第3章 靜定梁和靜定剛架受力分析

AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 第3章靜定梁和靜定剛架的受力分析 本章教學(xué)的基本要求 靈活運(yùn)用隔離體平衡法 截面法 計(jì)算指定截面的內(nèi)力 熟練掌握靜定梁和靜定平面剛架內(nèi)力圖的作法 了解空間剛架內(nèi)力圖繪制的方法 本章教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn) 繪制靜定梁和靜定平面剛架的內(nèi)力圖 這是本課程最重要的基本功之一 本章教學(xué)內(nèi)容的難點(diǎn) 用隔離體平衡法計(jì)算任一指定截面的內(nèi)力 用區(qū)段疊加法繪彎矩圖 根據(jù)彎矩圖和所受荷載繪出剪力圖和軸力圖 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 本章內(nèi)容簡介 3 1單跨靜定梁 3 2多跨靜定梁 3 3靜定平面剛架 3 4 靜定空間剛架 第3章靜定梁和靜定剛架的受力分析 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 1單跨靜定梁 單跨靜定梁的內(nèi)力分析和內(nèi)力圖的繪制 是多跨梁和剛架受力分析的基礎(chǔ) 是本課程最重要的基本功之一 常見的單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 1 1用隔離體平衡法計(jì)算指定截面內(nèi)力 計(jì)算指定截面內(nèi)力的基本方法是隔離體平衡法 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 切 取 力 平 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 第一 切 設(shè)想將桿件沿指定截面切開 第二 取 取截面任一側(cè)部分為隔離體 第三 力 這是該方法最關(guān)鍵的一步 一是勿忘在隔離體上保留原有的全部外力 包括支反力 二是必須在切割面上添加要求的未知內(nèi)力 所求的軸力和剪力 按正方向添加 軸力以拉力為正 剪力以繞隔離體順時針方向轉(zhuǎn)動者為正 而所求的彎矩 其方向可任意假設(shè) 只需注意在計(jì)算后判斷其實(shí)際方向 并在繪彎矩圖時 繪在桿件受拉一側(cè) 第四 平 利用隔離體平衡條件 直接計(jì)算截面的內(nèi)力 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 1 任意截面的軸力等于該截面一側(cè)所有外力沿桿軸切線方向的投影代數(shù)和 2 任意截面的剪力等于該截面一側(cè)所有外力沿桿軸法線方向的投影代數(shù)和 3 任意截面的彎矩等于該截面一側(cè)所有外力對某點(diǎn) 例如該截面形心 的力矩代數(shù)和 注意 如果截面內(nèi)力計(jì)算結(jié)果為正 或負(fù) 則表示該指定截面內(nèi)力的實(shí)際方向與所假設(shè)的方向相同 或相反 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 1 2內(nèi)力圖的特征 1 荷載與內(nèi)力之間的微分關(guān)系 以上微分關(guān)系的幾何意義是 剪力圖在某點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)的荷載集度 但兩者的正負(fù)號相反 彎矩在某點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)的剪力 彎矩在某點(diǎn)的曲率與該點(diǎn)的荷載集度成正比 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 2 內(nèi)力圖的特征 1 在均布荷載區(qū)段 q 常數(shù) FQ是x的一次式 FQ圖是斜直線 M是x的二次式 M圖是二次拋物線 且其突出方向與荷載指向相同 2 無荷載區(qū)段 q 0 1 一般情況下 CD段 M圖為斜線 FQ圖為水平線 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 2 特殊情況之一 桿端無橫向荷載 可有軸向荷載 作用 AB段 M 0 FQ 0 3 特殊情況之二 純彎曲 BC段 M圖為水平線 FQ 0 2 內(nèi)力圖的特征 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 在集中荷載作用處 剪力有突變 其突變值等于該集中荷載值 彎矩圖有尖角 尖角突出方向與荷載指向相同 2 內(nèi)力圖的特征 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 4 在集中力偶作用處 剪力圖無變化 彎矩圖有突變 該處左右兩邊的彎矩圖形的切線相互平行 即切線的斜率相同 突變值等于該集中力偶值 2 內(nèi)力圖的特征 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 5 M圖的最大值發(fā)生在FQ圖中FQ 0點(diǎn)處 利用內(nèi)力圖的上述特征 可不列出梁的內(nèi)力方程 而只須算出一些表示內(nèi)力圖特征的截面 稱為控制截面 的內(nèi)力值 就能迅速地繪出梁的內(nèi)力圖 2 內(nèi)力圖的特征 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 1 3用區(qū)段疊加法繪直桿的彎矩圖 1 記住簡單直梁在一些單一荷載作用下的彎矩圖 要求根據(jù)材料力學(xué)課程所介紹的方法 計(jì)算 繪制并熟記常見幾個最基本的彎矩圖形 彎矩圖繪在桿件受拉一側(cè) 不標(biāo)注正負(fù)號 可借用柔繩比擬的方法 定性地理解前面7個簡支梁彎矩圖的輪廓圖 即這些彎矩圖如同一根兩端繃緊的橡皮筋受圖示力作用后的形狀 當(dāng)桿端有外力偶作用時 可將表示力偶的圓弧箭頭順其原指向繪于桿端外側(cè) 則箭尾一側(cè)受拉 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 簡單直梁在單一荷載作用下的彎矩圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 簡單直梁在單一荷載作用下的彎矩圖 續(xù)1 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 1單跨靜定梁 簡單直梁在單一荷載作用下的彎矩圖 續(xù)2 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 2 區(qū)段疊加法繪彎矩圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 上述作簡支梁彎矩圖的疊加法 可以推廣應(yīng)用于結(jié)構(gòu)中任一直桿段的彎矩圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 第一種情況 對于常見的直線圖形疊加直線圖形或直接圖形疊加曲線圖形的情況 可按以下三個步驟進(jìn)行 1 一求控制彎矩 首先 是求兩桿端的彎矩 ?？芍苯优袛?對于簡支梁兩端鉸支處 懸臂梁的懸臂端 若無集中力偶作用 其彎矩為零 若有集中力偶作用 其彎矩即等于該集中力偶 其次 是求外力不連續(xù)點(diǎn)處的彎矩 如集中力作用點(diǎn) 均布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn) 集中力偶作用點(diǎn)兩側(cè)的彎矩 用隔離體平衡法即可方便求得 區(qū)段疊加法繪彎矩圖小結(jié) 2 二引直線相連 將相鄰二控制彎矩用直線相連 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 當(dāng)二控制截面間無橫向荷載作用時 用實(shí)線連接 即為該區(qū)段彎矩圖形 當(dāng)二控制截面間尚有橫向荷載作用時 則用虛線連接 作為新的 基線 然后再按下面第3 步進(jìn)行疊加 3 三疊簡支彎矩 在新的基線上 疊加該區(qū)段按簡支梁僅承受跨間橫向荷載作用時所求得的彎矩圖 注意 豎標(biāo)垂直于原桿軸 區(qū)段疊加法繪彎矩圖小結(jié) 續(xù) 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 區(qū)段疊加法分步示意圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 區(qū)段疊加法分步示意圖 續(xù) 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 第二種情況 對于曲線彎矩圖疊加曲線彎矩圖的情況 找出一些控制截面彎矩值 至少三點(diǎn) 中間連以適當(dāng)曲線 主要是定好彎曲方向 一般為連續(xù)光滑曲線 區(qū)段疊加法繪彎矩圖小結(jié) 續(xù) 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 1 4根據(jù)彎矩圖繪剪力圖 利用微分關(guān)系 可方便地根據(jù)彎矩圖繪剪力圖 1 當(dāng)彎矩圖為直線變化時 第一 關(guān)于FQ的正負(fù) AC段 M圖 下坡 即M為增函數(shù) 則其相應(yīng)的FQ為正 M的一階導(dǎo)數(shù)FQ 0 CB段 M圖 上坡 M為減函數(shù) 則其相應(yīng)的FQ為負(fù) M的一階導(dǎo)數(shù)FQ 0 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 第二 關(guān)于FQ的大小 可由M圖形的坡度 斜率 確定 即FQ DM l 其中 l為該區(qū)段長度 M為M圖中該區(qū)段兩端點(diǎn)二彎矩值的高差 而且區(qū)段內(nèi)M圖形 坡度 愈陡 剪力值越大 坡度 愈緩 剪力值愈小 坡度 為零 即M圖為水平線 則剪力值為零 無剪力 若相鄰兩區(qū)段M圖形 坡度 相同 即當(dāng)有集中力偶作用時 則該兩區(qū)段剪力值亦相同 3 1 4根據(jù)彎矩圖繪剪力圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 現(xiàn)將以上關(guān)于FQ的正負(fù)和大小的規(guī)律 小結(jié)如下 當(dāng)彎矩圖為直線變化時 其剪力 式中 l為區(qū)段長度 M為該區(qū)段兩端彎矩值 高差 3 1 4根據(jù)彎矩圖繪剪力圖 FQ 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 以上規(guī)律同樣適用于豎桿或斜桿 只是須注意 先假想將該桿 放平 即繞該桿下端順時針或反時針方向轉(zhuǎn)動到水平位置 再遵循 沿桿軸由左向右看 這一前提條件 3 1 4根據(jù)彎矩圖繪剪力圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 2 當(dāng)M圖為二次拋物線變化時 根據(jù)M與FQ的微分關(guān)系可判定 該FQ圖為斜直線 一次式 因此 只需按照 一求兩端剪力 隔離體平衡法 二引直線相連 的步驟 即可繪出該區(qū)段的FQ圖 3 1 4根據(jù)彎矩圖繪剪力圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 例3 1 試根據(jù)圖示彎矩圖 繪出相應(yīng)的剪力輪廓圖 3 1單跨靜定梁 解 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 1 5斜梁 房屋中的樓梯梁和坡屋面梁 是常見的桿軸傾斜的斜梁 1 計(jì)算特點(diǎn) 斜梁內(nèi)力不僅有彎矩M 剪力FQ 還有軸力FN 2 荷載簡化 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 反力及內(nèi)力計(jì)算 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 反力及內(nèi)力計(jì)算公式小結(jié) 1 反力 2 內(nèi)力 3 1單跨靜定梁 即 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 例3 2 試求作圖示斜梁的內(nèi)力圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 例3 3 試求作圖示斜梁的內(nèi)力圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 例3 4 試求作圖示三折斜梁的內(nèi)力圖 a 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 2多跨靜定梁 3 2 1組成特點(diǎn) 構(gòu)造分析 1 三種組成形式 a 基本形式之一及其層次圖 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 2多跨靜定梁 b 基本形式之二及其層次圖 c 混合組成及其層次圖 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 2 基本部分和附屬部分基本部分 主要部分 能獨(dú)立承載的部分 附屬部分 次要部分 需依賴于基本部分的支承方能承載的部分 3 2多跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 2 2力的傳遞 由附屬部分向基本部分傳遞 且當(dāng)基本部分受荷載時 附屬部分無內(nèi)力產(chǎn)生 當(dāng)附屬部分受荷載時 基本部分有內(nèi)力產(chǎn)生 3 2多跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 2 3計(jì)算步驟 采用分層計(jì)算法 其關(guān)鍵是分清主次 先 附 后 基 計(jì)算反力和內(nèi)力 其步驟為 1 作層次圖 2 計(jì)算反力 3 繪內(nèi)力圖 4 疊加 注意鉸處彎矩為零 5 校核 利用微分關(guān)系 3 2多跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 例3 5 試求作圖示多跨靜定梁的內(nèi)力圖 3 2多跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 例3 6 試求圖示多跨靜定梁的內(nèi)力圖 3 2多跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 2多跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 例3 7 試求圖示多跨靜定梁鉸E和鉸F的位置 使中間跨的支座負(fù)彎矩MB和MC與跨中正彎矩M2的絕對值相等 3 2多跨靜定梁 解 在M圖中 MB M2 ql2 8 按題意 要求 MB MC M2 a AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 亦即2 MB ql2 8 于是可得 將式 b 代入式 a 解出 x 0 125l b 與三跨跨度為l的簡支梁比較可知 其跨中正彎矩將減小一些 3 2多跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 3靜定平面剛架 3 3 1剛架的特點(diǎn) 1 構(gòu)造特點(diǎn) 一般由若干梁 柱等直桿組成且具有剛結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu) 稱為剛架 桿軸及荷載均在同一平面內(nèi)且無多余約束的幾何不變剛架 稱為靜定平面剛架 不在同一平面內(nèi)無多余約束的幾何不變剛架 稱為靜定空間剛架 2 力學(xué)特性 剛結(jié)點(diǎn)處夾角不可改變 且能承受和傳遞全部內(nèi)力 M FQ FN 3 剛架優(yōu)點(diǎn) 內(nèi)部空間較大 桿件彎矩較小 且制造比較方便 因此 剛架在土木工程中得到廣泛應(yīng)用 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 3 2靜定平面剛架的組成形式 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 3 3靜定平面剛架內(nèi)力圖的繪制 靜定平面剛架的內(nèi)力圖有彎矩圖 剪力圖和軸力圖 靜定平面剛架內(nèi)力圖的基本作法是桿梁法 即把剛架拆成桿件 其內(nèi)力計(jì)算方法原則上與靜定梁相同 通常是先由剛架的整體或局部平衡條件 求出支座反力或某些鉸結(jié)點(diǎn)處的約束力 然后用截面法逐桿計(jì)算各桿的桿端內(nèi)力 再利用桿端內(nèi)力按照靜定梁的方法分別作出各桿的內(nèi)力圖 最后將各桿內(nèi)力圖合在一起 就得到剛架的內(nèi)力圖 說明1 一般可按M圖 FQ圖 FN圖的順序繪制內(nèi)力圖 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 1 關(guān)于M圖的繪制 對于每個桿件而言 實(shí)際上是分別應(yīng)用一次區(qū)段疊加法 一求控制彎矩 二引直線相連 三疊簡支彎矩 2 關(guān)于FQ圖的繪制 當(dāng)M圖為直線變化時 可根據(jù)微分關(guān)系 由M圖 下坡 或 上坡 的走向 沿桿軸由左向右看 及其 坡度 的大小 直接確定FQ的正負(fù)和大小 如前所述 當(dāng)M圖為二次拋物線變化時 可取該桿段為隔離體 化為等效的簡支梁 根據(jù)桿端的已知M及跨間荷載 利用力矩方程 求桿端剪力值 3 關(guān)于FN圖的繪制 對于比較復(fù)雜的情況 可取結(jié)點(diǎn)為隔離體 根據(jù)已知FQ 利用投影方程 求桿件軸力值 3 3 3靜定平面剛架內(nèi)力圖的繪制 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 說明2 剛架的M圖約定繪在桿件受拉一側(cè) 不標(biāo)注正負(fù)號 FQ圖和FN圖可繪在桿件的任一側(cè) 但必須標(biāo)注正負(fù)號 其符號規(guī)定與梁相同 說明3 關(guān)于簡單剛結(jié)點(diǎn)的概念 兩桿剛結(jié)點(diǎn) 稱為簡單剛結(jié)點(diǎn) 當(dāng)無外力偶作用時 匯交于該處兩桿的桿端彎矩坐標(biāo)應(yīng)繪在結(jié)點(diǎn)的同一側(cè) 內(nèi)側(cè)或外側(cè) 且數(shù)值相等 作M圖時 可充分利用這一特性 3 3 3靜定平面剛架內(nèi)力圖的繪制 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 例3 8 試求作圖示剛架的內(nèi)力圖 解 1 求支反力 2 求作M圖 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 3靜定平面剛架 3 求作FQ圖 4 求作FN圖 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 例3 9 試求作圖示簡支剛架的內(nèi)力圖 桿AE MAE MEA 0 解 1 求支反力 2 求作M圖 1 一求控制彎矩 桿EC MEC 0 MCE 4 2 8kN m 左側(cè)受拉 桿BD MBD 0 MDB 4 4 16kN m 右側(cè)受拉 桿DF MFD 0 MDF 2 2 1 2 10 22 24kN m 上側(cè)受拉 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 3靜定平面剛架 a b c AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 2 二引直線相連 3 三疊簡支彎矩 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 求作FQ圖 4 求作FN圖 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 例3 10 試求作圖3 25所示懸臂剛架的內(nèi)力圖 解 1 求支反力 2 求作M圖 1 CD段 MDC MCE 2qa2 左側(cè)受拉 二引直線相連 2 DB段 MBD 6qa 2a 2qa2 10qa2 上側(cè)受拉 MDB 2qa2 下側(cè)受拉 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 3 求作FQ圖 參照M圖繪FQ圖 3 3靜定平面剛架 AllR