)A（2，0）和B（4，3），l為過(guò)點(diǎn)（0，2）且與x軸平行的直線，P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過(guò)P作PHl，H為垂足（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx1（a0）的解析式；（2）請(qǐng)直接寫出使y0的對(duì)應(yīng)的x的取值范圍；（3）對(duì)應(yīng)當(dāng)m=0，m=2和m=4時(shí)，分別計(jì)算|PO|2和|PH|2的值由此觀察其規(guī)律，并猜想一個(gè)結(jié)論，證明對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，此結(jié)論成立；（4）試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m可使POH為正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】解：（1）二次函數(shù)y=ax2+bx1（a0）的圖象過(guò)點(diǎn)A（2，0）和B（4，3），-，解得。二次函數(shù)的解析式為y=x21。（2）當(dāng)2x2時(shí)y0。（3）當(dāng)m=0時(shí)，|PO|2=1，|PH|2=1；當(dāng)m=2時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），|PO|2=4，|PH|2=4；當(dāng)m=4時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3），|PO|2=25，|PH|2=25。由此發(fā)現(xiàn)|PO|2=|PH|2。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），即n=m21|OP|2= m2+ n2，|PH|2=（n+2）2=n2+4n+4=n2+m2。對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，|PO|2=|PH|2。（4）存在。由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，POH為正三角形。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），|OP|2= m2+ n2，|OH|2=4+ m2，由|OP|=|OH|得，m2+ n2=4+ m2，即n2=4，解得n=2。當(dāng)n=2時(shí)，n=m21不符合條件，當(dāng)n=2時(shí)，由2=m21解得m=2。故當(dāng)m=2時(shí)可使POH為正三角形【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定?！痉治觥浚?）根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx1（a0）的圖象過(guò)點(diǎn)A（2，0）和B（4，3），待定系數(shù)法求出a和b的值，拋物線的解析式即可求出。（2）令y=x21=0，解得x=2或x=2，由圖象可知當(dāng)2x2時(shí)y0。（3）分別求出當(dāng)m=0，m=2和m=4時(shí)，分別計(jì)算|PO|2和|PH|2的值然后觀察其規(guī)律，再進(jìn)行證明。（4）由（3）知OP=OH，只要OH=OP成立，POH為正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n的表達(dá)式，令兩式相等，求出m和n的值。29. （2012湖南婁底10分）已知二次函數(shù)y=x2（m22）x2m的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x1，0）和點(diǎn)B（x2，0），x1x2，與y軸交于點(diǎn)C，且滿足（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）探究：在直線y=x+3上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形？如果有，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】解：（1）二次函數(shù)y=x2（m22）x2m的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x1，0）和點(diǎn)B（x2，0），x1x2，令y=0，即x2（m22）x2m=0 ，則有：x1+x2=m22，x1x2=2m。，化簡(jiǎn)得到：m2+m2=0，解得m1=2，m2=1。當(dāng)m=2時(shí)，方程為：x22x+4=0，其判別式=b24ac=120，此時(shí)拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)m=1時(shí)，方程為：x2+x2=0，其判別式=b24ac=90，此時(shí)拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，符合題意。m=1。拋物線的解析式為y=x2+x2。（2）存在。理由如下：假設(shè)在直線y=x+3上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形。如圖所示，連接PAPBACBC，過(guò)點(diǎn)P作PDx軸于D點(diǎn)。拋物線y=x2+x2與x軸交于AB兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，A（2，0），B（1，0），C（0，2）。OB=1，OC=2。PACB為平行四邊形，PABC，PA=BC。PAD=CBO，APD=OCB。在RtPAD與RtCBO中，PAD=CBO ，PA=BC，APD=OCB ，RtPADRtCBO（AAS）。PD=OC=2，即yP=2。直線解析式為y=x+3，xP=1。P（1，2）。在直線y=x+3上存在一點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)與x點(diǎn)問(wèn)題，曲線圖上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）欲求拋物線的解析式，關(guān)鍵是求得m的值根據(jù)題中所給關(guān)系式，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以求得m的值，從而問(wèn)題得到解決。注意：解答中求得兩個(gè)m的值，需要進(jìn)行檢驗(yàn)，把不符合題意的m值舍去。（2）利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等關(guān)系求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而得到P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求得P點(diǎn)坐標(biāo)。30. （2012湖南衡陽(yáng)10分）如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）方向向點(diǎn)O作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，連接PQ，若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0t）秒解答如下問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQBO？（2）設(shè)AQP的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；若我們規(guī)定：點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則新坐標(biāo)（x2x1，y2y1）稱為“向量PQ”的坐標(biāo)當(dāng)S取最大值時(shí)，求“向量PQ”的坐標(biāo)【答案】解：（1）A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），則OB=6，OA=8。如圖，當(dāng)PQBO時(shí)，AQ=2t，BP=3t，則AP=103t。PQBO，即，解得t=。當(dāng)t=秒時(shí)，PQBO。（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PDx軸于點(diǎn)D，則PDBO。APDABO。，即，解得PD=6t。S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=（0t）。當(dāng)t=秒時(shí)，S取得最大值，最大值為5（平方單位）。如圖所示，當(dāng)S取最大值時(shí)，t=，PD=6t=3，PD=BO。又PDBO，此時(shí)PD為OAB的中位線，則OD=OA=4。P（4，3）。又AQ=2t=，OQ=OAAQ=，Q（，0）。依題意，“向量PQ”的坐標(biāo)為（4，03），即（，3）當(dāng)S取最大值時(shí)，“向量PQ”的坐標(biāo)為（，3）?！究键c(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，平行線分線段成比例，二次函數(shù)的最值，勾股定理，三角形中位線定理。【分析】（1）如圖所示，當(dāng)PQBO時(shí)，利用平分線分線段成比例定理，列線段比例式，求出t的值。（2）求S關(guān)系式的要點(diǎn)是求得AQP的高，如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作過(guò)點(diǎn)P作PDx軸于點(diǎn)D，構(gòu)造平行線PDBO，由APDABO得 求得PD，從而S可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出S的最大值。求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)：當(dāng)S取最大值時(shí)，可推出此時(shí)PD為OAB的中位線，從而可求出點(diǎn)P的縱橫坐標(biāo)，又易求Q點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；求得P、Q的坐標(biāo)之后，代入“向量PQ”坐標(biāo)的定義（x2x1，y2y1），即可求解。31. （2012湖南株洲10分）如圖，一次函數(shù)分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c過(guò)A、B兩點(diǎn)（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個(gè)拋物線于N求當(dāng)t取何值時(shí)，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)【答案】解：（1）分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（0，2），B（4，0）。將x=0，y=2代入y=x2+bx+c得c=2；將x=4，y=0代入y=x2+bx+c得0=16+4b+2，解得b=。拋物線解析式為：y=x2+x+2。（2）如圖1，設(shè)MN交x軸于點(diǎn)E，則E（t，0），BE=4t。，ME=BEtanABO=（4t） =2t。又N點(diǎn)在拋物線上，且xN=t，yN=t2+t+2。當(dāng)t=2時(shí)，MN有最大值4。（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）如圖2，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，D點(diǎn)的可能位置有三種情形。（i）當(dāng)D在y軸上時(shí)，設(shè)D的坐標(biāo)為（0，a），由AD=MN，得|a2|=4，解得a1=6，a2=2，從而D為（0，6）或D（0，2）。（ii）當(dāng)D不在y軸上時(shí)，由圖可知D為D1N與D2M的交點(diǎn)，由D1（0，6），N（2，5）易得D1N的方程為y=x+6；由D2（0，2），M（2，1）D2M的方程為y=x2。由兩方程聯(lián)立解得D為（4，4）。綜上所述，所求的D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），（0，2）或（4，4）?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，平行四邊形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）首先求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式。（2）求得線段MN的表達(dá)式，這個(gè)表達(dá)式是關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的極值求線段MN的最大值。（3）明確D點(diǎn)的可能位置有三種情形，如圖2所示，不要遺漏其中D1、D2在y軸上，利用線段數(shù)量關(guān)系容易求得坐標(biāo)；D3點(diǎn)在第一象限，是直線D1N和D2M的交點(diǎn)，利用直線解析式求得交點(diǎn)坐標(biāo)。32. （2012湖北鄂州12分）已知：如圖一，拋物線與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，且AB=2.（1）求拋物線的解析式；（2）若直線DE平行于x軸并從C點(diǎn)開始以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點(diǎn)E、D，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)，（如圖2）；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O時(shí)，直線DE與點(diǎn)P都停止運(yùn)動(dòng)，連DP，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒 ；設(shè)，當(dāng)t為何值時(shí)，s有最小值，并求出最小值。（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！敬鸢浮拷猓海?）在中，由x=0得y=2，C（0，2）。 由 y=0得 x=2，A（2，0）。 AB=2，B（4，0）。 可設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)C（0，2）得。拋物線的解析式為。（2）由題意：CE=t，PB=2t，OP=42t。EDBA，CEDCOB。 ，即。ED=2t。當(dāng)t=1時(shí)，有最大值1。當(dāng)t=1時(shí)，的值最小，最小值是1。（3）存在。設(shè)BC所在直線的解析式為y=kx+b，由B（4，0），C（0，2）得 ，解得，C所在直線的解析式為。 由題意可得：D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t2，則D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2t。又。PBD=ABC，以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似有兩種情況：當(dāng)時(shí)，即，解得；當(dāng)時(shí)，即，解得。綜上所述，當(dāng)或時(shí)，以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的最值，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥浚?）求出C、A、B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x2）（x4），代入點(diǎn)C的坐標(biāo)求出a即可。（2）由題意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由EDBA得出CEDCOB ，從而，求出ED=2CE=2t，根據(jù) ，根據(jù)二次函數(shù)的最值求出即可。（3）以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似有兩種情況：和代入求出即可。33. （2012福建寧德13分）如圖，矩形OBCD的邊OD、OB分別在x軸正半軸和y軸負(fù)半軸上，且OD10，OB8將矩形的邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C恰好與x軸上的點(diǎn)A重合(1)直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)：A( ， )、B( ， )；(2)若拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，則這條拋物線的解析式是 ；(3)若點(diǎn)M是直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作MNx軸于點(diǎn)N問(wèn)是否存在點(diǎn)M，使AMN與ACD相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；(4)當(dāng)x7，在拋物線上存在點(diǎn)P，使ABP的面積最大，求ABP面積的最大值【答案】解：（1）（6，0），（0，8）。 （2）。 （3）存在。設(shè)M，則N（m，0）MN=，NA=6m。 又DA=4，CD=8，若點(diǎn)M在點(diǎn)N上方，則AMNACD。，即，解得m=6或m=10。與點(diǎn)M是直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不符。此時(shí)不存在點(diǎn)M，使AMN與ACD相似。若點(diǎn)M在點(diǎn)N下方，則AMNACD。，即，解得m=2或m=6。與點(diǎn)M是直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不符。此時(shí)不存在點(diǎn)M，使AMN與ACD相似。若點(diǎn)M在點(diǎn)N上方，則AMNACD。，即，方程無(wú)解。此時(shí)不存在點(diǎn)M，使AMN與ACD相似。若點(diǎn)M在點(diǎn)N下方，則AMNACD。，即，解得m=或m=6。當(dāng)m=時(shí)符合條件。此時(shí)存在點(diǎn)M（，），使AMN與ACD相似。綜上所述，存在點(diǎn)M（，），使AMN與ACD相似。（4）設(shè)P（p，）， 在中，令y=0，得x=4或x=6。 x7分為x4，4x6和6x7三個(gè)區(qū)間討論： 如圖，當(dāng)x4時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PHx軸于點(diǎn)H則OH=p，HA=6p ，PH=。 當(dāng)x4時(shí)，隨p的增加而減小。當(dāng)x=時(shí)，取得最大值，最大值為。如圖，當(dāng)4x6時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PHBC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AGBC于點(diǎn)G。則BH= p，HG=6p，PH=， 當(dāng)4x6時(shí)，隨p的增加而減小。當(dāng)x=4時(shí)，取得最大值，最大值為8。如圖，當(dāng)6x7時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PHx軸于點(diǎn)H。則OH=p，HA= p6，PH=。當(dāng)6x7時(shí)，隨p的增加而增加。當(dāng)x=7時(shí)，取得最大值，最大值為7。綜上所述，當(dāng)x=時(shí)，取得最大值，最大值為?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理， 曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定，二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥浚?）由OD10，OB8，矩形的邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C恰好與x軸上的點(diǎn)A重合，可得OA2=AB2OB2=10282=36，OA=6。A（6，0），B（0，8）。（2）拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B， ，解得。 這條拋物線的解析式是。（3）分若點(diǎn)M在點(diǎn)N上方，若點(diǎn)M在點(diǎn)N下方，若點(diǎn)M在點(diǎn)N上方，若點(diǎn)M在點(diǎn)N下方，四種情況討論即可。（4）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分x4，4x6和6x7三個(gè)區(qū)間分別求出最大值，比較即可。34. （2012福建龍巖14分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中， 一塊含60角的三角板作如圖擺放，斜邊 AB在x軸上，直角頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，已知點(diǎn)A（1，0） （1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)：B（ ， ）、C（ ， ）；并求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式； （2）現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中EDF=90，DEF=60），把頂點(diǎn)E放在線段AB上（點(diǎn)E是不與A、B兩點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)），并使ED所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C 此時(shí)，EF所在直線與（1）中的拋物線交于第一象限的點(diǎn)M 設(shè)AE=x，當(dāng)x為何值時(shí)，OCEOBC； 在的條件下探究：拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P使PEM是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】解：（1）B（3，0），C（0，）。 A（1，0）B（3，0）可設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線為 。 又C（0，）在拋物線上，解得。經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式 即。（2）當(dāng)OCEOBC時(shí)，則。 OC=， OE=AEAO=x1， OB=3，。x=2。 當(dāng)x=2時(shí)，OCEOBC。 存在點(diǎn)P。 由可知x=2，OE=1。E（1，0）。 此時(shí)，CAE為等邊三角形。 AEC=A=60。又CEM=60， MEB=60。 點(diǎn)C與點(diǎn)M關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱。 C（0，），M（2，）。 過(guò)M作MNx軸于點(diǎn)N（2，0），MN=。 EN=1。 。若PEM為等腰三角形，則：)當(dāng)EP=EM時(shí), EM=2，且點(diǎn)P在直線x=1上，P(1，2)或P（1，2）。 ）當(dāng)EM=PM時(shí)，點(diǎn)M在EP的垂直平分線上，P(1，2) 。 ）當(dāng)PE=PM時(shí)，點(diǎn)P是線段EM的垂直平分線與直線x=1的交點(diǎn)，P(1，) 綜上所述，存在P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）或（1，2）或（1，2）或（1，）時(shí)，EPM為等腰三角形。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定?！痉治觥浚?）由已知，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和特殊角的三角函數(shù)值可求出OC和AB的長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)。設(shè)定交點(diǎn)式，用待定系數(shù)法，求得拋物線解析式。（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解。 求得EM的長(zhǎng)，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三種情況求解即可。35. （2012福建漳州12分）已知拋物線y=x2 + 1(如圖所示) (1)填空：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(_，_)，對(duì)稱軸是_； (2)已知y軸上一點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)P在拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作PBx軸，垂足為B若PAB是等邊三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)在(2)的條件下，點(diǎn)M在直線AP上在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使四邊形OAMN為菱形?若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】解：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），對(duì)稱軸是y軸（或x=0）。（2）PAB是等邊三角形， ABO=9060=30。AB=2OA=4。PB=4。把y=4代入y=x2+1，得 x=。點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4）或（ ，4）。（3）存在。所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為 (，1)， (-，-1)， (-，1)， (，-1)?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定。【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式直接寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸即可。（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得PB=4，將PB=4代入函數(shù)的解析式后求得x的值即可作為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入解析式即可求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)。（3）首先求得直線AP的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用勾股定理表示出有關(guān)AP的長(zhǎng)即可得到有關(guān)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的方程，求得M的橫坐標(biāo)后即可求得其縱坐標(biāo)：設(shè)存在點(diǎn)M使得OAMN是菱形，OAP900，OA不可能為菱形的對(duì)角線，只能為菱形的邊。若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），設(shè)線段AP所在直線的解析式為y=kx+b，則，解得： 。 AP所在直線的解析式為：y=x+2。點(diǎn)M在直線AP上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（m， m+2）。如圖，作MHy軸于點(diǎn)H，則MH= m，AN=OHOA=m+22=m。OA為菱形的邊，AM=AO=2。在RtAMH中，AH2+MH2=AM2，即：m2+（m）2=22，解得：m=。M（，3）或（，1）。當(dāng)M（，3）時(shí)，N（，1）；當(dāng)M（，1）時(shí)，N（，1）。若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4），同理可得N的坐標(biāo)為（，1）或（，1）。綜上所述，存在點(diǎn)N（，1），（，1），（，1），（，1），使得四邊形OAMN是菱形。36. （2012福建三明12分）已知直線與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，拋物線的頂點(diǎn)M在直線AB上，且拋物線與直線AB的另一個(gè)交點(diǎn)為N（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，求：拋物線的解析式；（4分）點(diǎn)N的坐標(biāo)和線段MN的長(zhǎng)；（4分）（2）拋物線在直線AB上平移，是否存在點(diǎn)M，使得OMN與AOB相似？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（4分）【答案】解：（1）直線與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，A（，0），B（0，5）。當(dāng)頂點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，M（，0）。拋物線的解析式是：，即。N是直線與在拋物線的交點(diǎn)，解得或。N（，4）。如圖，過(guò)N作NCx軸，垂足為C。N（，4），C（，0）NC=4MC=OMOC=。 。（2）存在。點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1）或（4，3）?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定?！痉治觥浚?）由直線與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由頂點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出頂點(diǎn)解析式。 聯(lián)立和，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，過(guò)N作NCx軸，由勾股定理求出線段MN的長(zhǎng)。（2）存在兩種情況，OMN與AOB相似： 情況1，OMN=900，過(guò)M作MDx軸，垂足為D。 設(shè)M（m，），則OD= m，DM=。 又OA=，OB=5， 則由OMDBAO得，即，解得m=2。M（2，1）。 情況2，ONM=900，若OMN與AOB相似，則OMN=OBN。 OM=OB=5。 設(shè)M（m，），則解得m=4。M（4，3）。綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1）或（4，3）時(shí)，OMN與AOB相似。37. （2012福建福州13分）如圖，在RtABC中，C90，AC6，BC8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PDBC，交AB于點(diǎn)D，連接PQ點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t0)(1) 直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB_，PD_(2) 是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由并探究如何改變點(diǎn)Q的速度(勻速運(yùn)動(dòng))，使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度；(3) 如圖，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)【答案】解：(1) QB82t，PDt。 (2) 不存在。理由如下：在RtABC中，C90，AC6，BC8， AB10。 PDBC， APDACB。 ，即：， ADt。 BDABAD10t。 BQDP， 當(dāng)BQDP時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形。82tt，解得：t。當(dāng)t時(shí)，PD，BD106， DPBD。PDBQ不能為菱形。設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個(gè)單位長(zhǎng)度，則BQ8vt，PDt，BD10t。要使四邊形PDBQ為菱形，則PDBDBQ，當(dāng)PDBD時(shí)，即t10t，解得：t。當(dāng)PDBQ時(shí)，t時(shí)，即8v，解得：v。要使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，點(diǎn)Q的速度為單位長(zhǎng)度/秒。 (3) 如圖，以C為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系。依題意，可知0t4。當(dāng)t0時(shí)，點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(3，0)；當(dāng)t4時(shí)，點(diǎn)M2的坐標(biāo)為(1，4)。設(shè)直線M1M2的解析式為ykxb， ，解得：。直線M1M2的解析式為y2x6。點(diǎn)Q(0，2t)，P(6t，0)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ中點(diǎn)M3的坐標(biāo)為(，t)。把x，代入y2x6，得y26t。點(diǎn)M3在直線M1M2上。線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)即為線段M1M2。過(guò)點(diǎn)M2作M2Nx軸于點(diǎn)N，則M2N4，M1N2。 M1M22。線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為2單位長(zhǎng)度?！究键c(diǎn)】銳角三角函數(shù)定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)綜合題，勾股定理，菱形的判定和性質(zhì)【分析】(1) 根據(jù)題意得：CQ2t，PAt，由RtABC中，C90，AC6，BC8，PDBC，即可得tanA ，則可求得QB與PD的值。(2) 易得APDACB，即可求得AD與BD的長(zhǎng)，由BQDP，可得當(dāng)BQDP時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時(shí)DP與BD的長(zhǎng)，由DPBD，可判定PDBQ不能為菱形；然后設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個(gè)單位長(zhǎng)度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PDBDBQ，列方程即可求得答案。(3) 建立直角坐標(biāo)系，求出線段PQ中點(diǎn)M始末坐標(biāo)M1和M2，求出直線M1M2的解析式，并證明線段PQ任一中點(diǎn)在直線M1M2上，從而得出線段M1M2即為線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求出。38. （2012遼寧丹東14分）已知拋物線與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （2）直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；（3）如圖1，D為y軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且OD=2，以O(shè)D為邊作正方形ODEF.將正方形ODEF以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸的正方向移動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)正方形ODEF與OBC重疊部分的面積為s，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0t2）.求：s與t之間的函數(shù)關(guān)系式； 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個(gè)最大值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（4）如圖2，點(diǎn)P（1，k）在直線BC上，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】解：（1） A（1，0）, ，C（0，3）。拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0）,C（0，3），解得。拋物線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=x22x3。（2）直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x3。（3）當(dāng)正方形ODEF的頂點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到直線BC上時(shí)，設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，2），根據(jù)題意得：2=m3，m=1。當(dāng)0t1時(shí)，S1=2t；當(dāng)1t2時(shí)，如圖，O1（t，0），D1（t，2），G（t，t3），H（1，2）， GD1=t1，HD1= t1。S= 。s與t之間的函數(shù)關(guān)系式為在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，s是存在最大值：當(dāng)t =2秒時(shí)，S有最大值，最大值為。（4）存在。M 1（，0）M2（，0），M3（，0），M4（，0）。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定。【分析】（1）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可根據(jù)A，C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式。（2）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，0），即可由待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式。（3）分0t1和1t2討論即可。 由于在0t2上隨t的增大而增大，從而在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，s是存在最大值：當(dāng)t =2秒時(shí)，S有最大值，最大值為。（4）由點(diǎn)P（1，k）在直線BC上，可得k=2。P（1，2）。則過(guò)點(diǎn)P且平行于x軸的直線N1N2和在x軸上方與x軸的距離為2的直線N3N4，與y=x22x3的交點(diǎn)N1、N2、 N3、N4的坐標(biāo)分別為N1（，2），N2（，2）， N3（， 2），N4（， 2）。若AP是邊，則M1的橫坐標(biāo)為PN1加點(diǎn)A的橫坐標(biāo)：；M2的橫坐標(biāo)為PN2加點(diǎn)A的橫坐標(biāo)：；M3的橫坐標(biāo)為N3的縱坐標(biāo)加N3的橫坐標(biāo)：；M4的橫坐標(biāo)為N4的縱坐標(biāo)加N4的的橫坐標(biāo)：。若AP是對(duì)角線，符合條件的點(diǎn)M與上述M 1（，0）和M2（，0）重合。綜上所述