初三相似三角形之一線三等角專題

相似三角形“一線三等角型”一、 知識梳理：一線三等角：兩個等角的一邊在同一直線上，另一邊在該直線的同側(cè)。若有第三個與之相等的角、其頂點在該直線上，角的兩邊（或兩邊所在直線）分別與兩等角的非共線邊（或該邊所在直線）相交，此時通過證明，一般都可以得到一組相似三角形，該組相似三角形習慣上被稱為“一線三等角型”相似三角形 （圖1） （圖2）（1）如圖1，已知三角形ABC中，AB=AC,ADE=B，那么一定存在的相似三角形有 ；（2）如圖2，已知三角形ABC中，AB=AC,DEF=B，那么一定存在的相似三角形有 .二、【例題解析】【例1】如圖，等邊ABC中，邊長為4，D是BC上動點，EDF=60，（1）求證：BDECFD； （2）當BD=1，F(xiàn)C=時，求BE.【變式1】在邊長為4的等邊中，D是BC的中點，點E、F分別在AB、AC上，且保持，連接EF.(1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值； (2) 求證：BED=DEF. 【變式2】在邊長為4的等邊中，若BD=1時，當DEF與AEF相似，求BE的值. 【變式3】如圖，已知邊長為3的等邊，點F在邊BC上，CF=1，點E是射線BA上一動點，以線段EF為邊向右側(cè)作等邊，直線EG，F(xiàn)G交直線AC于點M，N，（1）寫出圖中與相似的三角形；（2）證明其中一對三角形相似；（3）設BE=x，MN=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍. 【例2】在中，是AB上的一點，且，點P是AC上的一個動點，交線段BC于點Q（不與點B,C重合），已知AP=2，求CQ.【變式1】 如圖，在ABC中，是邊上的一個動點，點在邊上，且(1) 求證：ABDDCE；(2) 如果，求與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的定義域；(3) 當點是的中點時，試說明ADE是什么三角形，并說明理由 【變式2】在直角三角形ABC中，是AB邊上的一點，E是在AC邊上的一個動點（與A，C不重合），與射線BC相交于點F.(1) 如圖1，當點D是邊AB的中點時，求證：;(2) 如圖2，當，求的值. 【例3】已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2，P為AD上的一點，滿足BPCA 求證；ABPDPC； 求AP的長【變式1】如果點P在AD邊上移動（點P與點A、D不重合），且滿足BPEA，PE交直線BC于點E，同時交直線DC于點Q，那么當點Q在線段DC的延長線上時，設APx，CQy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當CE1時，寫出AP的長【變式2】在梯形中，點為邊的中點，以為頂點作，射線交腰于點，射線交腰于點，聯(lián)結(jié)（1）求證：；（2）若是以為腰的等腰三角形，求的長；（3）若，求的長 【作業(yè)】1、如圖，在中，是邊的中點，為邊上的一個動點，作，交射線于點設，的面積為（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）如果以、為頂點的三角形與相似，求的面積. 2、如圖，已知在ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一點，BD=2，E是BC 上一動點，連結(jié)DE，并作，射線EF交線段AC于F（1）求證：DBEECF； （2）當F是線段AC中點時，求線段BE的長；（3）聯(lián)結(jié)DF，如果DEF與DBE相似，求FC的長 3、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，點E是AB的中點 （1）如圖，P為BC上的一點，且BP=2求證：BEPCPD； （2）如果點P在BC邊上移動（點P與點B、C不重合），且滿足EPF=C，PF交直線