2013年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（大綱版）.doc

2013年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（大綱版）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1（5分）設(shè)集合U=1，2，3，4，5，集合A=1，2，則UA=（）A1，2B3，4，5C1，2，3，4，5D2（5分）若為第二象限角，sin=，則cos=（）ABCD3（5分）已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（+）（），則=（）A4B3C2D14（5分）不等式|x22|2的解集是（）A（1，1）B（2，2）C（1，0）（0，1）D（2，0）（0，2）5（5分）（x+2）8的展開式中x6的系數(shù)是（）A28B56C112D2246（5分）函數(shù)f（x）=log2（1+）（x0）的反函數(shù)f1（x）=（）ABC2x1（xR）D2x1（x0）7（5分）已知數(shù)列an滿足3an+1+an=0，a2=，則an的前10項(xiàng)和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）8（5分）已知F1（1，0），F(xiàn)2（1，0）是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=3，則C的方程為（）ABCD9（5分）若函數(shù)y=sin（x+）（0）的部分圖象如圖，則=（）A5B4C3D210（5分）已知曲線y=x4+ax2+1在點(diǎn)（1，a+2）處切線的斜率為8，a=（）A9B6C9D611（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于（）ABCD12（5分）已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（2，2），過點(diǎn)F且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若，則k=（）ABCD2二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13（5分）設(shè)f（x）是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)x1，3）時(shí)，f（x）=x2，則f（1）= 14（5分）從進(jìn)入決賽的6名選手中決出1名一等獎(jiǎng)，2名二等獎(jiǎng)，3名三等獎(jiǎng)，則可能的決賽結(jié)果共有 種（用數(shù)字作答）15（5分）若x、y滿足約束條件，則z=x+y的最小值為 16（5分）已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長等于球O的半徑，則球O的表面積等于 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（10分）等差數(shù)列an中，a7=4，a19=2a9，（）求an的通項(xiàng)公式； （）設(shè)bn=，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn18（12分）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的內(nèi)角對(duì)邊分別為a，b，c，滿足（a+b+c）（ab+c）=ac（）求B（）若sinAsinC=，求C19（12分）如圖，四棱錐PABCD中，ABC=BAD=90，BC=2AD，PAB與PAD都是邊長為2的等邊三角形（）證明：PBCD；（）求點(diǎn)A到平面PCD的距離20（12分）甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判（）求第4局甲當(dāng)裁判的概率；（）求前4局中乙恰好當(dāng)1次裁判概率21（12分）已知函數(shù)f（x）=x3+3ax2+3x+1（）求a=時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（）若x2，+）時(shí)，f（x）0，求a的取值范圍22（12分）已知雙曲線C：=1（a0，b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為3，直線y=2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為（I）求a，b；（II）設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別相交于A、B兩點(diǎn)，且|AF1|=|BF1|，證明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比數(shù)列2013年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（大綱版）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1（5分）設(shè)集合U=1，2，3，4，5，集合A=1，2，則UA=（）A1，2B3，4，5C1，2，3，4，5D【分析】由題意，直接根據(jù)補(bǔ)集的定義求出UA，即可選出正確選項(xiàng)【解答】解：因?yàn)閁=1，2，3，4，5，集合A=1，2所以UA=3，4，5故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查補(bǔ)集的運(yùn)算，理解補(bǔ)集的定義是解題的關(guān)鍵2（5分）若為第二象限角，sin=，則cos=（）ABCD【分析】由為第二象限角，得到cos小于0，根據(jù)sin的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出cos的值【解答】解：為第二象限角，且sin=，cos=故選：A【點(diǎn)評(píng)】此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵3（5分）已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（+）（），則=（）A4B3C2D1【分析】利用向量的運(yùn)算法則、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出【解答】解：，=（2+3，3），=0，（2+3）3=0，解得=3故選：B【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握向量的運(yùn)算法則、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵4（5分）不等式|x22|2的解集是（）A（1，1）B（2，2）C（1，0）（0，1）D（2，0）（0，2）【分析】直接利用絕對(duì)值不等式的解法，去掉絕對(duì)值后，解二次不等式即可【解答】解：不等式|x22|2的解集等價(jià)于，不等式2x222的解集，即0x24，解得x（2，0）（0，2）故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力5（5分）（x+2）8的展開式中x6的系數(shù)是（）A28B56C112D224【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為6求出x6的系數(shù)【解答】解：（x+2）8展開式的通項(xiàng)為T r+1=Cx 8r2 r令8r=6得r=2，展開式中x6的系數(shù)是2 2C82=112故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具6（5分）函數(shù)f（x）=log2（1+）（x0）的反函數(shù)f1（x）=（）ABC2x1（xR）D2x1（x0）【分析】把y看作常數(shù)，求出x：x=，x，y互換，得到y(tǒng)=log2（1+）的反函數(shù)注意反函數(shù)的定義域【解答】解：設(shè)y=log2（1+），把y看作常數(shù)，求出x：1+=2y，x=，其中y0，x，y互換，得到y(tǒng)=log2（1+）的反函數(shù)：y=，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)式和指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化7（5分）已知數(shù)列an滿足3an+1+an=0，a2=，則an的前10項(xiàng)和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）【分析】由已知可知，數(shù)列an是以為公比的等比數(shù)列，結(jié)合已知可求a1，然后代入等比數(shù)列的求和公式可求【解答】解：3an+1+an=0數(shù)列an是以為公比的等比數(shù)列a1=4由等比數(shù)列的求和公式可得，S10=3（1310）故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題8（5分）已知F1（1，0），F(xiàn)2（1，0）是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=3，則C的方程為（）ABCD【分析】設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)題意可得=1再由AB經(jīng)過右焦點(diǎn)F2且垂直于x軸且|AB|=3算出A、B的坐標(biāo)，代入橢圓方程得，兩式聯(lián)解即可算出a2=4，b2=3，從而得到橢圓C的方程【解答】解：設(shè)橢圓的方程為，可得c=1，所以a2b2=1AB經(jīng)過右焦點(diǎn)F2且垂直于x軸，且|AB|=3可得A（1，），B（1，），代入橢圓方程得，聯(lián)解，可得a2=4，b2=3橢圓C的方程為 故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題給出橢圓的焦距和通徑長，求橢圓的方程著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題9（5分）若函數(shù)y=sin（x+）（0）的部分圖象如圖，則=（）A5B4C3D2【分析】利用函數(shù)圖象已知的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差值，求出函數(shù)的周期，然后求解【解答】解：由函數(shù)的圖象可知，（x0，y0）與，縱坐標(biāo)相反，而且不是相鄰的對(duì)稱點(diǎn)，所以函數(shù)的周期T=2（）=，所以T=，所以=4故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)解析式以及函數(shù)的周期的求法，考查學(xué)生的視圖用圖能力10（5分）已知曲線y=x4+ax2+1在點(diǎn)（1，a+2）處切線的斜率為8，a=（）A9B6C9D6【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立方程，即可求得a的值【解答】解：y=x4+ax2+1，y=4x3+2ax，曲線y=x4+ax2+1在點(diǎn)（1，a+2）處切線的斜率為8，42a=8a=6故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題11（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于（）ABCD【分析】設(shè)AB=1，則AA1=2，分別以的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)=（x，y，z）為平面BDC1的一個(gè)法向量，CD與平面BDC1所成角為，則sin=|，在空間坐標(biāo)系下求出向量坐標(biāo)，代入計(jì)算即可【解答】解：設(shè)AB=1，則AA1=2，分別以的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，2），=（1，0，0），設(shè)=（x，y，z）為平面BDC1的一個(gè)法向量，則，即，取=（2，2，1），設(shè)CD與平面BDC1所成角為，則sin=|=，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面所成的角，考查空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用，準(zhǔn)確理解線面角與直線方向向量、平面法向量夾角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵12（5分）已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（2，2），過點(diǎn)F且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若，則k=（）ABCD2【分析】斜率k存在，設(shè)直線AB為y=k（x2），代入拋物線方程，利用=（x1+2，y12）（x2+2，y22）=0，即可求出k的值【解答】解：由拋物線C：y2=8x得焦點(diǎn)（2，0），由題意可知：斜率k存在，設(shè)直線AB為y=k（x2），代入拋物線方程，得到k2x2（4k2+8）x+4k2=0，0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）x1+x2=4+，x1x2=4y1+y2=，y1y2=16，又=0，=（x1+2，y12）（x2+2，y22）=0k=2故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13（5分）設(shè)f（x）是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)x1，3）時(shí)，f（x）=x2，則f（1）=1【分析】利用函數(shù)的周期，求出f（1）=f（1），代入函數(shù)的解析式求解即可【解答】解：因設(shè)f（x）是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)x1，3）時(shí)，f（x）=x2，則f（1）=f（1）=12=1故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的周期的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，值域函數(shù)的定義域是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力14（5分）從進(jìn)入決賽的6名選手中決出1名一等獎(jiǎng)，2名二等獎(jiǎng)，3名三等獎(jiǎng)，則可能的決賽結(jié)果共有60種（用數(shù)字作答）【分析】6名選手中決出1名一等獎(jiǎng)有種方法，2名二等獎(jiǎng)，種方法，利用分步計(jì)數(shù)原理即可得答案【解答】解：依題意，可分三步，第一步從6名選手中決出1名一等獎(jiǎng)有種方法，第二步，再?zèng)Q出2名二等獎(jiǎng)，有種方法，第三步，剩余三人為三等獎(jiǎng)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得：共有=60種方法故答案為：60【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，掌握分步計(jì)數(shù)原理是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題15（5分）若x、y滿足約束條件，則z=x+y的最小值為0【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=x+y對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=y=1時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z取得最小值，從而得到本題答案【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的ABC及其內(nèi)部，其中A（1，1），B（0，），C（0，4）設(shè)z=F（x，y）x+y，將直線l：z=x+y進(jìn)行平移，當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值z(mì)最小值=F（1，1）=1+1=0故答案為：0【點(diǎn)評(píng)】題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最小值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題16（5分）已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長等于球O的半徑，則球O的表面積等于16【分析】正確作出圖形，利用勾股定理，建立方程，即可求得結(jié)論【解答】解：如圖所示，設(shè)球O的半徑為r，AB是公共弦，OCK是面面角根據(jù)題意得OC=，CK=在OCK中，OC2=OK2+CK2，即r2=4球O的表面積等于4r2=16故答案為16【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（10分）等差數(shù)列an中，a7=4，a19=2a9，（）求an的通項(xiàng)公式； （）設(shè)bn=，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求a1，d，進(jìn)而可求an（II）由=，利用裂項(xiàng)求和即可求解【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列an的公差為da7=4，a19=2a9，解得，a1=1，d=（II）=sn=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，試題比較容易18（12分）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的內(nèi)角對(duì)邊分別為a，b，c，滿足（a+b+c）（ab+c）=ac（）求B（）若sinAsinC=，求C【分析】（I）已知等式左邊利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，整理后得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosB，將關(guān)系式代入求出cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；（II）由（I）得到A+C的度數(shù)，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)cos（AC），變形后將cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（AC）的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出AC的值，與A+C的值聯(lián)立即可求出C的度數(shù)【解答】解：（I）（a+b+c）（ab+c）=（a+c）2b2=ac，a2+c2b2=ac，cosB=，又B為三角形的內(nèi)角，則B=120；（II）由（I）得：A+C=60，sinAsinC=，cos（A+C）=，cos（AC）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosCsinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2=，AC=30或AC=30，則C=15或C=45【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵19（12分）如圖，四棱錐PABCD中，ABC=BAD=90，BC=2AD，PAB與PAD都是邊長為2的等邊三角形（）證明：PBCD；（）求點(diǎn)A到平面PCD的距離【分析】（I）取BC的中點(diǎn)E，連接DE，則ABED為正方形，過P作PO平面ABCD，垂足為O，連接OA，OB，OD，OE，證明PBOE，OECD，即可證明PBCD；（II）取PD的中點(diǎn)F，連接OF，證明O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離，即可求得點(diǎn)A到平面PCD的距離【解答】（I）證明：取BC的中點(diǎn)E，連接DE，則ABED為正方形，過P作PO平面ABCD，垂足為O，連接OA，OB，OD，OE由PAB和PAD都是等邊三角形知PA=PB=PDOA=OB=OD，即O為正方形ABED對(duì)角線的交點(diǎn)OEBD，PBOEO是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，OECDPBCD；（II）取PD的中點(diǎn)F，連接OF，則OFPB由（I）知PBCD，OFCD，=POD為等腰三角形，OFPDPDCD=D，OF平面PCDAECD，CD平面PCD，AE平面PCD，AE平面PCDO到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離OF=點(diǎn)A到平面PCD的距離為1【點(diǎn)評(píng)】本題考查線線垂直，考查點(diǎn)到面的距離的計(jì)算，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化的能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題20（12分）甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判（）求第4局甲當(dāng)裁判的概率；（）求前4局中乙恰好當(dāng)1次裁判概率【分析】（I）設(shè)A1表示事件“第二局結(jié)果為甲勝”，A2表示事件“第三局甲參加比賽結(jié)果為甲負(fù)”，A表示事件“第四局甲當(dāng)裁判”，可得A=A1A2利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出；（II）設(shè)B1表示事件“第一局比賽結(jié)果為乙勝”，B2表示事件“第二局乙參加比賽結(jié)果為乙勝”，B3表示事件“第三局乙參加比賽結(jié)果為乙勝”，B表示事件“前4局中乙恰好當(dāng)1次裁判”可得B=，利用互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出【解答】解：（I）設(shè)A1表示事件“第二局結(jié)果為甲勝”，A2表示事件“第三局甲參加比賽結(jié)果為甲負(fù)”，A表示事件“第四局甲當(dāng)裁判”則A=A1A2P（A）=P（A1A2）=（II）設(shè)B1表示事件“第一局比賽結(jié)果為乙勝”，B2表示事件“第二局乙參加比賽結(jié)果為乙勝”，B3表示事件“第三局乙參加比賽結(jié)果為乙勝”，B表示事件“前4局中乙恰好當(dāng)1次裁判”則B=，則P（B）=P（）=+=+=【點(diǎn)評(píng)】正確理解題意和熟練掌握相互獨(dú)立事件和互斥事件的概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵21（12分）已知函數(shù)f（x）=x3+3ax2+3x+1（）求a=時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（）若x2，+）時(shí)，f（x）0，求a的取值范圍【分析】（I）把a(bǔ)=代入可得函數(shù)f（x）的解析式，求導(dǎo)數(shù)令其為0可得x=，或x=，判斷函數(shù)在區(qū)間（，），（，），（，+）的正負(fù)可得單調(diào)性；（II）由f（2）0，可得a，當(dāng)a，x（2，+）時(shí)，由不等式的證明方法可得f（x）0，可得單調(diào)性，進(jìn)而可得當(dāng)x2，+）時(shí)，有f（x）f（2）0成立，進(jìn)而可得a的范圍【解答】解：（I）當(dāng)a=時(shí)，f（x）=x3+3x2+3x+1，f（x）=3x2+6x+3，令f（x）=0，可得x=，或x=，當(dāng)x（，）時(shí)，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x（，）時(shí)，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x（，+）時(shí)，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增；（II）由f（2）0，可解得a，當(dāng)a，x（2，+）時(shí)，f（x）=3（x2+2ax+1）3（）=3（x）（x2）0，所以函數(shù)f（x）在（2，+）單調(diào)遞增，于是當(dāng)x2，+）時(shí)，f（x）f（2）0，綜上可得，a的取值范圍是，+）【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，涉及函數(shù)的最值問題，屬中檔題22（12分）已知雙曲線C：=1（a0，b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為3，直線y=