等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案及說(shuō)明.doc

等差數(shù)列前n項(xiàng)和教師：中衛(wèi)市第一中學(xué) 俞清華一、教材分析 教學(xué)內(nèi)容 等差數(shù)列前n項(xiàng)和現(xiàn)行高中教材第三章第三節(jié)“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的第一課時(shí)，主要內(nèi)容是等差數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)過(guò)程和簡(jiǎn)單應(yīng)用。 地位與作用 本節(jié)對(duì)“等差數(shù)列前n 項(xiàng)和”的推導(dǎo)，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究等差數(shù)列，其學(xué)習(xí)平臺(tái)是學(xué)生已掌握等差數(shù)列的性質(zhì)以及高斯求和法等相關(guān)知識(shí)。對(duì)本節(jié)的研究，為以后學(xué)習(xí)數(shù)列求和提供了一種重要的思想方法倒序相加求和法，具有承上啟下的重要作用。 二、學(xué)情分析 知識(shí)基礎(chǔ)：高一年級(jí)學(xué)生已掌握了函數(shù)，數(shù)列等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，并且在初中已了解特殊的數(shù)列求和。 認(rèn)知水平與能力：高一學(xué)生已初步具有抽象邏輯思維能力，能在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立地解決問(wèn)題。 任教班級(jí)學(xué)生特點(diǎn)：我班學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)較扎實(shí)、思維較活躍，能夠很好的掌握教材上的內(nèi)容，能較好地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問(wèn)題，但處理抽象問(wèn)題的能力還有待進(jìn)一步提高。三、目標(biāo)分析1、教學(xué)目標(biāo)依據(jù)教學(xué)大綱的教學(xué)要求，滲透新課標(biāo)理念，并結(jié)合以上學(xué)情分析，我制定了如下教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)技能 (1)掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式; (2)掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程; (3)會(huì)簡(jiǎn)單運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。 數(shù)學(xué)思考(1) 通過(guò)對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程,滲透倒序相加求和的數(shù)學(xué)方法；(2) 通過(guò)公式的運(yùn)用體會(huì)方程的思想；(3) 通過(guò)運(yùn)用公式的過(guò)程，提高學(xué)生類比化歸、數(shù)形結(jié)合的能力。 解決問(wèn)題創(chuàng)設(shè)由探索1+2+3+100的和,推廣到探索一般的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求和公式的情景,使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)研究方法, 并使學(xué)生在反饋練習(xí)的過(guò)程中，進(jìn)一步提高問(wèn)題解決的能力。 情感態(tài)度結(jié)合具體模型,將教材知識(shí)和實(shí)際生活聯(lián)系起來(lái),使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性,有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,并通過(guò)對(duì)等差數(shù)列求和歷史的了解,滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化。2、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。 難點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中滲透倒序相加的思想方法。 重、難點(diǎn)解決的方法策略本課在設(shè)計(jì)上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略利用數(shù)形結(jié)合、類比歸納的思想，層層深入，通過(guò)學(xué)生自主探究，分析、整理出推導(dǎo)公式的不同思路，同時(shí)，借助多媒體的直觀演示，幫助學(xué)生理解，并通過(guò)范例后的變式訓(xùn)練和教師的點(diǎn)撥引導(dǎo)，師生互動(dòng)、講練結(jié)合，從而突出重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)。四、教學(xué)模式與教法、學(xué)法本課采用“探究發(fā)現(xiàn)”教學(xué)模式。教師的教法突出活動(dòng)的組織設(shè)計(jì)與方法的引導(dǎo)。 學(xué)生的學(xué)法突出探究、發(fā)現(xiàn)與交流。五、過(guò)程設(shè)計(jì)結(jié)合教材知識(shí)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，本課的教學(xué)環(huán)節(jié)及時(shí)間分配如下： 公式應(yīng)用與議練活動(dòng)（1）（5分鐘）探究等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式（18分鐘）創(chuàng)設(shè)情景提出問(wèn)題（2分鐘） 圖片欣賞 數(shù)形結(jié)合新課引入 類比化歸 前后呼應(yīng) 公式應(yīng)用公式應(yīng)用與議練活動(dòng)（2）（9分鐘） 歸納總結(jié)（2分鐘）公式的認(rèn)識(shí)與理解（4分鐘） 前后呼應(yīng) 知識(shí)回顧五、教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教 師 活 動(dòng) 學(xué) 生 活 動(dòng)活 動(dòng)說(shuō) 明新課引入創(chuàng)設(shè)情境：首先讓學(xué)生欣賞一幅美麗的圖片泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景點(diǎn)，傳說(shuō)中陵寢中有一個(gè)三角形的圖案嵌有大小相同的寶石，共有100層，同時(shí)提出第一個(gè)問(wèn)題：你能計(jì)算出這個(gè)圖案一共花了多少顆寶石嗎？也即計(jì)算1+2+3+.+100=？問(wèn)題2：何老師按揭買房,向銀行貸款25萬(wàn)元，采取等額本金的還款方式，即每月還款額比上月減少一定的數(shù)額。2007年1月，我第一次向銀行還款2348元，以后每月比上月的還款額減少5元，若以2007年1月銀行貸款利率為基準(zhǔn)利率,那么到2026年12月最后一次還款為止，何老師連本帶利一共還款多少萬(wàn)元？現(xiàn)實(shí)模型： 圖片欣賞 生活實(shí)例模 型直 觀用實(shí)際生活引入新課。探 索 公 式探 索 公 式議練活動(dòng)認(rèn)識(shí)公式認(rèn)識(shí)公式議練活動(dòng)課 堂總結(jié)首先認(rèn)識(shí)一位偉大的數(shù)學(xué)家高斯，然后提出問(wèn)題：高斯是如何快速計(jì)算1+2+3+4+.+100？設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為 ,則 問(wèn)題1老師：利用高斯算法如何求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式？老師：但是否剛好配對(duì)成功呢？（1） n為偶數(shù)時(shí)： （2） n為奇數(shù)時(shí)：老師：那么該如何解決落單的呢？同過(guò)對(duì)n取值的討論，得到了前n項(xiàng)和求和公式：但是對(duì)n討論麻煩了，能否有更好的方法求前n項(xiàng)和公式呢？接下來(lái)給出實(shí)際問(wèn)題：伐木工人是如何快速計(jì)算堆放在木場(chǎng)的木頭根數(shù)呢？ 問(wèn)題2：如何用倒置的思想求等差數(shù)列前n項(xiàng)和呢？方法一：兩式相加得：方法二同樣利用倒序相加求和法，教材做了如下處理：兩式相加得：引導(dǎo)學(xué)生帶入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，換掉 整理得到公式2。例1：計(jì)算（1）1+2+3+n（2）1+3+5+(2n-1)（3）2+4+6+2n （4）1-2+3-4+5-6+(2n-1)-2n 教師通過(guò)動(dòng)畫演示給(1),(2)問(wèn)一個(gè)直觀的解釋。變式練習(xí)：課前提出的房貸問(wèn)題。解:由已知每月還款數(shù)成等差數(shù)列,設(shè)為：?jiǎn)栴}3：能否給求和公式一個(gè)幾何解釋呢？ 教師提示將求和公式與梯形建立聯(lián)系。 n剖析公式： 教師提示，從方程中量的關(guān)系入手。例2 等差數(shù)列-10，-6，-2，2， 前多少項(xiàng)的和為54？ 解：設(shè)題中的等差數(shù)列是，前n項(xiàng)和為： 則10，d6（10）4 令54，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得： 解得 9，3（舍去）因此,等差數(shù)列的前9項(xiàng)和是 54 例3： 解：（1） （2） 本小題主要考察了對(duì)公式一的整體應(yīng)用。根據(jù)課堂剩余時(shí)間，本題作為機(jī)動(dòng)練習(xí)，（2）小問(wèn)留給學(xué)生課后完成。1、教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容2、課后作業(yè)：教材118頁(yè)：1、2、3、5、6、7 課后思考： 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求和方法除了倒序相加法還有沒有其它方法呢?3、對(duì)求和史的了解 我國(guó)數(shù)列求和的概念起源很早，在北朝時(shí)，張丘建始創(chuàng)等差數(shù)列求和解法。他在張丘建算經(jīng)中給出等差數(shù)列求和問(wèn)題：例如：今有女子不善織布，每天所織的布以同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，共織三十日，問(wèn)共織幾何？原書的解法是：“并初、末日織布數(shù)，半之再乘以織日數(shù)，即得?！睂W(xué)生：1+100=101，2+99=101，.50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050學(xué)生：將首末兩項(xiàng)配對(duì)，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)配對(duì)，以此類推，每一對(duì)的和都相等，并且都等于 。學(xué)生：不一定，需要對(duì)n取值的奇偶進(jìn)行討論。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)剛好配對(duì)成功。 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)落單了。（可能部分學(xué)生在此會(huì)遇到困難，老師做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。）學(xué)生：觀察的腳標(biāo)與 腳標(biāo)的關(guān)系，即： 學(xué)生觀察動(dòng)畫演示，不難發(fā)現(xiàn)用倒置的思想來(lái)解決此問(wèn)題。 （由上一問(wèn)題的解決，學(xué)生容易想到倒序相加求和法。） 學(xué)生：利用倒序相加求和法。將中的每一項(xiàng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行巧妙的改寫，在倒序相加求和時(shí)，每一組中的d都被正負(fù)抵消了。學(xué)生類比方法一與方法二的聯(lián)系與區(qū)別。學(xué)生自己閱讀教材，體會(huì)教材的解法是如何運(yùn)用求和公式。 觀察多媒體課件演示。學(xué)生：要求總還款額實(shí)際就是對(duì)一個(gè)等差數(shù)列求和。 學(xué)生：將求和公式與梯形面積公式建立聯(lián)系，而梯形面積公式的推導(dǎo)也正是利用了倒置的思想。學(xué)生：同樣將公式2與梯形面積公式建立聯(lián)系。用“割”的思想將梯形分做一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形，而梯形面積就是這兩部分面積之和。學(xué)生討論：公式中一共含有五個(gè)量，根據(jù)三個(gè)公式之間的聯(lián)系，由方程的思想，知三可求二。 學(xué)生討論分析題目所含的已知量，選取了公式2進(jìn)行運(yùn)算，利用了方程的思想。需要注意的是學(xué)生可能會(huì)把公差認(rèn)為是-4，以及解得n的值后未把n=-3舍去。學(xué)生進(jìn)行了分組討論，然后每組派學(xué)生代表進(jìn)行分析。不少小組首先對(duì)已知條件作轉(zhuǎn)化，希望能通過(guò)解方程求出首項(xiàng)和公差，但發(fā)現(xiàn)條件不夠，不能解出這些基本量，教師做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。 本環(huán)節(jié)由學(xué)生自主歸納、總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，教師加以補(bǔ)充說(shuō)明（1）回顧從特殊到一般，一般到特殊的研究方法.（2）體會(huì)等差數(shù)列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.（3）掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用。 了解我國(guó)古代研究等差數(shù)列求和的情況。高斯求和眾所周知，學(xué)生能快速解答。 這里用到了等差數(shù)列腳標(biāo)和性質(zhì) 從高斯算法出發(fā)，對(duì)n進(jìn)行討論尋找求和公式思路自然，學(xué)生容易想到。對(duì)中間項(xiàng)的解決辦法的過(guò)程中，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)研究數(shù)列就是對(duì)腳標(biāo)數(shù)學(xué)的研究。倒序相加求和法是重要的數(shù)學(xué)思想，為以后數(shù)列求和的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中，通過(guò)問(wèn)題獲得知識(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題提出問(wèn)題解決問(wèn)題”的過(guò)程通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，同時(shí)又服務(wù)于生活利用數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生對(duì)兩個(gè)公式有直觀的認(rèn)識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的圖形語(yǔ)言。例2在解決了例1的基礎(chǔ)上，由淺入深，深化了對(duì)公式的理解，體現(xiàn)了方程的思想。緊扣教材，讓學(xué)生體會(huì)整體應(yīng)用公式，類比化歸的思想方法，同時(shí)，為以后綜合問(wèn)題的解答設(shè)下伏筆。通過(guò)對(duì)等差數(shù)列求和歷史的了解，滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化。板書設(shè)計(jì)：3.3 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 和和一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和二、公式的推導(dǎo)方法1：方法2：方法3：三、剖析公式：公式1：公式2： (主板書) 四、例題及解答(副板書)議練活動(dòng) (輔助性板書)等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案說(shuō)明 概述本課的教學(xué)設(shè)計(jì)分為六個(gè)部分，包括：教材分析，學(xué)情分析，目標(biāo)分析，教學(xué)方法，過(guò)程設(shè)計(jì)和教學(xué)反思。設(shè)計(jì)反映了等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)過(guò)程中數(shù)學(xué)思想方法倒序相加法的生成過(guò)程，這是設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)本質(zhì)基礎(chǔ)；設(shè)計(jì)中結(jié)合本班學(xué)生的學(xué)習(xí)的實(shí)際情況，從而確定了教學(xué)活動(dòng)的環(huán)節(jié)。以這些分析為基礎(chǔ)從而確定教學(xué)目標(biāo)，而過(guò)程設(shè)計(jì)則針對(duì)目標(biāo)從六個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行具體的設(shè)計(jì)。下面從如下幾個(gè)方面進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。一、教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)及教學(xué)目標(biāo)定位等差數(shù)列前n項(xiàng)和 ，這是教材給出的前n項(xiàng)和的定義，但需要說(shuō)明的是這只是一個(gè)形式定義，表示求和是一般意義的加法運(yùn)算，而本節(jié)課要推導(dǎo)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的數(shù)學(xué)本質(zhì)是尋求與n的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，如果這個(gè)關(guān)系式能夠用解析式來(lái)表達(dá)，那么我們就完全把握了這個(gè)求和公式。本節(jié)課是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的第一課時(shí)，從知識(shí)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，掌握求和公式對(duì)沒個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不困難，而難點(diǎn)是在于如何從求和公式的推導(dǎo)過(guò)程中滲透倒序相加求和的思想方法，因此，依據(jù)教學(xué)大綱的教學(xué)要求，滲透新課標(biāo)理念，我首先對(duì)學(xué)情進(jìn)行了具體分析，并結(jié)合學(xué)情分析，制定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。首先，高一學(xué)生已學(xué)習(xí)了函數(shù)，數(shù)列等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，并且在初中已了解特殊的數(shù)列求和，并且高一學(xué)生的抽象邏輯推理能力基本形成，抽象辯證，邏輯推論能力開始產(chǎn)生，能在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立地解決問(wèn)題。另外，我還對(duì)我班學(xué)生的具體情況做了如下分析：我班學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)比較扎實(shí)、思維較活躍，學(xué)生層次差異不大，能夠很好的掌握教材上的內(nèi)容，能較好地做到數(shù)形結(jié)合，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，深入研究問(wèn)題，但是部分學(xué)生有些粗心，處理抽象問(wèn)題的能力還有待進(jìn)一步提高于是，結(jié)合以上的學(xué)情分析，我從 “知識(shí)技能”、“數(shù)學(xué)思考”、“解決問(wèn)題”和“情感態(tài)度”設(shè)定目標(biāo)。其中知識(shí)技能目標(biāo)是：(1)理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的概念意義與公式意義的區(qū)別與聯(lián)系;(2)掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程;(3)會(huì)靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式. “數(shù)學(xué)思考”則是：(1)通過(guò)對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程,滲透倒序相加求和的數(shù)學(xué)思想.(2)通過(guò)公式的運(yùn)用體會(huì)方程的思想. (3)通過(guò)靈活運(yùn)用公式的過(guò)程，提高學(xué)生類比化歸、數(shù)形結(jié)合的能力以此來(lái)解決如何推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題。并且從過(guò)程滲透了本課的情感態(tài)度目標(biāo)：結(jié)合具體模型,將教材知識(shí)和實(shí)際生活聯(lián)系起來(lái),使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性,有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,并通過(guò)對(duì)等差數(shù)列求和歷史的了解,滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化。以上是對(duì)教學(xué)目標(biāo)定位的說(shuō)明。 二、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)及作用 本節(jié)內(nèi)容是現(xiàn)行高中教材第三章第三節(jié)的第一課時(shí)，本節(jié)對(duì)“等差數(shù)列前n 項(xiàng)和”的推導(dǎo)，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究等差數(shù)列，其學(xué)習(xí)平臺(tái)是學(xué)生已掌握等差數(shù)列的性質(zhì)以及高斯求和法等相關(guān)知識(shí)。對(duì)本節(jié)的研究，為以后學(xué)習(xí)數(shù)列求和提供了一種重要的思想方法倒序相加求和法，具有承上啟下的重要作用 對(duì)求和公式的認(rèn)識(shí)中，將公式1與公式2與梯形的面積公式建立了聯(lián)系，同時(shí)也回顧了以往推導(dǎo)梯形面積公式的方法，同樣用到了倒序的思想，前后呼應(yīng)。三、教學(xué)診斷分析1、根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)及學(xué)生反饋的信息，在本課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)公式的掌握及簡(jiǎn)單應(yīng)用并不困難，而難點(diǎn)在于如何在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的過(guò)程中滲透倒序相加的思想方法，這就意味著如何自然地給出倒序相加求和法，是本課設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容。我首先讓學(xué)生回顧高斯求和法，學(xué)生容易進(jìn)行類比，將首末兩項(xiàng)進(jìn)行配對(duì)，但很快遇到問(wèn)題，即奇偶項(xiàng)數(shù)的數(shù)列要分別進(jìn)行討論，于是這里引導(dǎo)學(xué)生觀察腳標(biāo)的特點(diǎn)，從而突破這一難點(diǎn)。但此法不是最好方法，為了實(shí)現(xiàn)這一創(chuàng)造過(guò)程的自然，設(shè)計(jì)中聯(lián)想到堆木料的例子，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)從一個(gè)數(shù)列“配對(duì)”的方法發(fā)展到兩個(gè)數(shù)列的“配對(duì)”，接下來(lái)的分析和應(yīng)用也就水到渠成。2、在對(duì)公式的認(rèn)識(shí)中，學(xué)生不容易想到將兩個(gè)公式與梯形面積公式建立聯(lián)系，此時(shí)教師可做適當(dāng)?shù)奶崾荆坏┙o出提示后，學(xué)生便能迅速找到二者的關(guān)系。認(rèn)識(shí)過(guò)程中再次強(qiáng)調(diào)倒序相加的思想方法。 3、由于高斯求和法眾所周知，于是我補(bǔ)充了我國(guó)古代研究數(shù)列求和的情況，但由于時(shí)間關(guān)系不能展開講解，所以如何在課后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了解是一個(gè)值得研究的問(wèn)題。4、本節(jié)課充分利用了多媒體技術(shù)的強(qiáng)大功能，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的強(qiáng)有力工具，使學(xué)生樂意投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的教學(xué)活動(dòng)中去。四、教法特點(diǎn)及預(yù)期效果分析根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況、認(rèn)知特點(diǎn)，本課采用“探究發(fā)現(xiàn)”教學(xué)模式引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中進(jìn)行探究，在師生互動(dòng)交流中，發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)方法，