2017年考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析

2017年考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析跨考教育 數(shù)學(xué)教研室一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）若函數(shù)在處連續(xù)，則（ ）【答案】A【解析】在處連續(xù)選A.（2）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且，則（ ）【答案】C【解析】或，只有C選項(xiàng)滿足且滿足，所以選C。（3）函數(shù)在點(diǎn)處沿向量的方向?qū)?shù)為（ ）【答案】D【解析】選D.（4）甲乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開(kāi)始時(shí)，甲在乙前方10（單位：m）處，圖中實(shí)線表示甲的速度曲線（單位：），虛線表示乙的速度曲線，三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10,20,3，計(jì)時(shí)開(kāi)始后乙追上甲的時(shí)刻記為（單位：s），則（ ）【答案】B【解析】從0到這段時(shí)間內(nèi)甲乙的位移分別為則乙要追上甲，則，當(dāng)時(shí)滿足，故選C.（5）設(shè)是維單位列向量，為階單位矩陣，則（ ）【答案】A【解析】選項(xiàng)A,由得有非零解，故。即不可逆。選項(xiàng)B,由得的特征值為n-1個(gè)0，1.故的特征值為n-1個(gè)1，2.故可逆。其它選項(xiàng)類似理解。（6）設(shè)矩陣,則（ ）【答案】B【解析】由可知A的特征值為2,2,1因?yàn)椋珹可相似對(duì)角化，且由可知B特征值為2,2,1.因?yàn)?，B不可相似對(duì)角化，顯然C可相似對(duì)角化，且B不相似于C（7）設(shè)為隨機(jī)概率，若，則的充分必要條件是（ ）【答案】A【解析】按照條件概率定義展開(kāi)，則選項(xiàng)符合題意。（8）設(shè)為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）【答案】B【解析】由于找不正確的結(jié)論，故B符合題意。二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.(9) 已知函數(shù)，則=_【答案】【解析】(10) 微分方程的通解為_(kāi)【答案】，（為任意常數(shù)）【解析】齊次特征方程為故通解為(11) 若曲線積分在區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，則_【答案】【解析】由積分與路徑無(wú)關(guān)知(12) 冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)_【答案】【解析】（13）設(shè)矩陣，為線性無(wú)關(guān)的3維列向量組，則向量組的秩為_(kāi)【答案】2【解析】由線性無(wú)關(guān)，可知矩陣可逆，故再由得（14）設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則_【答案】2 【解析】，故。令，則=因此. 三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求，【答案】【解析】結(jié)論：（16）（本題滿分10分）求【答案】【解析】（17）（本題滿分10分）已知函數(shù)由方程確定，求的極值【答案】極大值為，極小值為【解析】?jī)蛇吳髮?dǎo)得： （1）令得對(duì)（1）式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得 （2）將代入原題給的等式中，得，將代入（2）得將代入（2）得故為極大值點(diǎn)，；為極小值點(diǎn)，（18）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有2階導(dǎo)數(shù)，且，證明：方程在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根；方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個(gè)不同實(shí)根。【答案】【解析】（I）二階導(dǎo)數(shù)，解：1）由于，根據(jù)極限的保號(hào)性得有，即進(jìn)而又由于二階可導(dǎo)，所以在上必連續(xù)那么在上連續(xù)，由根據(jù)零點(diǎn)定理得：至少存在一點(diǎn)，使，即得證（II）由（1）可知，令，則由羅爾定理，則，對(duì)在分別使用羅爾定理：且，使得，即在至少有兩個(gè)不同實(shí)根。得證。（19）（本題滿分10分）設(shè)薄片型物體是圓錐面被柱面割下的有限部分，其上任一點(diǎn)的密度為。記圓錐面與柱面的交線為求在平面上的投影曲線的方程；求的質(zhì)量?！敬鸢浮?4【解析】（1） 由題設(shè)條件知，的方程為則在平面的方程為（2）（20）（本題滿分11分）設(shè)3階矩陣有3個(gè)不同的特征值，且。證明 ；若，求方程組的通解?！敬鸢浮浚↖）略；（II）通解為【解析】（I）證明：由可得，即線性相關(guān)，因此，即A的特征值必有0。又因?yàn)锳有三個(gè)不同的特征值，則三個(gè)特征值中只有1個(gè)0，另外兩個(gè)非0.且由于A必可相似對(duì)角化，則可設(shè)其對(duì)角矩陣為（II）由（1），知，即的基礎(chǔ)解系只有1個(gè)解向量，由可得，則的基礎(chǔ)解系為，又，即，則的一個(gè)特解為，綜上，的通解為（21）（本題滿分11分）設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型，求的值及一個(gè)正交矩陣【答案】【解析】，其中由于經(jīng)正交變換后，得到的標(biāo)準(zhǔn)形為，故，將代入，滿足，因此符合題意，此時(shí)，則，由，可得A的屬于特征值-3的特征向量為；由，可得A的屬于特征值6的特征向量為由，可得A的屬于特征值0的特征向量為令，則，由于彼此正交，故只需單位化即可：，則，（22）（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且的概率分布為，的概率密度為求求的概率密度。【答案】【解析】（1） 當(dāng)，而，則（2） 當(dāng)即時(shí)，（3）當(dāng)時(shí)，（4）當(dāng)時(shí)，（5）當(dāng)時(shí)，所以綜上所以（23）（本題滿分11分）某工程師為了解一臺(tái)天平的精度，用該天平對(duì)一物體的質(zhì)量做次測(cè)量，該物體的質(zhì)量是已知的，設(shè)次測(cè)量結(jié)果相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布。該工程師記錄的是次測(cè)量的絕對(duì)誤差