高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機變量及其分布 12.2 古典概型課件 理 蘇教版.ppt

12 2古典概型 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 課時作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1 基本事件的特點 1 任何兩個基本事件是的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成的和 2 古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為 簡稱古典概型 1 所有的基本事件只有個 2 每個基本事件的發(fā)生都是的 知識梳理 互斥 基本事件 古典概率模型 有限 等可能 3 如果1次試驗的等可能基本事件共有n個 那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是 如果某個事件a包含了其中m個等可能基本事件 那么事件a發(fā)生的概率為p a 4 古典概型的概率公式 p a 判斷下列結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 在適宜條件下 種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽 屬于古典概型 其基本事件是 發(fā)芽與不發(fā)芽 2 擲一枚硬幣兩次 出現(xiàn) 兩個正面 一正一反 兩個反面 這三個結(jié)果是等可能事件 3 從市場上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500 5g的袋裝食鹽中任取一袋 測其重量 屬于古典概型 4 教材改編 有3個興趣小組 甲 乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組 每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同 則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為 5 從1 2 3 4 5中任取出兩個不同的數(shù) 其和為5的概率是0 2 6 在古典概型中 如果事件a中基本事件構(gòu)成集合a 且集合a中的元素個數(shù)為n 所有的基本事件構(gòu)成集合i 且集合i中元素個數(shù)為m 則事件a的概率為 考點自測 從5本書中取出2本書 基本事件有10個 從3本數(shù)學(xué)書中取出2本書的事件有3個 故所求的概率為 1 已知書架上有3本數(shù)學(xué)書 2本物理書 若從中隨機取出2本 則取出的2本書都是數(shù)學(xué)書的概率為 答案 解析 從甲 乙等5名學(xué)生中隨機選2人共有10種情況 甲被選中有4種情況 則甲被選中的概率為 2 2016 北京改編 從甲 乙等5名學(xué)生中隨機選出2人 則甲被選中的概率為 答案 解析 3 2015 課標(biāo)全國 改編 如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長 則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù) 從1 2 3 4 5中任取3個不同的數(shù) 則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為 答案 解析 從1 2 3 4 5中任取3個不同的數(shù)共有如下10種不同的結(jié)果 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 其中勾股數(shù)只有 3 4 5 所以概率為 4 從正方形四個頂點及其中心這5個點中 任取2個點 則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為 答案 解析 取兩個點的所有情況為10種 所有距離不小于正方形邊長的情況有6種 概率為 5 教材改編 同時擲兩個骰子 向上點數(shù)不相同的概率為 答案 解析 擲兩個骰子一次 向上的點數(shù)共6 6 36 種 可能的結(jié)果 其中點數(shù)相同的結(jié)果共有6個 題型分類深度剖析 題型一基本事件與古典概型的判斷 例1 1 有兩顆正四面體的玩具 其四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1 2 3 4 下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗 用 x y 表示結(jié)果 其中x表示第1顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù) y表示第2顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù) 試寫出 試驗的基本事件 解答 這個試驗的基本事件為 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 事件 出現(xiàn)點數(shù)之和大于3 包含的基本事件 解答 事件 出現(xiàn)點數(shù)之和大于3 包含的基本事件為 1 3 1 4 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 事件 出現(xiàn)點數(shù)相等 包含的基本事件 解答 事件 出現(xiàn)點數(shù)相等 包含的基本事件為 1 1 2 2 3 3 4 4 2 袋中有大小相同的5個白球 3個黑球和3個紅球 每球有一個區(qū)別于其他球的編號 從中摸出一個球 有多少種不同的摸法 如果把每個球的編號看作一個基本事件建立概率模型 該模型是不是古典概型 解答 由于共有11個球 且每個球有不同的編號 故共有11種不同的摸法 又因為所有球大小相同 因此每個球被摸中的可能性相等 故以球的編號為基本事件的概率模型為古典概型 若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù) 有多少個基本事件 以這些基本事件建立概率模型 該模型是不是古典概型 解答 由于11個球共有3種顏色 因此共有3個基本事件 分別記為a 摸到白球 b 摸到黑球 c 摸到紅球 又因為所有球大小相同 所以一次摸球每個球被摸中的可能性均為 而白球有5個 故一次摸球摸到白球的可能性為 同理可知摸到黑球 紅球的可能性均為 顯然這三個基本事件出現(xiàn)的可能性不相等 所以以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型 一個試驗是否為古典概型 在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點 有限性和等可能性 只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型 思維升華 跟蹤訓(xùn)練1下列試驗中 古典概型的個數(shù)為 向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣 觀察正面向上的概率 向正方形abcd內(nèi) 任意拋擲一點p 點p恰與點c重合 從1 2 3 4四個數(shù)中 任取兩個數(shù) 求所取兩數(shù)之一是2的概率 在線段 0 5 上任取一點 求此點小于2的概率 答案 解析 1 中 硬幣質(zhì)地不均勻 不是等可能事件 所以不是古典概型 的基本事件都不是有限個 不是古典概型 符合古典概型的特點 是古典概型 題型二古典概型的求法 例2 1 2015 江蘇 袋中有形狀 大小都相同的4只球 其中1只白球 1只紅球 2只黃球 從中一次隨機摸出2只球 則這2只球顏色不同的概率為 答案 解析 設(shè)取出的2只球顏色不同為事件a 2 2016 山東 某兒童樂園在 六一 兒童節(jié)推出了一項趣味活動 參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次 每次轉(zhuǎn)動后 待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時 記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù) 設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x y 獎勵規(guī)則如下 a 若xy 3 則獎勵玩具一個 b 若xy 8 則獎勵水杯一個 c 其余情況獎勵飲料一瓶 假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻 四個區(qū)域劃分均勻 小亮準(zhǔn)備參加此項活動 求小亮獲得玩具的概率 解答 用數(shù)對 x y 表示兒童參加活動先后記錄的數(shù) 則基本事件空間 與點集s x y x n y n 1 x 4 1 y 4 一一對應(yīng) 因為s中元素的個數(shù)是4 4 16 所以基本事件總數(shù)n 16 記 xy 3 為事件a 則事件a包含的基本事件共5個 即 1 1 1 2 1 3 2 1 3 1 請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小 并說明理由 解答 記 xy 8 為事件b 3 xy 8 為事件c 則事件b包含的基本事件共6個 即 2 4 3 3 3 4 4 2 4 3 4 4 事件c包含的基本事件共5個 即 1 4 2 2 2 3 3 2 4 1 所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率 引申探究1 本例 1 中 若將4個球改為顏色相同 標(biāo)號分別為1 2 3 4的四個小球 從中一次取兩球 求標(biāo)號和為奇數(shù)的概率 解答 基本事件數(shù)仍為6 設(shè)標(biāo)號和為奇數(shù)為事件a 則a包含的基本事件為 1 2 1 4 2 3 3 4 共4種 2 本例 1 中 若將條件改為有放回地取球 取兩次 求兩次取球顏色相同的概率 解答 求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件a包含的基本事件的個數(shù) 這就需要正確列出基本事件 基本事件的表示方法有列舉法 列表法和樹形圖法 具體應(yīng)用時可根據(jù)需要靈活選擇 思維升華 跟蹤訓(xùn)練2 1 2016 全國乙卷改編 為美化環(huán)境 從紅 黃 白 紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中 余下的2種花種在另一個花壇中 則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是 從4種顏色的花中任選2種種在一個花壇中 余下2種種在另一個花壇 有 紅黃 白紫 白紫 紅黃 紅白 黃紫 黃紫 紅白 紅紫 黃白 黃白 紅紫 共6種種法 其中紅色和紫色不在一個花壇的種法有 紅黃 白紫 白紫 紅黃 紅白 黃紫 黃紫 紅白 共4種 故所求概率為p 答案 解析 2 某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團和演講社團的情況 數(shù)據(jù)如下表 單位 人 解答 從該班隨機選1名同學(xué) 求該同學(xué)至少參加上述一個社團的概率 由調(diào)查數(shù)據(jù)可知 既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人 故至少參加上述一個社團的共有45 30 15 人 在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學(xué)中 有5名男同學(xué)a1 a2 a3 a4 a5 3名女同學(xué)b1 b2 b3 現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人 求a1被選中且b1未被選中的概率 解答 從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人 其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a2 b1 a2 b2 a2 b3 a3 b1 a3 b2 a3 b3 a4 b1 a4 b2 a4 b3 a5 b1 a5 b2 a5 b3 共15個 根據(jù)題意 這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的 事件 a1被選中且b1未被選中 所包含的基本事件有 a1 b2 a1 b3 共2個 題型三古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用 例3 2015 安徽 某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況 隨機訪問50名職工 根據(jù)這50名職工對該部門的評分 繪制頻率分布直方圖 如圖所示 其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為 40 50 50 60 80 90 90 100 1 求頻率分布直方圖中a的值 解答 因為 0 004 a 0 018 0 022 2 0 028 10 1 所以a 0 006 2 估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率 解答 由所給頻率分布直方圖知 50名受訪職工評分不低于80的頻率為 0 022 0 018 10 0 4 所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0 4 3 從評分在 40 60 的受訪職工中 隨機抽取2人 求此2人的評分都在 40 50 的概率 解答 受訪職工中評分在 50 60 的有50 0 006 10 3 人 記為a1 a2 a3 受訪職工中評分在 40 50 的有50 0 004 10 2 人 記為b1 b2 從這5名受訪職工中隨機抽取2人 所有可能的結(jié)果共有10種 它們是 a1 a2 a1 a3 a1 b1 a1 b2 a2 a3 a2 b1 a2 b2 a3 b1 a3 b2 b1 b2 又因為所抽取2人的評分都在 40 50 的結(jié)果有1種 即 b1 b2 故所求的概率為p 有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型 已成為高考考查的熱點 概率與統(tǒng)計結(jié)合題 無論是直接描述還是利用頻率分布表 頻率分布直方圖 莖葉圖等給出信息 只要能夠從題中提煉出需要的信息 則此類問題即可解決 思維升華 跟蹤訓(xùn)練3海關(guān)對同時從a b c三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測 從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量 單位 件 如下表所示 工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測 解答 1 求這6件樣品中來自a b c各地區(qū)商品的數(shù)量 所以a b c三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1 3 2 2 若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進行進一步檢測 求這2件商品來自相同地區(qū)的概率 解答 設(shè)6件來自a b c三個地區(qū)的樣品分別為a b1 b2 b3 c1 c2 則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為 a b1 a b2 a b3 a c1 a c2 b1 b2 b1 b3 b1 c1 b1 c2 b2 b3 b2 c1 b2 c2 b3 c1 b3 c2 c1 c2 共15個 每個樣品被抽到的機會均等 因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的 記事件d 抽取的這2件商品來自相同地區(qū) 則事件d包含的基本事件有 b1 b2 b1 b3 b2 b3 c1 c2 共4個 所以p d 即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為 典例 14分 一個袋中裝有四個形狀 大小完全相同的球 球的編號分別為1 2 3 4 1 從袋中隨機取兩個球 求取出的球的編號之和不大于4的概率 2 先從袋中隨機取一個球 該球的編號為m 將球放回袋中 然后再從袋中隨機取一個球 該球的編號為n 求n m 2的概率 六審細節(jié)更完善 審題路線圖系列 審題路線圖 規(guī)范解答 1 基本事件為取兩個球 兩球一次取出 不分先后 可用集合的形式表示 把取兩個球的所有結(jié)果列舉出來 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 兩球編號之和不大于4 注意 和不大于4 應(yīng)為小于4或等于4 1 2 1 3 利用古典概型概率公式求解 2 兩球分兩次取 且有放回 兩球的編號記錄是有次序的 用坐標(biāo)的形式表示 基本事件的總數(shù)可用列舉法表示 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 注意細節(jié) m是第一個球的編號 n是第2個球的編號 n m 2的情況較多 計算復(fù)雜 將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題 計算n m 2的概率 n m 2的所有情況為 1 3 1 4 2 4 返回 解 1 從袋中隨機取兩個球 其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 共6個 從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件有 1 2 1 3 共2個 2 先從袋中隨機取一個球 記下編號為m 放回后 再從袋中隨機取一個球 記下編號為n 其一切可能的結(jié)果有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共16個 8分 又滿足條件n m 2的事件為 1 3 1 4 2 4 共3個 返回 課時作業(yè) 1 2016 全國丙卷改編 小敏打開計算機時 忘記了開機密碼的前兩位 只記得第一位是m i n中的一個字母 第二位是1 2 3 4 5中的一個數(shù)字 則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是 答案 解析 第一位是m i n中的一個字母 第二位是1 2 3 4 5中的一個數(shù)字 所以總的基本事件的個數(shù)為15 密碼正確只有一種 概率為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲 乙 丙 丁 戊中錄用三人 這五人被錄用的機會均等 則甲或乙被錄用的概率為 答案 解析 由題意知 從五位大學(xué)畢業(yè)生中錄用三人 所有不同的可能結(jié)果有 甲 乙 丙 甲 乙 丁 甲 乙 戊 甲 丙 丁 甲 丙 戊 甲 丁 戊 乙 丙 丁 乙 丙 戊 乙 丁 戊 丙 丁 戊 共10種 其中 甲與乙均未被錄用 的所有不同的可能結(jié)果只有 丙 丁 戊 這1種 故其對立事件 甲或乙被錄用 的可能結(jié)果有9種 所求概率p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2015 廣東改編 已知5件產(chǎn)品中有2件次品 其余為合格品 現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件 則恰有一件次品的概率為 答案 解析 設(shè)3件合格品為a1 a2 a3 2件次品為b1 b2 從5件產(chǎn)品中任取2件有 a1 a2 a1 a3 a1 b1 a1 b2 a2 a3 a2 b1 a2 b2 a3 b1 a3 b2 b1 b2 共10種 0 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 無錫模擬 若從1 2 3 4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù) 則取出的兩個數(shù)中一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)的概率為 答案 解析 從四個數(shù)中隨機取兩個數(shù) 基本事件有6個 其中一奇一偶的事件有4個 1 2 1 4 3 2 3 4 故所求的概率為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 連擲兩次骰子分別得到點數(shù)m n 則向量 m n 與向量 1 1 的夾 答案 解析 m n 1 1 m nn 基本事件總共有6 6 36 個 符合要求的有 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 5 1 5 4 6 1 6 5 共1 2 3 4 5 15 個 角 90 的概率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016 南通模擬 在平面直角坐標(biāo)系中 從下列五個點 a 0 0 b 2 0 c 1 1 d 0 2 e 2 2 中任取三個 則這三點能構(gòu)成三角形的概率是 答案 解析 從5個點中取3個點 列舉得abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde 共10個基本事件 而其中ace bcd兩種情況三點共線 其余8個均符合題意 故能構(gòu)成三角形的概率為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2016 蘇州高三一模 若連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子 六個面上分別有數(shù)字1 2 3 4 5 6 則兩次向上的數(shù)字之和等于7的概率為 連續(xù)拋擲骰子兩次 基本事件有36個 兩次向上的數(shù)字之和等于7的事件有6個 1 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 1 故所求的概率為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 2016 鎮(zhèn)江模擬 若箱子中有形狀 大小完全相同的3個紅球和2個白球 一次摸出2個球 則摸到的2個球顏色不同的概率為 答案 解析 從5個球中摸出2個球 基本事件共有10個 摸到的2個球顏色不同的事件為 紅1 白1 紅1 白2 紅2 白1 紅2 白2 紅3 白1 紅3 白2 共6個 故所求的概率為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 如下圖的莖葉圖是甲 乙兩人在4次模擬測試中的成績 其中一個數(shù)字被污損 則甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率為 答案 解析 0 3 依題意 記題中的被污損數(shù)字為x 若甲的平均成績不超過乙的平均成績 則有 8 9 2 1 5 3 x 5 0 x 7 即此時x的可能取值是7 8 9 因此甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率p 0 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 連續(xù)2次拋擲一枚骰子 六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1 2 3 4 5 6 記 兩次向上的數(shù)字之和等于m 為事件a 則p a 最大時 m 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 6 1 6 7 2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 4 6 2 5 7 2 6 8 依次列出m的可能取值 知7出現(xiàn)次數(shù)最多 7 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m n 令平面向量a m n b 1 3 1 求事件 a b 發(fā)生的概率 解答 由題意知 m 1 2 3 4 5 6 n 1 2 3 4 5 6 故 m n 所有可能的取法共36種 因為a b 所以m 3n 0 即m 3n 有 3 1 6 2 共2種 所以事件a b發(fā)生的概率為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求事件 a b 發(fā)生的概率 解答 由 a b 得m2 n2 10 有 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 共6種 其概率為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 甲 乙兩人用4張撲克牌 分別是紅桃2 紅桃3 紅桃4 方片4 玩游戲 他們將撲克牌洗勻后 背面朝上放在桌面上 甲先抽 乙后抽 抽出的牌不放回 各抽一張 1 設(shè) i j 表示甲 乙抽到的牌的牌面數(shù)字 如果甲抽到紅桃2 乙抽到紅桃3 記為 2 3 寫出甲 乙兩人抽到的牌的所有情況