DEA資產(chǎn)組合效率指數(shù).doc

貨幣金融評(píng)論 2003年第2、3期DEA資產(chǎn)組合效率指數(shù)DEA方法應(yīng)用于業(yè)績(jī)?cè)u(píng)估的一個(gè)新模型 中國人民大學(xué)信息學(xué)院 王兵 郝煒內(nèi)容摘要：在金融學(xué)領(lǐng)域中，資產(chǎn)組合業(yè)績(jī)?cè)u(píng)估是一個(gè)很重要的研究領(lǐng)域。最經(jīng)常使用的兩種業(yè)績(jī)指數(shù)分別是：Jensen的alpha 和 Sharpe 指數(shù)。由于這些指數(shù)存在著一定的局限性，我們應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)領(lǐng)域中著名的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）方法來度量資產(chǎn)組合的業(yè)績(jī)，這也是本文所要提出的業(yè)績(jī)?cè)u(píng)估的新指數(shù)DEA資產(chǎn)組合效率指數(shù)（DPEI）。關(guān)鍵詞：CCR模型 DPEI Jensen的alpha Sharpe 指數(shù) 資產(chǎn)組合業(yè)績(jī)?cè)u(píng)估 DEA交易成本1. 引言評(píng)估資產(chǎn)組合業(yè)績(jī)，經(jīng)常使用的兩種主要指標(biāo)分別是：Jensen的alpha（Jensen，1968）和Sharpe 指數(shù)（Sharpe，1966）。研究人員已經(jīng)認(rèn)真地檢驗(yàn)過這些指標(biāo)，證明了這些指標(biāo)不能解決很多問題，盡管它們不管在理論上還是在實(shí)踐中都非常有用。在資產(chǎn)組合業(yè)績(jī)?cè)u(píng)估中，主要存在這三個(gè)問題：用以比較的精確基準(zhǔn)問題，市場(chǎng)時(shí)機(jī)的角色問題和交易成本的內(nèi)生性問題。在這篇文章中，我們采用一種新指數(shù)（DPEI）來度量資產(chǎn)組合業(yè)績(jī)，它彌補(bǔ)了常用業(yè)績(jī)?cè)u(píng)估指數(shù)的某些不足之處。DPEI這種指數(shù)，是一種相對(duì)業(yè)績(jī)度量方法，不需要規(guī)定比較的基準(zhǔn)，同時(shí)也嵌入了交易成本。我們采用的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）技術(shù)，它在運(yùn)籌學(xué)中廣泛的應(yīng)用于計(jì)算效率的相對(duì)有效性。因此，我們將新指數(shù)稱之為DEA資產(chǎn)組合效率指數(shù)（DPEI）。2. 評(píng)估資產(chǎn)組合業(yè)績(jī)的常用指數(shù)前文已提過評(píng)估資產(chǎn)組合業(yè)績(jī)的常用指標(biāo)及其存在的三個(gè)主要問題，下面將分別說明。2.1. Jensen的alpha在金融學(xué)文獻(xiàn)中，基準(zhǔn)選擇問題和市場(chǎng)時(shí)機(jī)問題已經(jīng)廣泛的討論過（Grinblatt and Titman, 1989, 1993）。Jensen的alpha是該討論的焦點(diǎn)，因?yàn)樗还苁窃趯W(xué)術(shù)界還是在業(yè)界都是最廣泛用作業(yè)績(jī)指標(biāo)的。它定義為實(shí)際資產(chǎn)組合回報(bào)與估計(jì)的基準(zhǔn)回報(bào)之差。基準(zhǔn)既可以是基于CAPM（資本資產(chǎn)定價(jià)模型）又可以是基于APT（套利定價(jià)理論）模型的。研究人員已經(jīng)討論過Jensen的alpha對(duì)用作比較的基準(zhǔn)模型選擇是靈敏的（Roll, 1978; Green, 1986; Lehman and Modest, 1987; Elton et al., 1993; Choi, 1995）。例如，基于采用CAPM或APT模型作為基準(zhǔn)得到的Jensen的alpha，是完全不同的。另外，研究人員已經(jīng)討論了Jensen的alpha的估計(jì)可能是有偏的，因?yàn)槭袌?chǎng)時(shí)機(jī)選擇基金管理人的這種能力系統(tǒng)地改變了基金的目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)（Jensen，1972；Admati and Ross,1985;Dybvig and Ross,1985）。當(dāng)資產(chǎn)組合管理人通過在不同投資品種之間轉(zhuǎn)移資金，改變了基金的目標(biāo)beta時(shí)，因?yàn)樵谘芯康臅r(shí)段內(nèi)已經(jīng)假設(shè)了beta系數(shù)是常數(shù)，這樣，就會(huì)將估計(jì)偏差引入了基準(zhǔn)模型中。2.2. Sharpe 指數(shù)除了最常用的Jensen的alpha之外，另一個(gè)常用的資產(chǎn)組合業(yè)績(jī)?cè)u(píng)估指標(biāo)是Sharpe 指數(shù)。它定義為資產(chǎn)組合的超額回報(bào)（超過無風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)的部分）與其標(biāo)準(zhǔn)差的比率。相對(duì)于Jensen的alpha，這種度量方法避開了用作比較的基準(zhǔn)問題。然而，Sharpe 指數(shù)即使沒有考慮交易成本或與買賣資產(chǎn)相關(guān)的費(fèi)用，基金經(jīng)常改變手續(xù)費(fèi)或其他費(fèi)用，這樣就揭示出代表投資人利益的進(jìn)行金融交易的成本。因此，在度量資產(chǎn)組合業(yè)績(jī)的過程中，包含交易成本是很重要的，而且研究人員已經(jīng)建立了這兩種變量的聯(lián)系（Grossman, 1976; Grossman and Stiglitz, 1980; Ippolito, 1989; Elton et al., 1993）。存在的主要爭(zhēng)論在于：如果收集和使用信息是有成本的，那么，知情投資者應(yīng)該相對(duì)于未知情投資者得到更高的回報(bào)。Grinblatt and Titman (1989)也認(rèn)為如果資產(chǎn)組合管理人的能力優(yōu)越，那么，他們可以通過支付更高的費(fèi)用獲取經(jīng)濟(jì)租金。這樣，我們才會(huì)有希望理解交易成本和回報(bào)之間的聯(lián)系。從投資者的角度看，任何業(yè)績(jī)指數(shù)也應(yīng)該考慮交易成本。2.3. 一些改進(jìn)的努力和DPEI在試圖繞開基準(zhǔn)問題時(shí)，Grinblatt and Titman（1993）采用了一種新的資產(chǎn)組合業(yè)績(jī)度量方法，不要求使用基準(zhǔn)資產(chǎn)組合。它們度量了回報(bào)和資產(chǎn)組合權(quán)重變化之間的相關(guān)性，并用這種相關(guān)性作為管理業(yè)績(jī)指標(biāo)。他們用這種指數(shù)評(píng)估了共同基金的業(yè)績(jī)。然而，它們的指標(biāo)也沒有考慮交易成本。我們基于Sharpe 指數(shù)的思想，通過加入了交易成本修正了Sharpe 指數(shù)，從而發(fā)展了一種新指數(shù)。Sharpe 指數(shù)定義為R/，其中R是實(shí)際回報(bào)與無風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)之差，是回報(bào)的標(biāo)準(zhǔn)差或相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)。因此，Sharpe 指數(shù)捕捉了單位風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。為了考慮交易成本，我們定義新的資產(chǎn)組合業(yè)績(jī)?cè)u(píng)估指數(shù)I為其中指交易成本，例如費(fèi)用比率、手續(xù)費(fèi)和轉(zhuǎn)手費(fèi)。權(quán)重和v分別是與變量和相聯(lián)系的。比率I 定義了在給定風(fēng)險(xiǎn)水平和交易成本情況下，基金所得到的超額回報(bào)的一種度量方法，或者說，I代表了基金在控制了投資的風(fēng)險(xiǎn)水平和進(jìn)行交易發(fā)生的成本之后，所能得到的不少于市場(chǎng)回報(bào)的剩余回報(bào)。這種指數(shù)與生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)學(xué)中采用的效率度量方法是一致的，其中用產(chǎn)出和投入的比率作為度量管理人員怎樣很好的利用資源達(dá)到產(chǎn)出水平的最大化。為了確定權(quán)重和v，通常我們采用參數(shù)方法，并設(shè)定在回報(bào)與交易成本、標(biāo)準(zhǔn)差之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)形式。然后，采用最小二乘法或非線性方法來估計(jì)權(quán)重。然而，Varian（1990）提倡使用非參數(shù)方法來度量投資者或消費(fèi)者的最優(yōu)行為。他認(rèn)為傳統(tǒng)做法求助于特定的參數(shù)方法和檢驗(yàn)估計(jì)的意義，是把著重點(diǎn)放在了統(tǒng)計(jì)含義上而忽視了經(jīng)濟(jì)含義問題。Varian 認(rèn)為從最優(yōu)行為出發(fā)的經(jīng)濟(jì)含義是更貼切的。給定一組數(shù)據(jù)（價(jià)格、需求和產(chǎn)出），Varian提出了一種基于殘差的度量方法。它度量了由數(shù)據(jù)構(gòu)造的產(chǎn)出投入之比與1（效率值之最大者）之差。Seiford and Thrall (1990) 證明了Varian的度量方法與數(shù)據(jù)包絡(luò)分析得到的效率值之間的聯(lián)系。在這些前人工作的啟發(fā)下，我們采用了Charnes et al.（1978）提出的度量了教育機(jī)構(gòu)績(jī)效的非參數(shù)分析技術(shù)數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA），即CCR模型。DEA是一種線性規(guī)劃形式（具體的轉(zhuǎn)化過程，見下文或Wei（1988），它定義了多投入與多產(chǎn)出之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。2.4. DEA方法的優(yōu)勢(shì)Banker and Maindiratta（1986）已經(jīng)證明了DEA方法相對(duì)于參數(shù)方法而言，有一定的優(yōu)勢(shì)。首先，DEA方法不要求像參數(shù)方法那樣，對(duì)投入產(chǎn)出對(duì)應(yīng)的任何函數(shù)形式做出假設(shè)。這一特征在關(guān)系理論上未知或不規(guī)定的情形下是有用的。DEA需要的最少假設(shè)是有效前沿面的單調(diào)性和凸性（Banker et al.,1984）。第二，DEA度量的效率是著眼于Pareto有效前沿面的，它度量的最好業(yè)績(jī)是實(shí)際可以達(dá)到的，而參數(shù)方法（例如基于回歸的方法）估計(jì)的效率是相對(duì)于平均的業(yè)績(jī)來說的。第三，DEA可以計(jì)算每一基金的效率指數(shù)，然而參數(shù)方法提供了統(tǒng)計(jì)平均值。最后，使用DEA不僅可以鑒別無效率基金，也可以估計(jì)無效率的程度。這一分析暗示了無效率基金可以達(dá)到有效率的途徑。這樣，我們看到當(dāng)對(duì)變量之間關(guān)系的函數(shù)形式很少有事前信息時(shí)，DEA方法是一種度量效率很有用的技術(shù)。研究人員已經(jīng)采用DEA評(píng)價(jià)了教育機(jī)構(gòu)（Charnes et al.,1978）、醫(yī)院（Banker et al.,1984）、銀行（Sherman,1984）、和零售單位（Mahajan, 1991）。下面我們就用DEA來度量共同基金的業(yè)績(jī)。3. DEA資產(chǎn)組合效率指數(shù)（DPEI）接下來，就2.3.提到的DPEI，詳細(xì)的進(jìn)行闡述，并進(jìn)行一些進(jìn)一步的改進(jìn)以應(yīng)用到更廣泛的環(huán)境中。3.1. 產(chǎn)出、投入的選擇Sharpe 指數(shù)這種度量方法，是Sharpe（1966）提出的一種作為Jensen的alpha的備選度量方法。Sharpe 指數(shù)如上所述，可以用資產(chǎn)組合的超額回報(bào)與其標(biāo)準(zhǔn)差的比率得到，因此，它度量了承受每單位風(fēng)險(xiǎn)所得到的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。Roll（1978）認(rèn)為Jensen的alpha對(duì)采用的市場(chǎng)指數(shù)的選擇是非常敏感的，可能對(duì)經(jīng)理人運(yùn)作資產(chǎn)組合的質(zhì)量來說不是一種精確度量方法。Sharpe 指數(shù)在市場(chǎng)指數(shù)問題上更穩(wěn)健，因?yàn)樗褂脴?biāo)準(zhǔn)差作為風(fēng)險(xiǎn)度量，而不是beta。然而，因?yàn)橘Y產(chǎn)組合的最終Sharpe 指數(shù)是相對(duì)于市場(chǎng)指數(shù)的Sharpe 指數(shù)來說的。市場(chǎng)指數(shù)問題并沒有完全消除。DPEI是將每一資產(chǎn)組合指數(shù)與此類中得到的最好資產(chǎn)組合比較而言的。給定交易成本結(jié)構(gòu)（例如，費(fèi)用比率、轉(zhuǎn)手費(fèi)和手續(xù)費(fèi)）和承受的風(fēng)險(xiǎn)，我們?cè)u(píng)估了相同一類中基金產(chǎn)生的最高回報(bào)。像在Sharpe 指數(shù)里，我們進(jìn)考慮了一種產(chǎn)出，即回報(bào)，它不關(guān)心我們是否考慮超額回報(bào)（實(shí)際回報(bào)與無風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)之差）或?qū)嶋H回報(bào)，而DEA是一種業(yè)績(jī)的相對(duì)度量方法，無風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)是常數(shù)，這些對(duì)所有類型的基金是共同的。為了產(chǎn)生回報(bào)，經(jīng)理人花費(fèi)交易成本和將成本轉(zhuǎn)移給投資者。這些成本，例如費(fèi)用比率，包括了管理費(fèi)用、營銷費(fèi)用和其他經(jīng)營費(fèi)用。另外，共同基金對(duì)特定基金來說是要交納手續(xù)費(fèi)的。這些收費(fèi)可能在消費(fèi)者投資開始時(shí)交納或推遲到消費(fèi)者抽走他的資金時(shí)。交易成本的另外一種度量方法是周轉(zhuǎn)額，它捕捉了經(jīng)理人的交易活動(dòng)。周轉(zhuǎn)額越大，因?yàn)榻灰琢吭黾咏灰壮杀驹酱蟆＿@樣，投資者對(duì)發(fā)現(xiàn)在一定風(fēng)險(xiǎn)水平下基金獲取的回報(bào)高于交易成本感興趣。我們與Sharpe 指數(shù)相似，采用標(biāo)準(zhǔn)差作為風(fēng)險(xiǎn)度量。這樣，在我們的DEA模型里，有一種產(chǎn)出和四種投入：費(fèi)用比率、手續(xù)費(fèi)、周轉(zhuǎn)額和標(biāo)準(zhǔn)差。3.2. 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）我們簡(jiǎn)要的描述一下Charnes et al.,（1978）提出的DEA形式CCR模型（詳細(xì)的過程可參看Wei（1988）。簡(jiǎn)單的DEA問題是作為一種分式規(guī)劃問題形式構(gòu)造的，然后轉(zhuǎn)化為容易計(jì)算的線性規(guī)劃問題。一般的，問題最大化了加權(quán)平均的多產(chǎn)出與加權(quán)平均多投入的效率。在我們的情形里，僅有一種產(chǎn)出，即回報(bào)。Maximize Subject to ( P )其中J = 基金類型的數(shù)量，I = 投入的數(shù)量，= 第j種基金的回報(bào)值, = 第j種基金的第i種交易成本值， = 固定的作為小于任意正實(shí)數(shù)的正值非Archimedean無窮小量， 和v是權(quán)重，給定規(guī)劃問題在條件 ，v 下的解，并限制解是正值變量。下標(biāo)0指要評(píng)估的特定基金。上面的問題在所有基金的回報(bào)與加權(quán)投入比率小于等于1的條件限制下，找出權(quán)重最大化特定基金回報(bào)與加權(quán)投入的比率。在這種意義上，就基金集使用相同的投入得到相同的產(chǎn)出而言，DEA度量了一種基金的效率。DEA能夠基于他們是否位于Pareto有效前沿面上，可以將無效率基金與有效率基金分離開。基金離有效前沿面的距離給出了它的相對(duì)有效性的一種度量方法。有效前沿面是分段線性的，僅就參考的基金集而言基金被視為無效率的，如果目標(biāo)函數(shù)值是1和松弛變量都是0，就說基金是有效率的。3.3. 模型的轉(zhuǎn)化及改進(jìn)下面簡(jiǎn)要的闡述一下問題（P）的處理和相應(yīng)的改進(jìn)。首先，根據(jù)Wei（1988）中的方法和相應(yīng)的符號(hào)（下面就采用問題（P）相應(yīng)的矩陣符號(hào)形式，這只是為了處理方便。），令和,這樣，問題（P）就轉(zhuǎn)化為Maximize 問題（P0）就是典型的投入傾向型DEA問題的一種特殊形式。當(dāng)考慮到回報(bào)、費(fèi)用比率、手續(xù)費(fèi)、周轉(zhuǎn)額和標(biāo)準(zhǔn)差的度量時(shí)，回報(bào)、交易成本、標(biāo)準(zhǔn)差一般情況下是隨機(jī)變量：因?yàn)閮r(jià)格、紅利的不確定性，回報(bào)視為隨機(jī)的；交易成本重，手續(xù)費(fèi)、周轉(zhuǎn)額可能因?yàn)榻?jīng)理人的業(yè)績(jī)提高而提高；標(biāo)準(zhǔn)差的隨機(jī)性，一是因?yàn)榻灰资侄蔚陌l(fā)達(dá)，數(shù)據(jù)的易得性，二是因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)可能居于持久性，因此有ARCH模型類的興起。這樣，我們可以采用Wang（2002）的做法，引入機(jī)會(huì)約束形式，有Maximize 相應(yīng)的確定性等價(jià)問題是Maximize 通過解線性規(guī)劃問題得到權(quán)重，從而得到，表明了基金相對(duì)于Pareto有效前沿面的相對(duì)位置。目標(biāo)函數(shù)值是基金相對(duì)有效性的一種度量，且它位于（0，1）之間。如果松弛變量非零，表明每一投入達(dá)到相對(duì)有效性1的程度，換句話說，松弛變量可以表明將特定基金放置在有效前沿面上需要減少交易成本的程度，我們認(rèn)為這種減少是有意義的和可執(zhí)行的。3.4. 直觀解釋為了得到基于DEA指數(shù)和Sharpe指數(shù)之間的直觀理解，在圖1中，我們表明了回報(bào)與標(biāo)準(zhǔn)差之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并認(rèn)為僅有一種投入和一種產(chǎn)出。Sharpe指數(shù)度量了R-delta (delta即)平面上通過代表特定基金位置的原點(diǎn)的直線斜率，然后，與過代表市場(chǎng)資產(chǎn)組合M點(diǎn)的直線斜率作比較。通過使用DEA我們用代表基金類中不同基金的點(diǎn)擬合了一個(gè)凸包，這個(gè)凸包表示分段線性有效前沿面的，代表了基金類中給定風(fēng)險(xiǎn)所能達(dá)到的最好回報(bào)。度量基金的相對(duì)有效性就是與這一實(shí)際得到的有效前沿面之間的距離。這樣，DPEI中的基準(zhǔn)就是基金集中表現(xiàn)最好的基金。注意DEA在多投入和多產(chǎn)情形下是類似的，因此，DEA提供了更靈活的業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)工具。 圖1. DEA有效前沿面與Sharpe指數(shù)之間的比較“A”代表評(píng)估的共同基金，“M”代表市場(chǎng)資產(chǎn)組合。4. 總結(jié)和結(jié)論4.1. 對(duì)DPEI的總結(jié)從以上的分析看，DEA在資產(chǎn)組合業(yè)績(jī)?cè)u(píng)估方面存在的三個(gè)問題（見引言部分）具有優(yōu)勢(shì)：（1） DEA是一種非參數(shù)分析方法，不要求任何理論模型（CAPM或APT）作為度量基準(zhǔn)。相反，DEA度量了一種基金在所選的目標(biāo)類型中相對(duì)最好的基金組表現(xiàn)得如何好。（2） 它可以解決交易成本的內(nèi)生化問題，通過在分析中將交易成本，例如費(fèi)用比率、轉(zhuǎn)手費(fèi)和周轉(zhuǎn)額，和回報(bào)同時(shí)考慮。事實(shí)上，模型是相當(dāng)靈活的，可以同時(shí)評(píng)估需多產(chǎn)出投入的業(yè)績(jī)。例如，如果經(jīng)理人既對(duì)回報(bào)又對(duì)基本資產(chǎn)規(guī)模負(fù)責(zé)的話，它們的業(yè)績(jī)可以用DEA來評(píng)估。（3） 在投入（交易成本）之間討論相對(duì)重要性時(shí)可能的，例如，我們可以觀測(cè)到每一投入作用于回報(bào)的邊際貢獻(xiàn)。這一觀測(cè)允許我們討論產(chǎn)生資產(chǎn)組合回報(bào)的最有資源配置和資產(chǎn)組合度量方法的含義。相對(duì)于用傳統(tǒng)度量方法，我們可以應(yīng)用DEA分析共同基金業(yè)績(jī)。用DEA度量制造業(yè)的產(chǎn)出投入比率來概念化管理效率是容易的。在資產(chǎn)組合管理種，業(yè)績(jī)?cè)u(píng)估是用理論成本比率，也就是說，消費(fèi)者需要基金同時(shí)最大化利潤（回報(bào)）和最小化成本（費(fèi)用比率、手續(xù)費(fèi)和周轉(zhuǎn)額）。這一框架與當(dāng)前金融學(xué)文獻(xiàn)中檢驗(yàn)基金業(yè)關(guān)于交易成本的市場(chǎng)效率問題是一致的。這樣，我們理解了DEA是一種精確技術(shù)來評(píng)估資產(chǎn)組合業(yè)績(jī)。4.2. 結(jié)論與展望我們就共同基金不同投資主體的市場(chǎng)效率建立了新的指數(shù)加以度量。我們使用了一種利潤/成本非參數(shù)分析方法，其中建立了回報(bào)（利潤）和費(fèi)用比率、周轉(zhuǎn)額、風(fēng)險(xiǎn)和手續(xù)費(fèi)（成本）之間的聯(lián)系。相對(duì)于傳統(tǒng)的度量指數(shù)來說，這種新指數(shù)具有許多優(yōu)勢(shì)（見4.1.部分）。DEA資產(chǎn)組合效率指數(shù)（DPEI）可看作Sharpe指數(shù)的一般化推廣，因?yàn)楫?dāng)抽走交易成本這些投入變量時(shí)，該指數(shù)與Sharpe指數(shù)概念上是一致的。DPEI的優(yōu)勢(shì)是避免了存在于傳統(tǒng)方法使用Jensen指數(shù)和鑒別資源無效性時(shí)的基準(zhǔn)問題。DPEI又不預(yù)設(shè)函數(shù)形式，允許我們以一種有實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義的方式在基金業(yè)績(jī)?cè)u(píng)估中加入了交易成本。由于我們僅僅是建立模型，將來我們既可以用新的DEA模型去評(píng)估資產(chǎn)組合業(yè)績(jī)，同時(shí)又要檢驗(yàn)該指數(shù)的有用性。Grinblatt and Titman（1989）檢驗(yàn)了基金業(yè)績(jī)的規(guī)模效應(yīng)問題。同樣，我們可以基于DPEI去檢驗(yàn)基金業(yè)績(jī)的規(guī)模效應(yīng)問題，看看基金業(yè)基于交易成本的相關(guān)性，這對(duì)于DPEI來說是容易的。參考文獻(xiàn)1. 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