高考數(shù)學總復習（整合考點+典例精析+深化理解）第八章 第八節(jié)空間向量的應用(一)課件 理.ppt

第八節(jié)空間向量的應用 一 第八章 例1 如圖 在正方體abcd a1b1c1d1中 求 1 ad與bb1所成的角 2 aa1 ab cc1的中點分別為e f g 求ef與a1g所成的角 求異面直線所成的角 自主解答 思路點撥 此類問題由兩種解法 一種是幾何法 平移直線 構造三角形得出異面直線所成的角 解相應三角形得出角的大小 一種是建立空間直角坐標系 用向量法求解 解析 法一 1 因為aa1 bb1 所以 a1ad為ad與bb1所成的角 又因為 a1ad 90 所以異面直線ad與bb1所成的角為90 法二 分別以da dc dd1所在直線為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標系 設正方體棱長為1 如圖 點評 異面直線所成角的取值范圍是 0 90 若異面直線a b的方向向量為m n 異面直線a b所成角為 則cos cos m n 解題過程是 1 建系 2 求點坐標 3 表示向量 4 計算 變式探究 1 如圖所示 在三棱柱abca1b1c1中 h是正方形aa1b1b的中心 aa1 2 c1h 平面aa1b1b 且c1h 1 求異面直線ac與a1b1所成角的余弦值 2 求二面角aa1c1b1的正弦值 3 設n為棱b1c1的中點 點m在平面aa1b1b內 且mn 平面a1b1c1 求線段bm的長 2 連接ac1 易知ac1 b1c1 又由于aa1 b1a1 a1c1 a1c1 所以 ac1a1 b1c1a1 過點a作ar a1c1于點r 連接b1r 于是b1r a1c1 故 arb1為二面角aa1c1b1的平面角 在rt a1rb1中 b1r a1b1 sin ra1b1 3 因為mn 平面a1b1c1 所以mn a1b1 取hb1中點d 連接nd 又c1h 平面aa1b1b 所以nd 平面aa1b1b 故nd a1b1 又mn nd n 所以a1b1 平面mnd 連接md并延長交a1b1于點e 則me a1b1 故me aa1 求線面角 例2 如圖 四棱錐sabcd中 ab cd bc cd 側面sab為等邊三角形 ab bc 2 cd sd 1 1 證明 sd 平面sab 2 求ab與平面sbc所成的角的大小的正弦值 自主解答 1 證明 取ab中點e 連接de 則四邊形bcde為矩形 de cb 2 連接se 則se ab se 又sd 1 故ed2 se2 sd2 所以 dse為直角 由ab de ab se de se e 得ab 平面sde 所以ab sd sd與兩條相交直線ab se都垂直 sd 平面sab 2 解析 由ab 平面sde知 平面abcd 平面sde 作sf de 垂足為f 則sf 平面abcd sf 作fg bc 垂足為g 則fg dc 1 連接sg 則sg bc 又bc fg sg fg g 故bc 平面sfg 平面sbc 平面sfg 作fh sg h為垂足 則fh 平面sbc 法二 以c為坐標原點 射線cd為x軸正半軸 建立如圖所示的空間直角坐標系cxyz 設d 1 0 0 則a 2 2 0 b 0 2 0 又設s x y z 則x 0 y 0 z 0 點評 斜線和平面所成的角是一個直角三角形的銳角 它的三條邊分別是平面的垂線段 斜線段及斜線段在平面內的射影 因此求直線和平面所成的角 幾何法一般先定斜足 再作垂線找射影 通過解直角三角形求解 向量法則利用斜線和射影的夾角或考慮法向量 設 為直線l與平面 所成的角 為直線l的方向向量v與平面 的法向量n之間的夾角 變式探究 2 在正方體abcd a1b1c1d1中 f是bc的中點 點e在d1c1上 且d1e d1c1 試求直線ef與平面d1ac所成角的正弦值 求二面角的大小 例3 2013 大綱全國卷改編 如圖 四棱錐pabcd中 abc bad 90 bc 2ad pab和 pad都是等邊三角形 1 證明 pb cd 2 求二面角apdc的余弦值 1 證明 取bc的中點e 連接de 則四邊形abed為正方形 過p作po 平面abcd 垂足為o 連接oa ob od oe 由 pab和 pad都是等邊三角形知pa pb pd 所以oa ob od 即點o為正方形abed對角線的交點 故oe bd 從而pb oe 因為o是bd的中點 e是bc的中點 所以oe cd 因此pb cd 2 解析 由 1 知 oe ob op兩兩垂直 以o為坐標原點 的方向為x軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系oxyz 點評 1 幾何法 將二面角問題轉化求為其平面角的大小問題 要掌握以下三種基本方法 1 直接利用定義 如圖 2 利用三垂線定理及其逆定理 如圖 3 作棱的垂面 如圖 另外 特別注意觀察圖形本身是否已含有所求的平面角 2 向量法 1 從平面的法向量考慮 設n1 n2分別為平面 的法向量 二面角 l 的大小為 向量n1 n2的夾角為 則有 或 如圖所示 2 如果ab cd分別是二面角 l 的兩個面內與棱l垂直的異面直線 則二面角的大小為 變式探究 3 如圖 四邊形abcd為矩形 且ad 2 ab 1 pa 平面abcd e為bc上的動點 1 當e為bc的中點時 求證 pe de 2 設pa 1 在線段bc上存在這樣的點e 使得二面角peda的平面角大小為 試確定點e的位置 法一 1 證明 如圖 當e為bc的中點時 連接ae ec cd 1 從而 dce為等腰直角三角形 則 dec 45 同理可得 aeb 45 aed 90 于是de ae 又pa 平面abcd 且de 平面abcd pa de 又 ae pa a de 平面pae 又pe 平面