全國高考數(shù)學復習第四篇平面向量第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用習題理.docx

第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用【選題明細表】知識點、方法題號平面向量的數(shù)量積4平面向量的夾角與垂直1,3,9,14平面向量的模2,8平面向量數(shù)量積的綜合問題7,10,11平面向量與其他知識的交匯5,6,12,13,15基礎對點練(時間:30分鐘)1.(2016哈爾濱六中期中)已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),則等于(B)(A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1解析:由題意得m+n=(2+3,3),m-n=(-1,-1),因為(m+n)(m-n),所以(m+n)(m-n)=0(2+3,3)(-1,-1)=0,所以=-3.故選B.2.(2016長春外國語學校檢測)設向量a=(,1),b=(+2,1),若|a+b|=|a-b|,則實數(shù)的值為(C)(A)1(B)2(C)-1 (D)-2解析:因為向量a=(,1),b=(+2,1),所以a+b=(2+2,2),a-b=(-2,0),于是由|a+b|=|a-b|可得=2,解得=-1,故選C.3.(2016衡水中學調(diào)研)已知a,b是兩個向量,|a|=1,|b|=2,且(a+b)a,則a,b的夾角為(C)(A)30(B)60(C)120(D)150解析:因為(a+b)a,所以a2+ab=0,所以ab=-1,所以|a|b|cos=-1,所以cos =-,所以=120,故選C.4.(2016蘭州一中期中)設向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b與2a-b平行,則a與b的數(shù)量積等于(D)(A)-(B)-(C)(D)解析:由已知可得a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),因為a+2b與2a-b平行,所以(-1+2m)3-(-2-m)4=0,解得m=-.即b=(-,1).所以ab=-1(-)+21=.故選D.5.(2016遵義校級期末)在ABC中,a,b,c分別為三個內(nèi)角A,B,C所對的邊,設向量m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若mn,則角A的大小為(B)(A)(B)(C)(D)解析:因為mn,所以mn=b(b-c)+(c+a)(c-a)=0,化為b2-bc+c2-a2=0,即b2+c2-a2=bc.所以cos A=.因為A(0,),所以A=.6.(2016廣東實驗中學測試)在ABC中,已知向量與滿足(+)=0且=,則ABC為(D)(A)三邊均不相等的三角形(B)直角三角形(C)等腰非等邊三角形(D)等邊三角形解析:設BAC的角平分線為AD,則+=.由已知得ADBC,所以ABC為等腰三角形.又由=得cosBAC=,所以BAC=60,所以ABC為等邊三角形,故選D.7.已知點G為ABC的重心,A=120,=-2,則|的最小值是(C)(A)(B)(C)(D)解析:設BC的中點為M,則=.又M為BC中點,所以=(+),所以=(+),所以|=.又因為=-2,A=120,所以|=4.所以|=,當且僅當|=|時取“=”,所以|的最小值為,故選C.8.(2016江西臨川一中期中)設a=(x,3),b=(2,-1),若ab,則|2a+b|=.解析:因為ab,所以2x-3=0,解得x=,所以|2a+b|=5.答案:59.(2016牡丹江一中月考)已知P,Q是圓心在坐標原點O的單位圓上的兩點,分別位于第一象限和第四象限,且P點的縱坐標為,Q點的橫坐標為,則cosPOQ=.解析:由題意可得點P的坐標為(,),點Q的坐標為(,-),則=(,),=(,-),由向量的夾角公式得cosPOQ=-.答案:-10.導學號 18702229已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(xR).(1)若ab,求x的值;(2)若ab,求|a-b|.解:(1)由ab得ab=0,故2x+3-x2=0,解得x=-1或x=3.(2)a-b=(-2x-2,2x),因為ab,所以x(2x+3)+x=0,解得x=0或x=-2.當x=0時,a-b=(-2,0),|a-b|=2.當x=-2時,a-b=(2,-4),|a-b|=2.綜上,|a-b|為2或2.11.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,(1)求a與b的夾角;(2)求|a+b|;(3)若=a,=b,求ABC的面積.解:(1)因為(2a-3b)(2a+b)=61,所以4|a|2-4ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4ab-27=61,所以ab=-6.所以cos =-.又0,所以=.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,所以|a+b|=.(3)因為與的夾角=,所以ABC=-=.又|=|a|=4,|=|b|=3,所以SABC=|sinABC=43=3.能力提升練(時間:15分鐘)12.(2016寧夏銀川模擬)已知正三角形ABC的邊長是3,D是BC上的點,BD=1,則等于(B)(A)-(B)-(C)(D)解析:由余弦定理得AD2=32+12-231cos 60=7,所以AD=,所以cosADB=-,所以=3cosADB=3(-)=-.故選B.13.導學號 18702232若a,b,c均為單位向量,ab=-,c=xa+yb(x,yR),則x+y的最大值是(D)(A)1(B)(C)(D)2解析:因為ab=-,c=xa+yb,所以c2=(xa+yb)2=(x2+y2)+2xy(-)=x2+y2-xy=1,所以(x+y)2-3xy=1,即(x+y)2=3xy+13()2+1,所以(x+y)24,所以|x+y|2,故選D.14.(2016洛陽統(tǒng)考)已知A(-1,cos ),B(sin ,1),若|+|=|-|(O為坐標原點),則銳角=.解析:法一利用幾何意義求解:由已知可知+是以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OADB的對角線向量,-則是對角線向量,于是對角線相等的平行四邊形為矩形.故OAOB.因此=0,所以銳角=.法二坐標法:+=(sin -1,cos +1),-=(-sin -1,cos -1),由|+|=|-|可得(sin -1)2+(cos +1)2=(-sin -1)2+(cos -1)2,整理得sin =cos ,于是銳角=.答案:15. 導學號 18702234在如圖所示的平面直角坐標系中,已知點A(1,0)和點B(-1,0),|=1,且AOC=,其中O為坐標原點.(1)若=,設點D為線段OA上的動點,求|+|的最小值;(2)若0,向量m=,n=(1-cos ,sin -2cos ),求mn的最小值及對應的值.解:(1)設D(t,0)(0t1),由題意知C(-,),所以+=(-+t,),所以|+|2=-t+t2+=t2-t+1=(t-)2+,所以當t=時,|+|最小,為.(2)由題意得C(cos ,sin ),m=(cos +1,sin ),則mn=1-cos2+sin2-2sin cos =1-cos 2-sin 2=1-sin(2+),因為0,所以2+,所以當2+=,即=時,Sin(2+)取得最大值1.所以mn的最小值為1-,此時=.好題天天練導學號 18702235在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B),n=(cos B,-sin B),且mn=-.(1)求sin