初中幾何常用輔助線專題

初中幾何常見(jiàn)輔助線做法1、 三角形常見(jiàn)輔助線做法方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍； 含有中點(diǎn)的題目，常常做三角形的中位線，把結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移例1、如圖5-1：AD為ABC的中線，求證：ABAC2AD?！痉治觥浚阂CABAC2AD，由圖想到： ABBDAD,ACCDAD，所以有ABAC BDCDADAD2AD，左邊比要證結(jié)論多BDCD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。 證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE2AD AD為ABC的中線 （已知） BDCD （中線定義） 在ACD和EBD中 ACDEBD （SAS） BECA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在ABE中有：ABBEAE（三角形兩邊之和大于第三邊） ABAC2AD。例2、如圖4-1：AD為ABC的中線，且12，34，求證：BECFEF證明：延長(zhǎng)ED至M，使DM=DE，連接 CM，MF。在BDE和CDM中， BDECDM （SAS） 又12，34 （已知） 1234180（平角的定義） 32=90，即：EDF90 FDMEDF 90 在EDF和MDF中 EDFMDF （SAS）EFMF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在CMF中，CFCMMF（三角形兩邊之和大于第三邊）BECFEF【備注】：上題也可加倍FD，證法同上。當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例3、如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線G、H。求證：BGE=CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF，ME是BCD的中位線，MECD，MEF=CHE，MF是ABD的中位線，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，從而BGE=CHE。方法2：含有角平分線的題目，利用角平分線的性質(zhì)做垂線，或構(gòu)造出全等三角形 例4、如圖2-1，已知ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求證：ADC+B=180分析：可由C向BAD的兩邊作垂線。近而證ADC與B之和為平角。例5、已知：如圖3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD于D，H是BC中點(diǎn)。求證：DH=（AB-AC）【分析】：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問(wèn)題可證。例6、已知：如圖3-2，AB=AC，BAC=90，BD為ABC的平分線，CEBE.求證：BD=2CE?！痉治觥浚航o出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。 方法3 ：證明兩條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法例7、如圖2-2，在ABC中，A=90，AB=AC，ABD=CBD。求證：BC=AB+ADDCBA【分析】：截長(zhǎng)法：在BC上取BE=AB,連接DE,證明ABDEBD，則AD=DE=CE,結(jié)論可證補(bǔ)短法：延長(zhǎng)BA到F，使BF=BC,連接DF,證明BCDBFD，F(xiàn)=C=45，AF=AD,結(jié)論可證例8：已知如圖6-1：在ABC中，ABAC，12，P為AD上任一點(diǎn)。求證：ABACPBPC?！痉治觥浚阂C：ABACPBPC，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊ABAC，故可在AB上截取AN等于AC，得ABACBN， 再連接PN，則PCPN，又在PNB中，PBPNBN，即：ABACPBPC。證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取ANAC連接PN , 在APN和APC中 APNAPC （SAS） PCPN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在BPN中，有 PBPNBN （三角形兩邊之差小于第三邊） BPPCABAC證明：（補(bǔ)短法） 延長(zhǎng)AC至M，使AMAB，連接PM， 在ABP和AMP中 ABPAMP （SAS） PBPM （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 又在PCM中有：CMPMPC(三角形兩邊之差小于第三邊) ABACPBPC。2、 梯形常用輔助線做法 通常情況下，通過(guò)做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問(wèn)題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見(jiàn)的幾種輔助線的作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。平移對(duì)角線。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。中位線與腰中點(diǎn)連線。例1. 如圖所示，在直角梯形ABCD中，A90，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求CD的長(zhǎng). 解：過(guò)點(diǎn)D作DEBC交AB于點(diǎn)E. 又ABCD，所以四邊形BCDE是平行四邊形. 所以DEBC17，CDBE. 在RtDAE中，由勾股定理，得AE2DE2AD2，即AE217215264. 所以AE8. 所以BEABAE1688. 即CD8.例2、如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，BC=90，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長(zhǎng)。解：過(guò)點(diǎn)E分別作AB、CD的平行線，交BC于點(diǎn)G、H，可得EGHEHG=BC=90則EGH是直角三角形因?yàn)镋、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，容易證得F是GH的中點(diǎn)所以例3、已知：梯形ABCD中，AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積ABDCEH解：如圖，作DEAC，交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)ADBC 四邊形ACED是平行四邊形BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4在DBE中， BD=3，DE=4，BE=5BDE=90作DHBC于H，則例4、如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，B=50，C=80，AD=2，BC=5，求CD的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E。在BCE中，B=50，C=80。所以E=50，從而BC=EC=5，同理可得AD=ED=2所以CD=ECED=52=3例5、如圖，在直角梯形ABCD中，AB/DC，ABC=90，AB=2DC，對(duì)角線ACBD，垂足為F，過(guò)點(diǎn)F作EF/AB，交AD于點(diǎn)E，求證：四邊形ABFE是等腰梯形。證：過(guò)點(diǎn)D作DGAB于點(diǎn)G，則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。因?yàn)锳B=2DC，所以AG=GB。從而DA=DB，于是DAB=DBA。又EF/AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。例6、如圖，在梯形ABCD中，AD為上底，ABCD，求證：BDAC。證：作AEBC于E，作DFBC于F，則易知AE=DF。 在RtABE和RtDCF中，因?yàn)锳BCD，AE=DF。所以由勾股定理得BECF。即BFCE。在RtBDF和RtCAE中由勾股定理得BDAC例7、如圖，在梯形ABCD中，AB/DC，O是BC的中點(diǎn)，AOD=90，求證：ABCD=AD。證：取AD的中點(diǎn)E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線， 從而OE=（ABCD）在AOD中，AOD=90，AE=DE所以由、得ABCD=AD。例8、在梯形ABCD中，ADBC， BAD=900，E是DC上的中點(diǎn)，連接AE和BE，求證：AEB=2CBE。解：分別延長(zhǎng)AE與BC ，并交于F點(diǎn)BAD=900且ADBCFBA=1800BAD=900 又ADBCDAE=FAED=FEC ，DE=EC ADEFCE （AAS） AE=FE在ABF中FBA=900 且AE=FE BE=FE 在FEB中 EBF=FEBAEB=EBF+ FEB=2CBE練習(xí)1、如圖，AB=CD，E為BC的中點(diǎn)，BAC=BCA，求證：AD=2AE。BECDA 2、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分BAE.3、如圖，ACBD，EA,EB分別平分CAB,DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證;ABAC+BD4、如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的長(zhǎng). 5、如圖所示，梯形ABCD中，ADBC，（1）若E是AB的中點(diǎn)，且