協(xié)整與誤差修正模型

9 3協(xié)整與誤差修正模型 一 長期均衡關(guān)系與協(xié)整二 協(xié)整檢驗三 誤差修正模型 一 長期均衡關(guān)系與協(xié)整 0 問題的提出 經(jīng)典回歸模型 classicalregressionmodel 是建立在穩(wěn)定數(shù)據(jù)變量基礎(chǔ)上的 對于非穩(wěn)定變量 不能使用經(jīng)典回歸模型 否則會出現(xiàn)虛假回歸等諸多問題 由于許多經(jīng)濟變量是非穩(wěn)定的 這就給經(jīng)典的回歸分析方法帶來了很大限制 但是 如果變量之間有著長期的穩(wěn)定關(guān)系 即它們之間是協(xié)整的 cointegration 則是可以使用經(jīng)典回歸模型方法建立回歸模型的 例如 中國居民人均消費水平與人均GDP變量的例子中 因果關(guān)系回歸模型要比ARMA模型有更好的預(yù)測功能 其原因在于 從經(jīng)濟理論上說 人均GDP決定著居民人均消費水平 而且它們之間有著長期的穩(wěn)定關(guān)系 即它們之間是協(xié)整的 cointegration 經(jīng)濟理論指出 某些經(jīng)濟變量間確實存在著長期均衡關(guān)系 這種均衡關(guān)系意味著經(jīng)濟系統(tǒng)不存在破壞均衡的內(nèi)在機制 如果變量在某時期受到干擾后偏離其長期均衡點 則均衡機制將會在下一期進行調(diào)整以使其重新回到均衡狀態(tài) 假設(shè)X與Y間的長期 均衡關(guān)系 由式描述 1 長期均衡 式中 t是隨機擾動項 該均衡關(guān)系意味著 給定X的一個值 Y相應(yīng)的均衡值也隨之確定為 0 1X 在t 1期末 存在下述三種情形之一 1 Y等于它的均衡值 Yt 1 0 1Xt 2 Y小于它的均衡值 Yt 1 0 1Xt 在時期t 假設(shè)X有一個變化量 Xt 如果變量X與Y在時期t與t 1末期仍滿足它們間的長期均衡關(guān)系 則Y的相應(yīng)變化量由式給出 式中 vt t t 1 實際情況往往并非如此 如果t 1期末 發(fā)生了上述第二種情況 即Y的值小于其均衡值 則Y的變化往往會比第一種情形下Y的變化 Yt大一些 反之 如果Y的值大于其均衡值 則Y的變化往往會小于第一種情形下的 Yt 可見 如果Yt 0 1Xt t正確地提示了X與Y間的長期穩(wěn)定的 均衡關(guān)系 則意味著Y對其均衡點的偏離從本質(zhì)上說是 臨時性 的 因此 一個重要的假設(shè)就是 隨機擾動項 t必須是平穩(wěn)序列 顯然 如果 t有隨機性趨勢 上升或下降 則會導(dǎo)致Y對其均衡點的任何偏離都會被長期累積下來而不能被消除 式Y(jié)t 0 1Xt t中的隨機擾動項也被稱為非均衡誤差 disequilibriumerror 它是變量X與Y的一個線性組合 因此 如果Yt 0 1Xt t式所示的X與Y間的長期均衡關(guān)系正確的話 式表述的非均衡誤差應(yīng)是一平穩(wěn)時間序列 并且具有零期望值 即是具有0均值的I 0 序列 從這里已看到 非穩(wěn)定的時間序列 它們的線性組合也可能成為平穩(wěn)的 例如 假設(shè)Yt 0 1Xt t式中的X與Y是I 1 序列 如果該式所表述的它們間的長期均衡關(guān)系成立的話 則意味著由非均衡誤差 式給出的線性組合是I 0 序列 這時我們稱變量X與Y是協(xié)整的 cointegrated 如果序列 X1t X2t Xkt 都是d階單整 存在向量 1 2 k 使得Zt XT I d b 其中 b 0 X X1t X2t Xkt T 則認(rèn)為序列 X1t X2t Xkt 是 d b 階協(xié)整 記為Xt CI d b 為協(xié)整向量 cointegratedvector 協(xié)整 在中國居民人均消費與人均GDP的例中 該兩序列都是2階單整序列 而且可以證明它們有一個線性組合構(gòu)成的新序列為0階單整序列 于是認(rèn)為該兩序列是 2 2 階協(xié)整 由此可見 如果兩個變量都是單整變量 只有當(dāng)它們的單整階數(shù)相同時 才可能協(xié)整 如果它們的單整階數(shù)不相同 就不可能協(xié)整 三個以上的變量 如果具有不同的單整階數(shù) 有可能經(jīng)過線性組合構(gòu)成低階單整變量 例如 如果存在 并且 那么認(rèn)為 d d 階協(xié)整是一類非常重要的協(xié)整關(guān)系 它的經(jīng)濟意義在于 兩個變量 雖然它們具有各自的長期波動規(guī)律 但是如果它們是 d d 階協(xié)整的 則它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關(guān)系 例如 前面提到的中國CPC和GDPPC 它們各自都是2階單整 并且將會看到 它們是 2 2 階協(xié)整 說明它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關(guān)系 從計量經(jīng)濟學(xué)模型的意義上講 建立如下居民人均消費函數(shù)模型 從協(xié)整的定義可以看出 變量選擇是合理的 隨機誤差項一定是 白噪聲 即均值為0 方差不變的穩(wěn)定隨機序列 模型參數(shù)有合理的經(jīng)濟解釋 這也解釋了盡管這兩時間序列是非穩(wěn)定的 但卻可以用經(jīng)典的回歸分析方法建立回歸模型的原因 從這里 我們已經(jīng)初步認(rèn)識到 檢驗變量之間的協(xié)整關(guān)系 在建立計量經(jīng)濟學(xué)模型中是非常重要的 而且 從變量之間是否具有協(xié)整關(guān)系出發(fā)選擇模型的變量 其數(shù)據(jù)基礎(chǔ)是牢固的 其統(tǒng)計性質(zhì)是優(yōu)良的 二 協(xié)整檢驗 1 兩變量的Engle Granger檢驗 為了檢驗兩變量Yt Xt是否為協(xié)整 Engle和Granger于1987年提出兩步檢驗法 也稱為EG檢驗 第一步 用OLS方法估計方程Yt 0 1Xt t并計算非均衡誤差 得到 稱為協(xié)整回歸 cointegrating 或靜態(tài)回歸 staticregression 的單整性的檢驗方法仍然是DF檢驗或者ADF檢驗 由于協(xié)整回歸中已含有截距項 則檢驗?zāi)Ｐ椭袩o需再用截距項 如使用模型1 進行檢驗時 拒絕零假設(shè)H0 0 意味著誤差項et是平穩(wěn)序列 從而說明X與Y間是協(xié)整的 需要注意是 這里的DF或ADF檢驗是針對協(xié)整回歸計算出的誤差項 而非真正的非均衡誤差 t進行的 而OLS法采用了殘差最小平方和原理 因此估計量 是向下偏倚的 這樣將導(dǎo)致拒絕零假設(shè)的機會比實際情形大 于是對et平穩(wěn)性檢驗的DF與ADF臨界值應(yīng)該比正常的DF與ADF臨界值還要小 MacKinnon 1991 通過模擬試驗給出了協(xié)整檢驗的臨界值 表9 3 1是雙變量情形下不同樣本容量的臨界值 例9 3 1檢驗中國居民人均消費水平CPC與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC的協(xié)整關(guān)系 在前文已知CPC與GDPPC都是I 2 序列 而 2 10中已給出了它們的回歸式 R2 0 9981 通過對該式計算的殘差序列作ADF檢驗 得適當(dāng)檢驗?zāi)Ｐ?4 47 3 93 3 05 LM 1 0 00LM 2 0 00 t 4 47 3 75 ADF0 05 拒絕存在單位根的假設(shè) 殘差項是穩(wěn)定的 因此中國居民人均消費水平與人均GDP是 2 2 階協(xié)整的 說明了該兩變量間存在長期穩(wěn)定的 均衡 關(guān)系 2 多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗 擴展的E G檢驗 多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗要比雙變量復(fù)雜一些 主要在于協(xié)整變量間可能存在多種穩(wěn)定的線性組合 假設(shè)有4個I 1 變量Z X Y W 它們有如下的長期均衡關(guān)系 其中 非均衡誤差項 t應(yīng)是I 0 序列 然而 如果Z與W X與Y間分別存在長期均衡關(guān)系 則非均衡誤差項v1t v2t一定是穩(wěn)定序列I 0 于是它們的任意線性組合也是穩(wěn)定的 例如 由于vt象 式中的 t一樣 也是Z X Y W四個變量的線性組合 由此 式也成為該四變量的另一穩(wěn)定線性組合 1 0 1 2 3 是對應(yīng)于 式的協(xié)整向量 1 0 0 1 1 1 是對應(yīng)于 式的協(xié)整向量 一定是I 0 序列 對于多變量的協(xié)整檢驗過程 基本與雙變量情形相同 即需檢驗變量是否具有同階單整性 以及是否存在穩(wěn)定的線性組合 在檢驗是否存在穩(wěn)定的線性組合時 需通過設(shè)置一個變量為被解釋變量 其他變量為解釋變量 進行OLS估計并檢驗殘差序列是否平穩(wěn) 如果不平穩(wěn) 則需更換被解釋變量 進行同樣的OLS估計及相應(yīng)的殘差項檢驗 當(dāng)所有的變量都被作為被解釋變量檢驗之后 仍不能得到平穩(wěn)的殘差項序列 則認(rèn)為這些變量間不存在 d d 階協(xié)整 檢驗程序 同樣地 檢驗殘差項是否平穩(wěn)的DF與ADF檢驗臨界值要比通常的DF與ADF檢驗臨界值小 而且該臨界值還受到所檢驗的變量個數(shù)的影響 表9 3 2給出了MacKinnon 1991 通過模擬試驗得到的不同變量協(xié)整檢驗的臨界值 2 多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗 JJ檢驗 Johansen于1988年 以及與Juselius于1990年提出了一種用極大或然法進行檢驗的方法 通常稱為JJ檢驗 高等計量經(jīng)濟學(xué) 清華大學(xué)出版社 2000年9月 P279 282 E views中有JJ檢驗的功能 三 誤差修正模型 前文已經(jīng)提到 對于非穩(wěn)定時間序列 可通過差分的方法將其化為穩(wěn)定序列 然后才可建立經(jīng)典的回歸分析模型 如 建立人均消費水平 Y 與人均可支配收入 X 之間的回歸模型 1 誤差修正模型 式中 vt t t 1 差分 X Y成為平穩(wěn)序列 建立差分回歸模型 如果Y與X具有共同的向上或向下的變化趨勢 1 如果X與Y間存在著長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系Yt 0 1Xt t且誤差項 t不存在序列相關(guān) 則差分式 Yt 1 Xt t中的 t是一個一階移動平均時間序列 因而是序列相關(guān)的 然而 這種做法會引起兩個問題 2 如果采用差分形式進行估計 則關(guān)于變量水平值的重要信息將被忽略 這時模型只表達了X與Y間的短期關(guān)系 而沒有揭示它們間的長期關(guān)系 因為 從長期均衡的觀點看 Y在第t期的變化不僅取決于X本身的變化 還取決于X與Y在t 1期末的狀態(tài) 尤其是X與Y在t 1期的不平衡程度 另外 使用差分變量也往往會得出不能令人滿意回歸方程 例如 使用 Yt 1 Xt t回歸時 很少出現(xiàn)截距項顯著為零的情況 即我們常常會得到如下形式的方程 在X保持不變時 如果模型存在靜態(tài)均衡 staticequilibrium Y也會保持它的長期均衡值不變 但如果使用 式 即使X保持不變 Y也會處于長期上升或下降的過程中 Why 這意味著X與Y間不存在靜態(tài)均衡 這與大多數(shù)具有靜態(tài)均衡的經(jīng)濟理論假說不相符 可見 簡單差分不一定能解決非平穩(wěn)時間序列所遇到的全部問題 因此 誤差修正模型便應(yīng)運而生 誤差修正模型 ErrorCorrectionModel 簡記為ECM 是一種具有特定形式的計量經(jīng)濟學(xué)模型 它的主要形式是由Davidson Hendry Srba和Yeo于1978年提出的 稱為DHSY模型 為了便于理解 我們通過一個具體的模型來介紹它的結(jié)構(gòu) 假設(shè)兩變量X與Y的長期均衡關(guān)系為 Yt 0 1Xt t由于現(xiàn)實經(jīng)濟中X與Y很少處在均衡點上 因此實際觀測到的只是X與Y間的短期的或非均衡的關(guān)系 假設(shè)具有如下 1 1 階分布滯后形式 該模型顯示出第t期的Y值 不僅與X的變化有關(guān) 而且與t 1期X與Y的狀態(tài)值有關(guān) 由于變量可能是非平穩(wěn)的 因此不能直接運用OLS法 對上述分布滯后模型適當(dāng)變形得 或 式中 如果將 中的參數(shù) 與Yt 0 1Xt t中的相應(yīng)參數(shù)視為相等 則 式中括號內(nèi)的項就是t 1期的非均衡誤差項 式表明 Y的變化決定于X的變化以及前一時期的非均衡程度 同時 式也彌補了簡單差分模型 Yt 1 Xt t的不足 因為該式含有用X Y水平值表示的前期非均衡程度 因此 Y的值已對前期的非均衡程度作出了修正 稱為一階誤差修正模型 first ordererrorcorrectionmodel 式可以寫成 知 一般情況下 1 由關(guān)系式 1 得0 1 可以據(jù)此分析ecm的修正作用 其中 ecm表示誤差修正項 由分布滯后模型 1 若 t 1 時刻Y大于其長期均衡解 0 1X ecm為正 則 ecm 為負(fù) 使得 Yt減少 2 若 t 1 時刻Y小于其長期均衡解 0 1X ecm為負(fù) 則 ecm 為正 使得 Yt增大 體現(xiàn)了長期非均衡誤差對的控制 其主要原因在于變量對數(shù)的差分近似地等于該變量的變化率 而經(jīng)濟變量的變化率常常是穩(wěn)定序列 因此適合于包含在經(jīng)典回歸方程中 需要注意的是 在實際分析中 變量常以對數(shù)的形式出現(xiàn) 于是 1 長期均衡模型Yt 0 1Xt t中的 1可視為Y關(guān)于X的長期彈性 long runelasticity 2 短期非均衡模型Yt 0 1Xt 2Xt 1 Yt 1 t中的 1可視為Y關(guān)于X的短期彈性 short runelasticity 如具有季度數(shù)據(jù)的變量 可在短期非均衡模型Yt 0 1Xt 2Xt 1 Yt 1 t中引入更多的滯后項 更復(fù)雜的誤差修正模型可依照一階誤差修正模型類似地建立 引入二階滯后的模型為 經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮獾茸冃?可得如下二階誤差修正模型 引入三階滯后項的誤差修正模型與 式相仿 只不過模型中多出差分滯后項 Yt 2 Xt 2 多變量的誤差修正模型也可類似地建立 如三個變量如果存在如下長期均衡關(guān)系 則其一階非均衡關(guān)系可寫成 于是它的一個誤差修正模型為 1 Granger表述定理誤差修正模型有許多明顯的優(yōu)點 如a 一階差分項的使用消除了變量可能存在的趨勢因素 從而避免了虛假回歸問題 b 一階差分項的使用也消除模型可能存在的多重共線性問題 c 誤差修正項的引入保證了變量水平值的信息沒有被忽視 d 由于誤差修正項本身的平穩(wěn)性 使得該模型可以用經(jīng)典的回歸方法進行估計 尤其是模型中差分項可以使用通常的t檢驗與F檢驗來進行選取 等等 因此 一個重要的問題就是 是否變量間的關(guān)系都可以通過誤差修正模型來表述 2 誤差修正模型的建立 如果變量X與Y是協(xié)整的 則它們間的短期非均衡關(guān)系總能由一個誤差修正模型表述 0 1 式中 t 1是非均衡誤差項或者說成是長期均衡偏差項 是短期調(diào)整參數(shù) 就此問題 Engle與Granger1987年提出了著名的Grange表述定理 Grangerrepresentaiontheorem 對于 1 1 階自回歸分布滯后模型Yt 0 1Xt 2Xt 1 Yt 1 t 如果Yt I 1 Xt I 1 那么 的左邊 Yt I 0 右邊的 Xt I 0 因此 只有Y與X協(xié)整 才能保證右邊也是I 0 首先對變量進行協(xié)整分析 以發(fā)現(xiàn)變量之間的協(xié)整關(guān)系 即長期均衡關(guān)系 并以這種關(guān)系構(gòu)成誤差修正項 然后建立短期模型 將誤差修正項看作一個解釋變量 連同其它反映短期波動的解釋變量一起 建立短期模型 即誤差修正模型 注意 由于 Y lagged Y X t 1 t0 1中沒有明確指出Y與X的滯后項數(shù) 因此 可以是多個 同時 由于一階差分項是I 0 變量 因此模型中也允許使用X的非滯后差分項 Xt Granger表述定理可類似地推廣到多個變量的情形中去 因此 建立誤差修正模型 需要 由協(xié)整與誤差修正模型的的關(guān)系 可以得到誤差修正模型建立的E G兩步法 第一步 進行協(xié)整回歸 OLS法 檢驗變量間的協(xié)整關(guān)系 估計協(xié)整向量 長期均衡關(guān)系參數(shù) 第二步 若協(xié)整性存在 則以第一步求到的殘差作為非均衡誤差項加入到誤差修正模型中 并用OLS法估計相應(yīng)參數(shù) 需要注意的是 在進行變量間的協(xié)整檢驗時 如有必要可在協(xié)整回歸式中加入趨勢項 這時 對殘差項的穩(wěn)定性檢驗就無須再設(shè)趨勢項 另外 第二步中變量差分滯后項的多少 可以殘差項序列是否存在自相關(guān)性來判斷 如果存在自相關(guān) 則應(yīng)加入變量差分的滯后項 2 Engle Granger兩步法 3 直接估計法 也可以采用打開誤差修整模型中非均衡誤差項括號的方法直接用OLS法估計模型 但仍需事先對變量間的協(xié)整關(guān)系進行檢驗 如對雙變量誤差修正模型 可打開非均衡誤差項的括號直接估計下式 這時短期彈性與長期彈性可一并獲得 需注意的是 用不同方法建立的誤差修正模型結(jié)果也往往不一樣 經(jīng)濟理論指出 居民消費支出是其實際收入的函數(shù) 以中國國民核算中的居民消費支出經(jīng)過居民消費價格指數(shù)縮減得到中國居民實際消費支出時間序列 C 以支出法GDP對居民消費價格指數(shù)縮減近似地代表國民收入時間序列 GDP 時間段為1978 2000 表9 3 3 例9 3 2中國居民消費的誤差修正模型 1 對數(shù)據(jù)lnC與lnGDP進行單整檢驗 容易驗證lnC與lnGDP是一階單整的 它們適合的檢驗?zāi)Ｐ腿缦?3 81 4 01 2 66 2 26 2 54 LM 1 0 38LM 2 0 67LM 3 2 34LM 4 2 46 首先 建立lnC與lnGDP的回歸模型 2 檢驗lnC與lnGDP的協(xié)整性 并建立長期均衡關(guān)系 0 30 57 48 R2 0 994DW 0 744 發(fā)現(xiàn)有殘關(guān)項有較強的一階自相關(guān)性 考慮加入適當(dāng)?shù)臏箜?得lnC與lnGDP的分布滯后模型 1 63 6 62 4 92 2 17 R2 0 994DW 1 92LM 1 0 00LM 2 2 31 自相關(guān)性消除 因此可初步認(rèn)為是lnC與lnGDP的長期穩(wěn)定關(guān)系 殘差項的穩(wěn)定性檢驗 4 32 R2 0 994DW 2 01LM 1 0 04LM 2 1 34 t 4 32 3 64 AD