1.1直角三角形的性質(zhì)和判定（Ｉ）

1 1 1直角三角形的性質(zhì)與判定 1 八年級(jí)數(shù)學(xué)組 湘潭市益智中學(xué) 在一個(gè)直角三角形里住著三個(gè)內(nèi)角 平時(shí) 它們?nèi)值芊浅F(tuán)結(jié) 可是有一天 老二突然不高興 發(fā)起脾氣來(lái) 它指著老大說(shuō) 你憑什么度數(shù)最大 我也要和你一樣大 不行啊 老大說(shuō) 這是不可能的 否則 我們這個(gè)家就再也圍不起來(lái)了 為什么 老二很納悶 你知道其中的道理嗎 內(nèi)角三兄弟之爭(zhēng) 老大的度數(shù)為90 老二若是比老大的度數(shù)大 那么老二的度數(shù)要大于90 而三角形的內(nèi)角和為180 相互矛盾 因而是不可能的 在這個(gè)家里 我是永遠(yuǎn)的老大 情景引入 問(wèn)題1 如圖 在Rt ABC中 C 90 兩銳角的和等于多少呢 在Rt ABC中 因?yàn)?C 90 由三角形內(nèi)角和定理 得 A B C 90 即 A B 90 思考 由此 你可以得到直角三角形有什么性質(zhì)呢 知識(shí)精講 直角三角形的兩個(gè)銳角互余 幾何語(yǔ)言 在Rt ABC中 C 90 A B 90 直角三角形的表示 直角三角形可以用符號(hào) Rt 表示 直角三角形ABC可以寫(xiě)成Rt ABC 總結(jié)歸納 知識(shí)精講 方法一 利用平行的判定和性質(zhì) B C 90 AB CD A D 方法二 利用直角三角形的性質(zhì) B C 90 A AOB 90 D COD 90 AOB COD A D 例1 1 如圖 B C 90 AD交BC于點(diǎn)O A與 D有什么關(guān)系 圖 知識(shí)精講 解 A C 理由如下 B D 90 A AOB 90 C COD 90 AOB COD A C 2 如圖 B D 90 AD交BC于點(diǎn)O A與 C有什么關(guān)系 請(qǐng)說(shuō)明理由 圖 與圖 有哪些共同點(diǎn)與不同點(diǎn) 知識(shí)精講 例2如圖 C D 90 AD BC相交于點(diǎn)E CAE與 DBE有什么關(guān)系 為什么 解 在Rt ACE中 CAE 90 AEC 在Rt BDE中 DBE 90 BED AEC BED CAE DBE 知識(shí)精講 解 CD AB于點(diǎn)D BE AC于點(diǎn)E BEA BDF 90 ABE A 90 ABE DFB 90 A DFB DFB BFC 180 A BFC 180 變式題 如圖 ABC中 CD AB于D BE AC于E CD BE相交于點(diǎn)F A與 BFC又有什么關(guān)系 為什么 知識(shí)精講 問(wèn)題 有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形嗎 如圖 在 ABC中 A B 90 那么 ABC是直角三角形嗎 在 ABC中 因?yàn)?A B C 180 又 A B 90 所以 C 90 于是 ABC是直角三角形 知識(shí)精講 A B C 幾何語(yǔ)言 在 ABC中 A B 90 ABC是直角三角形 有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形 總結(jié)歸納 知識(shí)精講 例3如圖 C 90 1 2 ADE是直角三角形嗎 為什么 解 在Rt ABC中 2 A 90 1 2 1 A 90 即 ADE是直角三角形 知識(shí)精講 例4如圖 CE AD 垂足為E A C ABD是直角三角形嗎 為什么 解 ABD是直角三角形 理由如下 CE AD CED 90 C D 90 A C A D 90 ABD是直角三角形 知識(shí)精講 問(wèn)題 如圖 畫(huà)一個(gè)Rt ABC 并作出斜邊AB上的中線(xiàn)CD 比較線(xiàn)段CD與線(xiàn)段AB之間的數(shù)量關(guān)系 你能得出什么結(jié)論 猜想 直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半 試給出數(shù)學(xué)證明 知識(shí)精講 證一證 知識(shí)精講 點(diǎn)D 是斜邊上的中點(diǎn) 即CD 是斜邊AB的中線(xiàn) 故得 從而CD與CD 重合 且 直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半 知識(shí)精講 例5已知 如圖 CD是 ABC的AB邊上的中線(xiàn) 且 求證 ABC是直角三角形 證明 1 A 2 B A B ACB 180 即 A B 1 2 180 2 A B 180 A B 90 ABC是直角三角形 知識(shí)精講 例6如圖 在 ABC中 AD是高 E F分別是AB AC的中點(diǎn) 1 若AB 10 AC 8 求四邊形AEDF的周長(zhǎng) 解 AD是 ABC的高 E F分別是AB AC的中點(diǎn) DE AE AB 10 5 DF AF AC 8 4 四邊形AEDF的周長(zhǎng) AE DE DF AF 5 5 4 4 18 知識(shí)精講 2 求證 EF垂直平分AD 證明 DE AE DF AF E F在線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)上 EF垂直平分AD 當(dāng)已知條件含有線(xiàn)段的中點(diǎn) 直角三角形的條件時(shí) 可聯(lián)想直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行求解 如圖 在 ABC中 ABC 90 BD是斜邊AC上的中線(xiàn) 1 若BD 3cm 則AC cm 2 若 C 30 AB 5cm 則AC cm BD cm 6 10 5 鞏固提高 直角三角形的性質(zhì)與判定 性質(zhì) 直角三角形的兩個(gè)銳角互余 判定 有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形 直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半 課堂小結(jié) 如圖 已知BD CE是 ABC不同邊上的高 點(diǎn)G F分別是BC DE的中點(diǎn) 試說(shuō)明GF DE 解 連接EG DG BD CE是 ABC的高 BDC BEC 90 點(diǎn)G是BC的中點(diǎn) EG BC DG BC EG DG 又 點(diǎn)F是DE的中點(diǎn) G