高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1 2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系課件 新人教A版必修2.ppt

2 1 2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 目標(biāo)定位1 理解異面直線的定義 并能正確畫出兩條異面直線 2 會(huì)用反證法證明兩條直線是異面直線 會(huì)求兩異面直線所成的角 3 理解公理4和等角定理 1 空間兩條直線的位置關(guān)系 自主預(yù)習(xí) 空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種 1 若從公共點(diǎn)的數(shù)目分 可以分為 只有一個(gè)公共點(diǎn) 相交 平行 異面 2 異面直線 相交 平行 異面 1 定義 的兩條直線 2 異面直線的畫法 不同在任何一個(gè)平面內(nèi) 3 平行公理 公理4 文字表述 平行于同一條直線的兩條直線互相 這一性質(zhì)叫做空間 平行 平行線的傳遞性 a c 4 等角定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng) 那么這兩個(gè)角 或 平行 相等 互補(bǔ) 5 異面直線所成的角 1 定義 已知兩條異面直線a b 經(jīng)過空間任一點(diǎn)o作直線a a b b 我們把a(bǔ) 與b 所成的 或 叫做異面直線a與b所成的角 或夾角 2 異面直線所成的角 的取值范圍 3 當(dāng) 時(shí) a與b互相垂直 記作a b 銳角 直角 0 90 90 即時(shí)自測(cè) 1 判斷題 1 若兩條直線無公共點(diǎn) 則這兩條直線平行 2 若兩直線不是異面直線 則必相交或平行 3 過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線 與平面內(nèi)的任意一條直線均構(gòu)成異面直線 4 和兩條異面直線都相交的兩直線必是異面直線 提示 1 空間兩直線無公共點(diǎn) 則這兩條直線可能平行 也可能異面 3 過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線 和平面內(nèi)過該點(diǎn)的直線是相交直線 4 和兩條異面直線都相交的兩直線有可能是相交直線也有可能是異面直線 2 若空間兩條直線a和b沒有公共點(diǎn) 則a與b的位置關(guān)系是 a 共面b 平行c 異面d 平行或異面 解析若直線a和b共面 則由題意可知a b 若a和b不共面 則由題意可知a與b是異面直線 答案d 3 兩個(gè)三角形不在同一平面內(nèi) 它們的邊兩兩對(duì)應(yīng)平行 那么這兩個(gè)三角形 a 全等b 不相似c 僅有一個(gè)角相等d 相似 解析由等角定理知 這兩個(gè)三角形的三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等 故應(yīng)選d 答案d 4 如圖在正方體abcd a1b1c1d1中 e f g h分別為aa1 ab bb1 b1c1的中點(diǎn) 則異面直線ef與gh所成的角等于 解析取a1b1的中點(diǎn)m 連接gm hm 因?yàn)樵谡襟wabcd a1b1c1d1中 m h g為a1b1 b1c1 b1b的中點(diǎn) 所以 gmh為正三角形 mgh為ef與gh所成的角 所以 mgh 60 答案60 類型一空間兩條直線位置關(guān)系的判斷 例1 如圖 長(zhǎng)方體abcd a1b1c1d1中 判斷下列直線的位置關(guān)系 直線a1b與直線d1c的位置關(guān)系是 直線a1b與直線b1c的位置關(guān)系是 直線d1d與直線d1c的位置關(guān)系是 直線ab與直線b1c的位置關(guān)系是 解析直線d1d與直線d1c顯然相交于d1點(diǎn) 所以 應(yīng)該填 相交 直線a1b與直線d1c在平面a1bcd1中 且沒有交點(diǎn) 則兩直線 平行 所以 應(yīng)該填 平行 點(diǎn)a1 b b1在一個(gè)平面a1bb1內(nèi) 而c不在平面a1bb1內(nèi) 且b1 a1b 則直線a1b與直線b1c 異面 同理 直線ab與直線b1c 異面 所以 都應(yīng)該填 異面 答案 平行 異面 相交 異面 規(guī)律方法1 判定兩條直線平行與相交可用平面幾何的方法去判斷 而兩條直線平行也可以用公理4判斷 2 判定兩條直線是異面直線有定義法和排除法 由于使用定義判斷不方便 故常用排除法 即說明這兩條直線不平行 不相交 則它們異面 訓(xùn)練1 1 若a b是異面直線 b c是異面直線 則 a a cb a c是異面直線c a c相交d a c平行或相交或異面 2 若直線a b c滿足a b a c異面 則b與c a 一定是異面直線b 一定是相交直線c 不可能是平行直線d 不可能是相交直線 解析 1 若a b是異面直線 b c是異面直線 那么a c可以平行 可以相交 可以異面 2 若a b a c是異面直線 那么b與c不可能平行 否則由公理4知a c 答案 1 d 2 c 類型二公理4 等角定理的應(yīng)用 例2 在如圖所示的正方體abcd a1b1c1d1中 e f e1 f1分別是棱ab ad b1c1 c1d1的中點(diǎn) 求證 1 ef綉e1f1 2 ea1f e1cf1 證明 1 連接bd b1d1 在 abd中 因?yàn)閑 f分別為ab ad的中點(diǎn) 則bm a1e 因此 cf1 a1e 同理可證a1f ce1 因?yàn)?ea1f與 e1cf1的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行 且方向都相反 所以 ea1f e1cf1 規(guī)律方法 1 空間兩條直線平行的證明 一是定義法 即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn) 二是利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì) 如三角形中位線 梯形中位線 平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì) 三是利用公理4 找到一條直線 使所證的直線都與這條直線平行 2 求證角相等 一是用等角定理 二是用三角形全等或相似 訓(xùn)練2 如圖 已知e f g h分別是空間四邊形abcd的邊ab bc cd da的中點(diǎn) 1 求證 e f g h四點(diǎn)共面 2 若四邊形efgh是矩形 求證 ac bd 證明 1 在 abd中 e h分別是ab ad的中點(diǎn) eh bd 同理fg bd 則eh fg 故e f g h四點(diǎn)共面 2 由 1 知eh bd 同理ac gh 又 四邊形efgh是矩形 eh gh 故ac bd 類型三求異面直線所成的角 互動(dòng)探究 思路探究 探究點(diǎn)一異面直線所成的角的范圍是多少 提示 0 90 探究點(diǎn)二求異面直線所成的角分哪三步 三角形的中位線有什么作用 提示求異面直線所成的角分三步 作 證 求 三角形的中位線是立體幾何中常用到的線段 是解決立體幾何問題最重要的輔助線 三角形中位線的性質(zhì)是求兩條異面直線所成角的基礎(chǔ) 解如圖 取bd的中點(diǎn)m 連接em fm 規(guī)律方法1 異面直線一般依附于某幾何體 所以在求異面直線所成的角時(shí) 首先將異面直線平移成相交直線 而定義中的點(diǎn)o常選取兩異面直線中其中一個(gè)線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)或幾何體中的某個(gè)特殊點(diǎn) 2 求異面直線所成的角的一般步驟為 1 作角 平移成相交直線 2 證明 用定義證明前一步的角為所求 3 計(jì)算 在三角形中求角的大小 但要注意異面直線所成的角的范圍 訓(xùn)練3 如圖 在正方體abcd a1b1c1d1中 1 ac和dd1所成的角是 2 ac和d1c1所成的角是 3 ac和b1d1所成的角是 4 ac和a1b所成的角是 解析 1 根據(jù)正方體的性質(zhì)可得ac和dd1所成的角是90 2 d1c1 dc 所以 acd即為ac和d1c1所成的角 由正方體的性質(zhì)得 acd 45 3 bd b1d1 bd ac b1d1 ac 即ac和b1d1所成的角是90 4 a1b d1c acd1是等邊三角形 所以ac和a1b所成的角是60 答案 1 90 2 45 3 90 4 60 課堂小結(jié) 1 判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行 相交 異面的定義 很多情況下 定義就是一種常用的判定方法 2 在研究異面直線所成角的大小時(shí) 通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角 將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化 這是我們學(xué)習(xí)立體幾何的一條重要的思維途徑 需要強(qiáng)調(diào)的是 兩條異面直線所成角為 且0 90 解題時(shí)經(jīng)常結(jié)合這一點(diǎn)去求異面直線所成的角的大小 1 一條直線與兩條異面直線中的一條平行 則它和另一條的位置關(guān)系是 a 平行或異面b 相交或異面c 異面d 相交 解析如圖 在正方體abcd a1b1c1d1中 aa1與bc是異面直線 又aa1 bb1 aa1 dd1 顯然bb1 bc b dd1與bc是異面直線 故選b 答案b 2 設(shè)p是直線l外一定點(diǎn) 過點(diǎn)p且與l成30 角的異面直線 a 有無數(shù)條b 有兩條c 至多有兩條d 有一條 解析我們現(xiàn)在研究的平臺(tái)是錐空間 如圖所示 過點(diǎn)p作直線l l 以l 為軸 與l 成30 角的圓錐面的所有母線都與l成30 角 答案a 3 在正方體abcd a1b1c1d1中 e為c1d1的中點(diǎn) 則異面直線ae與a1b1所成的角的余弦值為 4 已知正方體abcd a1b1c1d1 e f分別為棱aa1 cc1的中點(diǎn) 求證