高考數學大一輪復習 第四章 三角函數、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理課件.ppt

4 6正弦定理 余弦定理 基礎知識自主學習 課時訓練 題型分類深度剖析 內容索引 基礎知識自主學習 1 正弦定理 余弦定理在 abc中 若角a b c所對的邊分別是a b c r為 abc外接圓半徑 則 知識梳理 b2 c2 2bccosa c2 a2 2cacosb a2 b2 2abcosc 2rsinb 2rsinc sina sinb sinc 2 在 abc中 已知a b和a時 解的情況如下 3 三角形常用面積公式 1 三角形內角和定理在 abc中 a b c 2 三角形中的三角函數關系 1 sin a b sinc 2 cos a b cosc 3 三角形中的射影定理在 abc中 a bcosc ccosb b acosc ccosa c bcosa acosb 判斷下列結論是否正確 請在括號中打 或 1 三角形中三邊之比等于相應的三個內角之比 2 在 abc中 若sina sinb 則a b 3 在 abc的六個元素中 已知任意三個元素可求其他元素 4 當b2 c2 a2 0時 三角形abc為銳角三角形 6 在三角形中 已知兩邊和一角就能求三角形的面積 考點自測 1 2016 天津 在 abc中 若ab bc 3 c 120 則ac等于a 1b 2c 3d 4 答案 解析 由余弦定理得ab2 ac2 bc2 2ac bc cosc 即13 ac2 9 2ac 3 cos120 化簡得ac2 3ac 4 0 解得ac 1或ac 4 舍去 故選a 2sinb sinc 1 cosa 1 cos b c cos b c 1 b c為三角形的內角 b c 又sin2b sin2c sin2a b2 c2 a2 綜上 abc為等腰直角三角形 答案 解析 2 在 abc中 若sinb sinc cos2 且sin2b sin2c sin2a 則 abc是a 等邊三角形b 直角三角形c 等腰三角形d 等腰直角三角形 答案 解析 3 2017 浙江五校高三第二次聯考 在 abc中 角a b c的對邊分別為a b c 且滿足 b a sina b c sinb sinc 則c等于 由已知 得 b a a b c b c ba a2 b2 c2 答案 解析 題型分類深度剖析 題型一利用正弦定理 余弦定理解三角形 例1 2016 四川 在 abc中 角a b c所對的邊分別是a b c 且 證明 則a ksina b ksinb c ksinc sinasinb sinacosb cosasinb sin a b 在 abc中 由a b c 有sin a b sin c sinc 所以sinasinb sinc 變形可得 解答 由 1 知 sinasinb sinacosb cosasinb 應用正弦 余弦定理的解題技巧 思維升華 3 已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解 4 靈活利用式子的特點轉化 如出現a2 b2 c2 ab形式用余弦定理 等式兩邊是關于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理 跟蹤訓練1 邊化角 答案 解析 2 在 abc中 內角a b c的對邊長分別為a b c 已知a2 c2 b 且sin a c 2cosasinc 則b等于a 6b 4c 2d 1 答案 解析 角化邊 由題意 得sinacosc cosasinc 2cosasinc 即sinacosc 3cosasinc 整理得2 a2 c2 b2 又a2 c2 b 聯立 得b 2 故選c 題型二和三角形面積有關的問題 例2 2016 浙江 在 abc中 內角a b c所對的邊分別為a b c 已知b c 2acosb 1 證明 a 2b 證明 由正弦定理得sinb sinc 2sinacosb 故2sinacosb sinb sin a b sinb sinacosb cosasinb 于是sinb sin a b 又a b 0 故0 a b 所以b a b 或b a b 因此a 舍去 或a 2b 所以a 2b 解答 由sinb 0 得sinc cosb 思維升華 2 與面積有關的問題 一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化 跟蹤訓練2 答案 解析 c2 a b 2 6 c2 a2 b2 2ab 6 由 得 ab 6 0 即ab 6 題型三正弦定理 余弦定理的簡單應用 命題點1判斷三角形的形狀 例3 1 在 abc中 角a b c所對的邊分別為a b c 若 cosa 則 abc為a 鈍角三角形b 直角三角形c 銳角三角形d 等邊三角形 答案 解析 所以sinc0 所以cosb 0 即b為鈍角 所以 abc為鈍角三角形 2 設 abc的內角a b c所對的邊分別為a b c 若bcosc ccosb asina 則 abc的形狀為a 銳角三角形b 直角三角形c 鈍角三角形d 不確定 由正弦定理得sinbcosc sinccosb sin2a sin b c sin2a 即sin a sin2a sina sin2a a 0 sina 0 sina 1 答案 解析 引申探究1 例3 2 中 若將條件變?yōu)?sinacosb sinc 判斷 abc的形狀 解答 2sinacosb sinc sin a b 2sinacosb sinacosb cosbsina sin a b 0 又a b為 abc的內角 a b abc為等腰三角形 2 例3 2 中 若將條件變?yōu)閍2 b2 c2 ab 且2cosasinb sinc 判斷 abc的形狀 解答 又由2cosasinb sinc得sin b a 0 a b 故 abc為等邊三角形 命題點2求解幾何計算問題例4 2015 課標全國 如圖 在 abc中 d是bc上的點 ad平分 bac abd面積是 adc面積的2倍 解答 因為s abd 2s adc bad cad 所以ab 2ac 解答 在 abd和 adc中 由余弦定理 知ab2 ad2 bd2 2ad bdcos adb ac2 ad2 dc2 2ad dccos adc 故ab2 2ac2 3ad2 bd2 2dc2 6 又由 1 知ab 2ac 所以解得ac 1 命題點3解三角形的實際應用例5 1 如圖 從氣球a上測得正前方的河流的兩岸b c的俯角分別為75 30 此時氣球的高ad是60m 則河流的寬度bc等于 答案 解析 如圖 在rt acd中 cad 90 30 60 ad 60m 在rt abd中 bad 90 75 15 2 2016 三明模擬 在200m高的山頂上 測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30 60 則塔高是 m 答案 解析 如圖 在rt cdb中 cd 200m bcd 90 60 30 在 abc中 abc bcd 30 acb 60 30 30 bac 120 1 判斷三角形形狀的方法 化邊 通過因式分解 配方等得出邊的相應關系 從而判斷三角形的形狀 化角 通過三角恒等變換 得出內角的關系 從而判斷三角形的形狀 此時要注意應用a b c 這個結論 2 求解幾何計算問題要注意 根據已知的邊角畫出圖形并在圖中標示 選擇在某個三角形中運用正弦定理或余弦定理 思維升華 跟蹤訓練3 1 在 abc中 內角a b c所對的邊長分別是a b c 若c acosb 2a b cosa 則 abc的形狀為a 等腰三角形b 直角三角形c 等腰直角三角形d 等腰或直角三角形 答案 解析 c acosb 2a b cosa c a b 由正弦定理得sinc sinacosb 2sinacosa sinbcosa sinacosb cosasinb sinacosb 2sinacosa sinbcosa cosa sinb sina 0 cosa 0或sinb sina abc為等腰或直角三角形 2 2015 課標全國 在平面四邊形abcd中 a b c 75 bc 2 則ab的取值范圍是 答案 解析 如圖所示 延長ba與cd相交于點e 過點c作cf ad交ab于點f 則bf ab be 在等腰三角形cbf中 fcb 30 cf bc 2 在等腰三角形ecb中 ceb 30 ecb 75 二審結論會轉換 審題路線圖系列 1 求cosa的值 審題路線圖 規(guī)范解答 返回 根據余弦定理 返回 課時訓練 a 135 b 105 c 45 d 75 答案 解析 a 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 余姚模擬 設 abc的內角a b c所對的邊分別為a b c 若bcosc ccosb asina 且sin2b sin2c 則 abc的形狀為a 等腰三角形b 銳角三角形c 直角三角形d 等腰直角三角形 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由bcosc ccosb asina 得sinbcosc sinccosb sin2a sin b c sin2a 即sina sin2a 在三角形中sina 0 sina 1 a 90 由sin2b sin2c 知b c 綜上可知 abc為等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 在 abc中 已知b 40 c 20 c 60 則此三角形的解的情況是a 有一解b 有兩解c 無解d 有解但解的個數不確定 答案 解析 角b不存在 即滿足條件的三角形不存在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 即a2 c2 b2 ac 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 如圖 一艘船上午9 30在a處測得燈塔s在它的北偏東30 處 之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行 上午10 00到達b處 此時又測得燈塔s在它的北偏東75 處 且與它相距8nmile 此船的航速是 nmile h 答案 解析 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 設航速為vnmile h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由余弦定理得a2 16 b2 c2 2bccosa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 則 b c 2 64 即b c 8 當且僅當b c 4時等號成立 abc周長 a b c 4 b c 12 即最大值為12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 求sin a b 的值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2016 海寧模擬 已知a b c分別為 abc三個內角a b c的對邊 滿足bcosc bsinc a c 0 1 求角b的值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 由已知條件得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13