中考專題復習輔助線的添加.doc

輔助線的添加【知識要點】 平面幾何是中學數(shù)學的一個重要組成部分，證明是平面幾何的重要內(nèi)容。許多初中生對幾何證明題感到困難，尤其是對需要添加輔助線的證明題，往往束手無策。在這里我們介紹添加輔助線在平面幾何中的運用。一 、三角形中常見輔助線的添加1. 與角平分線有關的 可向兩邊作垂線。 可作平行線，構(gòu)造等腰三角形 在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形2. 與線段長度相關的 截長：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，經(jīng)常在較長的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可 補短：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，也可以在較短的線段上延長一段，使得延長的部分等于另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可 倍長中線：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。 遇到中點，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。3. 與等腰等邊三角形相關的 考慮三線合一 旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)，構(gòu)造全都三角形，等腰一般旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù)，等邊旋轉(zhuǎn)二 、四邊形 特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關的問題時往往需要添加輔助線.下面介紹一些輔助線的添加方法.1、和平行四邊形有關的輔助線作法 平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形2、和菱形有關的輔助線的作法 和菱形有關的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題. 作菱形的高；連結(jié)菱形的對角線.3、與矩形有輔助線作法 和矩形有關的題型一般有兩種：. 計算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題.和矩形有關的試題的輔助線的作法較少.4、與正方形有關輔助線的作法 正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關正方形的試題較多.解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線.5、與梯形有關的輔助線的作法 和梯形有關的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：（1）作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；（3）作一對角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；（4） 延長兩腰構(gòu)成三角形；（5）作兩腰的平行線等.三 、圓1遇到弦時（解決有關弦的問題時）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點的半徑。 作用： 利用垂徑定理； 利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關系； 利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關量。2遇到有直徑時 常常添加（畫）直徑所對的圓周角。 作用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形。3遇到90度的圓周角時 常常連結(jié)兩條弦沒有公共點的另一端點。 作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。4遇到弦時常常連結(jié)圓心和弦的兩個端點，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點和弦的兩個端點。作用：可得等腰三角形； 據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角。5遇到有切線時 （1）常常添加過切點的半徑（連結(jié)圓心和切點） 作用：利用切線的性質(zhì)定理可得OAAB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加連結(jié)圓上一點和切點 作用：可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理。6遇到證明某一直線是圓的切線時 （1） 若直線和圓的公共點還未確定，則常過圓心作直線的垂線段。 作用：若OA=r，則l為切線。 （2） 若直線過圓上的某一點，則連結(jié)這點和圓心（即作半徑） 作用：只需證OAl，則l為切線。 （3） 有遇到圓上或圓外一點作圓的切線7 遇到兩相交切線時（切線長）常常連結(jié)切點和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點、連結(jié)兩切點。 作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到： 角、線段的等量關系； 垂直關系； 全等、相似三角形。8遇到三角形的內(nèi)切圓時連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。 作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得：內(nèi)心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線；內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。9遇到三角形的外接圓時，連結(jié)外心和各頂點 作用：外心到三角形各頂點的距離相等。10遇到兩圓外離時（解決有關兩圓的外、內(nèi)公切線的問題）常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線。 作用：利用切線的性質(zhì)； 利用解直角三角形的有關知識。11遇到兩圓相交時常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點和圓心等。 作用： 利用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關知識； 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)； 利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)； 垂徑定理。12遇到兩圓相切時常常作連心線、公切線。 作用： 利用連心線性質(zhì)； 切線性質(zhì)等。13遇到三個圓兩兩外切時常常作每兩個圓的連心線。 作用：可利用連心線性質(zhì)。14遇到四邊形對角互補或兩個三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時常常添加輔助圓。 作用：以便利用圓的性質(zhì)?！練v年考卷形勢分析及中考預測】平面幾何是歷年來中考和競賽的必考內(nèi)容，其題目的靈活性遠遠是代數(shù)題目所不能比擬的，從簡單的選擇填空到較為復雜的中考壓軸題甚至競賽中的壓軸題，出題范圍極為廣泛，難易程度差距較大，對于學生的數(shù)學知識綜合運用能力考察較多?？v觀近6年廣州市的中考試題，分值分布大約在60分左右，其中簡單的題目大約占43分，其余的17分較難，每年必有一道幾何壓軸題，分值14分，經(jīng)常和實際問題，動點問題及函數(shù)問題結(jié)合，難度較大，應引起同學們的高度重視。題目難主要難在輔助線的添加，尤其像特殊四邊形及圓中的問題，從中考考綱來看，2011年廣州市中考命題，同往年相比，變化不大，壓軸題中可能會以三角形或四邊形結(jié)合動點問題給出，或者以圓中相關知識為背景，結(jié)合動點，函數(shù)問題給出，區(qū)分度較大。【考點精析】考點1. 三角形：例1 如圖，AB=CD，E為BC中點，BAC=BCA，求證：AD=2AE。ABECD12ACDB例2 如圖，ABAC, 1=2，求證：ABACBDCD。例3 如圖95，設O是正三角形ABC內(nèi)一點，已知AOB=115，BOC=125。求以線段OA，OB，OC為邊構(gòu)成的三角形的各角。圖95BACOABCDMN例4 如圖所示，ABC是邊長為4的正三角形，BDC是頂角BDC=120的等腰三角形，以D為頂點作一個60的角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N兩點，連結(jié)MN，求AMN的周長.【舉一反三】1、如圖，AB=6，AC=8，D為BC的中點，求AD的取值范圍。ABCD682、如圖，BCBA，BD平分ABC，且AD=CD，求證：A+C=180。BDCA 3如圖921，設O是正三角形ABC內(nèi)一點，已知AOB=80，BOC=135，求以線段OA、OB、OC為邊構(gòu)成的三角形的各角。BOAC圖921考點2. 四邊形：例5 如圖1，已知點O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，四邊形OCDE是平行四邊形. 求證:OE與AD互相平分.例6 如圖3，已知AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證BF=AC. 例7 如圖7，已知矩形ABCD內(nèi)一點，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的長.例8 如圖，在正方形ABCD中，E為內(nèi)部一點且是正三角形，求的度數(shù)ABCDE例9 如圖，ABCD，M、N分別為AD、BC中點，MN交AC、BD于G、H點。 求證：GH=（CDAB）ADCBMNHG【舉一反三】1. 如圖2，在ABC中，E、F為AB上兩點，AE=BF，ED/AC，F(xiàn)G/AC交BC分別為D，G.求證:ED+FG=AC.2. 如圖6，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個定點，F(xiàn)是AC上一個動點，求證EF+BF的最小值等于DE長.3如圖：正方形ABCD，AE+CF=EF，求證：AEBFCD4、如圖，已知梯形ABCD中，AD=1.5cm，BC=3.5cm，對角線ACBD，且BD=3cm，AC=4cm，求梯形ABCD的面積?？键c3. 圓：例10 （2010江蘇泰州，18，3分）如圖O的半徑為1cm，弦AB、CD的長度分別為，則試求弦AC、BD所夾的銳角 例11 (2010年安徽蕪湖市)如圖所示，在圓O內(nèi)有折線OABC，其中OA8，AB12， AB60，試求BC的長為.例12（2010山東臨沂）如圖,是半圓的直徑,為圓心,、是半圓的弦，且.(1)判斷直線是否為的切線，并說明理由；(2)如果，求的長。例13（2010江蘇宿遷）（本題滿分10分）如圖，AB是O的直徑， P為AB延長線上任意一點，C為半圓ACB的中點，PD切O于點D，連結(jié)CD交AB于點EPBAEOCD求證：（1）PD=PE；（2）【舉一反三】1（番禺一模） 圖12已知：如圖12，在中，點在上，以為圓心，長為半徑的圓與分別交于點，且（1）判斷直線與的位置關系，并證明你的結(jié)論；（2）若，求的面積2.（天河一模）如圖，在RtABC中，ACB90，AC5，CB12，AD是ABC的角平分線，過A、C、D三點的圓與斜邊AB交于點E，連接DE。 （1）求證：ACAE；ACBDE （2）求ACD外接圓的半徑。3（荔灣十校一模）如圖，已知AB為O的弦，C為O上一點，C=BAD，且BDAB于B. （1）求證：AD是O的切線；（2）若O的半徑為3，AB=4，求AD的長.綜合例14（2010寧夏回族自治區(qū)）在ABC中，BAC=45，ADBC于D，將ABD沿AB所在的直線折疊，使點D落在點E處；將ACD沿AC所在的直線折疊，使點D落在點F處，分別延長EB、FC使其交于點M(1)判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明(2)若BD=1，CD=2，試求四邊形AEMF的面積圖14-1連桿滑塊滑道例15（2010 河北）觀察思考某種在同一平面進行傳動的機械裝置如圖14-1，圖14-2是它的示意圖其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動，在Q滑動的過程中，連桿PQ也隨之運動，并且PQ帶動連桿OP繞固定點O擺動在擺動過程中，兩連桿的接點P在以OP為半徑的O上運動數(shù)學興趣小組為進一步研究其中所蘊含的數(shù)學知識，過點O作OHl于點H，并測得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米PBAEOCD解決問題（1）點Q與點O間的最小距離是 分米；點Q與點O間的最大距離是 分米；點Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是 分米（2）如圖14-3，小明同學說：“當點Q滑動到點H的位置時，PQ與O是相切的”你認為他的判斷對嗎？為什么？HlOPQ圖14-2（3）小麗同學發(fā)現(xiàn)：“當點P運動到OH上時，點P到l的距離最小”事實上，還存在著點P到l距離最大的位置，此時，點P到l的距離是 分米；當OP繞點O左右擺動時，所掃過的區(qū)域為扇形，求這個扇形面積最大時圓心角的度數(shù) HlO圖14-3P（Q）【舉一反三】EA DB CNM1.（2010年寧德市）（本題滿分13分）如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB； 當M點在何處時，AMCM的值最?。划擬點在何處時，AMBMCM的值最小，并說明理由； 當AMBMCM的最小值為時，求正方形的邊長.2（廣雅一模）平面直角坐標系中有一張矩形紙片OABC，O為坐標原點，A點坐標為（10，0），C點坐標為（0，6），D是BC邊上的動點（與點B、C不重合）如圖,將COD沿OD翻折，得到FOD；再在AB邊上選取適當?shù)狞cE，將BDE沿DE翻折，得到GDE，并使直線DG，DF重合（1）圖中，若COD翻折后點F落在OA邊上，寫出 D、E點坐標，并且求出直線DE的解析式（2）設（1）中所求直線DE與x軸交于點M，請你猜想過點M、C且關于y軸對稱的拋物線與直線DE的公共點的個數(shù)，在圖的圖形中，通過計算驗證你的猜想（3）圖中，設E（10，b），求b的最