江西省樟樹中學(xué)等九校2019屆高三數(shù)學(xué)聯(lián)合考試試題理（含解析）.docx

江西省樟樹中學(xué)等九校2019屆高三聯(lián)合考試數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題（本大題共12小題）1.已知集合，則( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解分式不等式求得集合A，求對(duì)數(shù)函數(shù)定義域求得集合B，由此求得兩個(gè)集合的交集【詳解】由解得，由解得，故，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分式不等式的解法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)定義域，考查集合的交集，屬于基礎(chǔ)題2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為A. 1B. C. iD. 【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求出其共軛復(fù)數(shù)，由此得到的虛部.【詳解】依題意，故，其虛部為，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.3.拋物線的焦點(diǎn)是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，則拋物線準(zhǔn)線方程是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得直線和坐標(biāo)軸的焦點(diǎn)，由此求得的值，并求得準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線開口向上或者向下，焦點(diǎn)在軸上，直線與軸交點(diǎn)為，故，即拋物線的方程為，故準(zhǔn)線方程為，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查已知拋物線的焦點(diǎn)求準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題.4.下列命題中正確的是（ ）A. 若為真命題，則為真命題B. “”是“”的充要條件C. 命題“，則或”的逆否命題為“若或，則”D. 命題：，使得，則：，使得【答案】B【解析】【分析】根據(jù)且、或命題真假性判斷A選項(xiàng)真假，根據(jù)充要條件知識(shí)判斷B選項(xiàng)真假，根據(jù)逆否命題的概念判斷C選項(xiàng)真假，根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題判斷D選項(xiàng)真假.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)真時(shí)，可能一真一假，故可能是假命題，故A選項(xiàng)為假命題.對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)基本不等式和充要條件的知識(shí)可知，B選項(xiàng)為真命題.對(duì)于C選項(xiàng)，原命題的逆否命題為“若且，則”，故C選項(xiàng)為假命題.對(duì)于D選項(xiàng)，原命題為特稱命題，其否定是全稱命題，要注意否定結(jié)論，即：，使得.綜上所述，本小題選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查還有簡(jiǎn)單邏輯連接詞真假性，考查充要條件，考查逆否命題，考查特稱命題的否定是全稱命題等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.5.等差數(shù)列前項(xiàng)和為，則（ ）A. 15B. 20C. 25D. 30【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得，利用前項(xiàng)和公式求得.【詳解】由于數(shù)列為等差數(shù)列，故，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題. 這個(gè)等差數(shù)列的性質(zhì)是：若，則，若，則.如果數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列的性質(zhì)為：若，則，若，則.所以解有關(guān)等差或者等比數(shù)列的題目時(shí)，先觀察一下題目所給條件中的下標(biāo)是否有關(guān)系.6.某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值是( )A. 2019B. 2018C. 2017D. 2016【答案】B【解析】【分析】運(yùn)行程序，找出規(guī)律，當(dāng)不滿足時(shí)，退出循化，輸出的值.【詳解】運(yùn)行程序，判斷是，判斷是，依次類推，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為，判斷否，輸出，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查程序框圖的運(yùn)算結(jié)果，考查合情推理，屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的正負(fù)，計(jì)算出的值，由此比較出三者的大小.【詳解】由于，故， ，故，而，故，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式比較大小，考查分段函數(shù)的概念與性質(zhì)，屬于中檔題.8.函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有點(diǎn)A. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【解析】【分析】由，可求得其周期T，繼而可求得，再利用函數(shù)的圖象變換及可求得答案【詳解】解：由圖知，；又，又，為了得到的圖象，則只要將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度故選：C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象變換，求得是關(guān)鍵，考查識(shí)圖與運(yùn)算能力，屬于中檔題9.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】畫出幾何體的直觀圖，利用底面的外心和高的一半求得球的半徑，由此求得球的表面積.【詳解】畫出幾何體的直觀圖如下圖所示，設(shè)球心為，底面等邊三角形的外心為，由三視圖可知，設(shè)球的半徑為，則，故球的表面積為，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖，考查幾何體外接球的有關(guān)計(jì)算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查空間想象能力，屬于中檔題.要找到幾何體外接球的球心，主要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)，利用球心到球面上的點(diǎn)的距離相等，通過(guò)解直角三角形來(lái)求解出半徑，從而求得球的表面積或者體積.10.已知雙曲線，過(guò)原點(diǎn)作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P，Q兩點(diǎn)，以線段PQ為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)F，則雙曲線離心率為A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，求得兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)后求得離心率.【詳解】設(shè)，依題意直線的方程為，代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)得，故 ，設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由于以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，即，即，即，兩邊除以得，解得.故，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和雙曲線的交點(diǎn)，考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.11.已知三棱錐的6條棱代表6種不同的化工產(chǎn)品，有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是安全的，沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危險(xiǎn)的現(xiàn)用編號(hào)為1，2，3的三個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這6種化工產(chǎn)品，每個(gè)倉(cāng)庫(kù)放2種，那么安全存放的不同方法種數(shù)為A. 12B. 24C. 36D. 48【答案】D【解析】【分析】先將種產(chǎn)品分成三組，然后存放在三個(gè)倉(cāng)庫(kù)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理求得安全存放的方法種數(shù).【詳解】設(shè)種產(chǎn)品分別為，畫出圖像如下圖所示，根據(jù)題意，安全的分組方法有，共種，每一種分組方法安排到個(gè)倉(cāng)庫(kù)，有種方法，故總的方法種數(shù)有種，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡(jiǎn)單的排列組合問(wèn)題，考查分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.12.設(shè)為不超過(guò)x的最大整數(shù)，為可能取到所有值的個(gè)數(shù)，是數(shù)列前n項(xiàng)的和，則下列結(jié)論正確個(gè)數(shù)的有（1）（2）是數(shù)列中的項(xiàng) （3）（4）當(dāng)時(shí)，取最小值A(chǔ). 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4【答案】C【解析】【分析】先求得的結(jié)果，歸納推理得到個(gè)數(shù)的表達(dá)，即的值，由此對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一分析，從而得出正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，故.當(dāng)時(shí)，故.當(dāng)時(shí)，故，共有個(gè)數(shù)，即，故（1）結(jié)論正確.以此類推，當(dāng)，時(shí)，故可以取的個(gè)數(shù)為，即，當(dāng)時(shí)上式也符合，所以；令，得，沒(méi)有整數(shù)解，故（2）錯(cuò)誤. ，所以，故，所以（3）判斷正確.，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)取得最小值，故（4）正確.綜上所述，正確的有三個(gè)，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查取整函數(shù)的理解，考查分析和推理的能力，考查裂項(xiàng)求和法，考查數(shù)列最小值的求法，綜合性很強(qiáng)，屬于難題.當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)公式是兩個(gè)等差數(shù)列相乘的倒數(shù)時(shí)，求前項(xiàng)和的方法是裂項(xiàng)相消求和法.基本不等式等號(hào)不成立時(shí)，可在附近的整數(shù)點(diǎn)來(lái)求取本題（4）所要求的最小值.二、填空題（本大題共4小題）13.設(shè)向量，滿足，且，則向量在向量方向上的投影為_【答案】-1【解析】【分析】利用，得到，由此計(jì)算出，進(jìn)而求得向量在向量方向上的投影.【詳解】由于，所以，即，所以向量在向量方向上的投影為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量投影的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14.已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為_【答案】12【解析】【分析】畫出可行域，由此判斷出目標(biāo)函數(shù)在在點(diǎn)處取得最大值，并求得最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性規(guī)劃可行域的畫法，考查非線性目標(biāo)函數(shù)的最大值，屬于基礎(chǔ)題.15.已知的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為-14，則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)乘法分配律求得系數(shù)的表達(dá)式，由此求得的值，利用幾何意義計(jì)算出定積分.【詳解】根據(jù)乘法分配律得 ，.，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓的上半部分.當(dāng)時(shí)，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，考查利用幾何意義計(jì)算定積分，屬于中檔題.16.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，設(shè)以上、下底面各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的正四棱柱為，以左、右側(cè)面各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的正四棱柱為，則正方體體對(duì)角線在，公共部分的長(zhǎng)度為_【答案】【解析】【分析】畫出圖像，根據(jù)正四棱柱的對(duì)稱性可知在，公共部分的長(zhǎng)度，也即是在內(nèi)的長(zhǎng)度，根據(jù)比例計(jì)算出在，公共部分的長(zhǎng)度.【詳解】畫出圖像如下圖所示，根據(jù)正四棱柱的對(duì)稱性可知在，公共部分的長(zhǎng)度，也即是在內(nèi)的長(zhǎng)度，設(shè)在，公共部分的長(zhǎng)度為，由平行線分線段成比例和正方形的對(duì)稱性得，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正方體的幾何性質(zhì)，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于難題.三、解答題（本大題共7小題）17.已知銳角面積為，所對(duì)邊分別是，平分線相交于點(diǎn)，且.求：（1）的大?。唬?）周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1） ；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的面積公式和余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得的值進(jìn)而求得的大小.（2）設(shè)周長(zhǎng)為，利用正弦定理求出的長(zhǎng)，由此求得周長(zhǎng)的表達(dá)式，利用輔助角公式化簡(jiǎn)后，根據(jù)三角函數(shù)求最值的方法求得周長(zhǎng)的最大值.【詳解】（1），故：.（2）設(shè)周長(zhǎng)為，則，、分別是、的平分線，.由正弦定理得，.，當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)的最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理的應(yīng)用，考查余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，考查三角恒等變換，屬于中檔題.18.某商場(chǎng)營(yíng)銷人員進(jìn)行某商品M市場(chǎng)營(yíng)銷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每回饋消費(fèi)者一定的點(diǎn)數(shù)，該商品每天的銷量就會(huì)發(fā)生一定的變化，經(jīng)過(guò)試點(diǎn)統(tǒng)計(jì)得到以如表：反饋點(diǎn)數(shù)t12345銷量百件天1經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撋唐蜂N量千件與返還點(diǎn)數(shù)t之間的相關(guān)關(guān)系請(qǐng)用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)若返回6個(gè)點(diǎn)時(shí)該商品每天銷量；若節(jié)日期間營(yíng)銷部對(duì)商品進(jìn)行新一輪調(diào)整已知某地?cái)M購(gòu)買該商品的消費(fèi)群體十分龐大，經(jīng)營(yíng)銷調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)其中的200名消費(fèi)者的返點(diǎn)數(shù)額的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：返還點(diǎn)數(shù)預(yù)期值區(qū)間百分比頻數(shù)206060302010求這200位擬購(gòu)買該商品的消費(fèi)者對(duì)返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值X的樣本平均數(shù)及中位數(shù)的估計(jì)值同一區(qū)間的預(yù)期值可用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替；估計(jì)值精確到；將對(duì)返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值在和的消費(fèi)者分別定義為“欲望緊縮型”消費(fèi)者和“欲望膨脹型”消費(fèi)者，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個(gè)區(qū)間的30名消費(fèi)者中隨機(jī)抽取6名，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3名進(jìn)行跟蹤調(diào)查，設(shè)抽出的3人中“欲望膨脹型”消費(fèi)者的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望參考公式及數(shù)據(jù)：，；【答案】(1)，2百件(2)(i) 平均值6,中位數(shù) (ii)見解析【解析】【分析】利用已知條件，求出線性回歸的對(duì)稱中心的坐標(biāo)，然后求解回歸直線方程，通過(guò)返回6個(gè)點(diǎn)時(shí)求解該商品每天銷量；根據(jù)題意，這200位擬購(gòu)買該商品的消費(fèi)者對(duì)返回點(diǎn)數(shù)的心里預(yù)期值X的平均值，然后求解中位數(shù)的估計(jì)值即可 抽取“欲望膨脹型”消費(fèi)者人數(shù)為，求出X的可能值，然后求解概率，即可求解期望【詳解】解：易知，則y關(guān)于t的線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，即返回6個(gè)點(diǎn)時(shí)該商品每天銷量約為2百件根據(jù)題意，這200位擬購(gòu)買該商品的消費(fèi)者對(duì)返回點(diǎn)數(shù)的心里預(yù)期值X的平均值，及中位數(shù)的估計(jì)值分別為：，中位數(shù)的估計(jì)值為抽取6名消費(fèi)者中“欲望緊縮型”消費(fèi)者人數(shù)為，“欲望膨脹型”消費(fèi)者人數(shù)為，故隨機(jī)變量X的分布列為X012P【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力19.已知斜三棱柱的側(cè)面與底面ABC垂直，側(cè)棱與底面所在平面成角，求證：平面平面；求二面角的余弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，由此證得，結(jié)合證得平面，由此證得平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算平面和平面的法向量，來(lái)計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】（1）平面平面且平面平面，且，平面，又，平面， 平面，平面平面.（2）已知斜三棱柱的側(cè)面與底面垂直，側(cè)棱與底面所在平面成，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，設(shè)平面，平面的法向量分別為，得，得，設(shè)二面角的大小為，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查利用空間向量法計(jì)算二面角的余弦值，屬于中檔題.20.已知橢圓：，離心率，是橢圓的左頂點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，直線：.（1）求橢圓方程；（2）直線過(guò)點(diǎn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線、分別與直線交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)：以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，如果是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）以為直徑的圓能過(guò)兩定點(diǎn)、【解析】【分析】（1）根據(jù)以及，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線的方程求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得以為直徑的圓的方程.聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，利用韋達(dá)定理寫出兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，代入圓的方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此求得圓和軸交點(diǎn)的坐標(biāo).當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求得為直徑的圓的方程，由此求得該圓也過(guò)直線斜率存在時(shí)的兩個(gè)點(diǎn).由此判斷出圓過(guò)定點(diǎn)，并得到定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1），得，所求橢圓方程：.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，、，直線：，令，得，同理，以為直徑的圓：，整理得： ，得， 將代入整理得：，令，得或.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，、，以為直徑的圓：也過(guò)點(diǎn)、兩點(diǎn)，綜上：以為直徑的圓能過(guò)兩定點(diǎn)、.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓交點(diǎn)的求法，考查已知圓直徑端點(diǎn)的坐標(biāo)求圓的方程的方法，綜合性較強(qiáng)，需要一定的運(yùn)算求解能力.直線和圓錐曲線聯(lián)立方程，消元后得到的一元二次方程往往含有參數(shù)，此時(shí)一般考慮用韋達(dá)定理表示兩根之間的關(guān)系.21.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程，并求函數(shù)的最大值；（2）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，且，求證：.【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得斜率和切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程.根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此求得函數(shù)的最大值.（2）將兩個(gè)零點(diǎn)代入函數(shù)的解析式，將得到兩個(gè)方程相減，化簡(jiǎn)為的表達(dá)式，通過(guò)令，將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，由此證得原不等式成立.【詳解】（1）解：當(dāng)，時(shí)，則，切點(diǎn)為，故函數(shù)在處的切線方程為.令，則在是減函數(shù)，又，在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，.（2）證明：，是的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，相減得： ， ，令，即證，令，在上是增