數學模型--spss解決食堂排隊問題.doc

.成 績 評 定 表學生姓名班級學號專 業(yè)課程設計題目評語組長簽字：成績日期 20 年 月 日課程設計任務書學 院專 業(yè)學生姓名班級學號 課程設計題目實踐教學要求與任務:通過數學模型用數學解決一個實際問題并撰寫成一篇研究論文。1. 命題：1）自選：課題來自日常生活、社會實踐或其它學科。要求：選題新穎、實用 2）老師指定幾個參考題目，任選其一。仿做或自己創(chuàng)作：讀懂他人的建模論文，模仿完成。若仿作，在論文第一頁下方注明模仿的論文，例如 本文仿做自劉來福的論文 “數量性狀的遺傳距離及其測定”，遺傳學報，Vol 6，No3，1979要求：不許抄襲，在問題的提法或方法上有一定的改進或創(chuàng)新。2. 建模：要求思路清晰、處理恰當、構思新穎。3. 分析：數學應用合理恰當，應用知識綜合，內容豐富。4. 結論：要有一定的廣度、深度、實用程度。5. 表達：文字通順、語言流暢、論述簡潔、推理嚴謹。工作計劃與進度安排:第一天 查閱資相關料； 第二、三天 模型建立； 第四天 論文編寫； 第五天 答辯指導教師： 201 年 月 日專業(yè)負責人：201 年 月 日學院教學副院長：201 年 月 日食堂排隊問題摘要近年來，隨著大學不斷擴招，大學在校學生人數不斷增加，學生食堂用餐排隊擁擠現象也日益嚴重。首先，從網上找到某一高校中午去食堂用餐人數的時刻表，利用SPSS中的中心移動平均法，觀察到學生進入食堂的人數近視服從正態(tài)分布。在此基礎上研究了在權衡學校食堂和學生的利益這兩方面時，利用邊際分析法得到了合理的窗口數為9個。計算由窗口數變化而產生的平均等待時間，利用SPSS中的曲線估計，得到窗口數與平均等待時間滿足S型曲線估計，對其做靈敏度分析發(fā)現靈敏度很高，并且窗口數由8個增加到9個時平均等待時間變化很大，而繼續(xù)增加時，變化趨于平緩。所以認為食堂設置9個窗口是合理的。在進一步的探討中，由于每個窗口飯菜好吃與否不同，學生對其具有選擇性，在假設上面9個窗口吸引學生的比例后，求其平均等待時間為40.35秒，是沒有考慮這個因素的8倍左右，所以這是造成學生平均等待時間增加并且浪費窗口資源的一個重要因素。關鍵詞：食堂排隊，中心移動平均，曲線估計，平均等待時間目錄1.引言：12.模型：12.1問題的簡化及分析12.2模型假設12.3符號說明22.4模型建立23.分析：94.結論：95.進一步的探討：96.模型的評價126.1模型的優(yōu)點126.2模型的缺點127.結束語：13參考文獻14;.1.引言：在學?；蛘叽笮推髽I(yè)里，經?？梢钥吹皆谖绮蜁r間大量的人涌入食堂。由于午餐時間相對固定，導致在這個時間段內食堂的人數激增。原本沒有多少人的食堂頓時充滿了人，大家都在排隊買飯。買到的人就開開心心的去吃了，買不到的還在那里排隊等著買飯，不時的傳來幾句怨言。這是一個普遍的問題，有很多人對其進行研究，希望找到更好的辦法來解決這個問題。食堂排隊問題的解決可以減少人們的排隊時間，所以對此研究具有一定的意義。在一些初中和高中，有過一些解決這個問題的一些方法，比如像分年級、班級去吃飯，錯開人們的吃飯時間，從而解決這個問題。但由于大學里，學院很多，而且每個學生還有自己的選修課，上課地點又不是固定的，所以實行錯開學生吃飯的方法在這里就不在適用了。對此我們提出解決食堂排隊問題的其它方法，對其進行研究。2.模型：2.1問題的簡化及分析食堂排隊問題實際上就是排隊論問題，對學生而言食堂增加賣飯的窗口，學生的等待時間就會減少，而食堂的成本就會相應的增加。而減少食堂窗口的數量，食堂的利益會增加，但學生的等待時間就會相應的增加。所以我們要權衡這兩個方面，對其進行研究。利用邊際分析法，求得其合理的窗口數。后又考慮到學生對每個窗口的飯菜喜愛程度不同這個因素，對前面得到的窗口數進行研究，求得其平均等待時間，和之前的平均等待時間進行比較，得到增加這個因素對平均等待時間的影響。2.2模型假設 1.由于學校學生多，而食堂少，在中午時段，學生又大都集中在11：30至13：30這一時間段趕去食堂吃飯，故可認為在該時間段中學生源是無限的，且學生單獨到來且相互獨立。 2.學生對菜色沒有特別偏好，每個窗口對學生來說都是一樣的。 3.食堂實行先來先服務原則，且學生可自由在隊列間進行轉移，并總向較短的隊進行轉移，沒有學生會因為隊列過長而離去，故可認為排隊方式是單一隊列等待制。 4.由于每個窗口服務員的工作效率是隨機的，很難對其進行精確的分析。所以由一般統計規(guī)律，認為其滿足指數分布，平均每個學生的服務時間是15秒，且服務員之間無差異。 2.3符號說明 賣飯窗口數 窗口服務強度 每十分鐘進入食堂的人數 每個窗口每十分鐘服務的人數 一次移動平均數 二次移動平均數 平均等待隊長 平均等待時間 每個窗口的單位時間成本 每個學生在食堂中逗留損失費用 到達每個窗口的人數比例2.4模型建立對學生在食堂進餐的情形進行研究，根據食堂進餐排隊的特點，選擇排隊模型，進行研究。學生進餐可以分解成三個部分，第一部分：學生進入食堂；第二部分：學生在窗口買飯；第三部分：吃飯或打包離開。具體流程圖如圖一所示：進餐離開排隊學生打包圖一：學生進餐流程圖從網上得到查找得到某一高校的食堂進餐人數隨時間變化如表一所示：表一：某一高校的食堂進餐人數隨時間變化表時間10：4010：5011：0011：1011：2011：30人數1321355281103時間11：4011：5012：0012：1012：2012：30人數177245296279235137時間12：4012：5013：0013：1013：2013：30人數85616346199對上面的數據進行處理，利用EXCEL畫出食堂進餐的人數隨時間的變化圖，如圖二所示：圖二：食堂進餐人數隨時間變化圖觀察上圖可以發(fā)現食堂進餐人數在10：40至13：30這個時間段內有呈現正態(tài)分布的特點。為了使這個特點更加明顯，我們對人數做移動中心平均處理。 設一次移動平均數為，則二次移動平均數的計算公式為： （1）對表一中進餐人數分別做一次移動平均和二次移動平均，結果如圖三所示：圖三：進餐人數一、二次移動平均圖在利用EXCEL對第二次移動平均數作圖，得到食堂人數隨時間變化的趨勢圖。如圖四所示：圖四：食堂人數隨時間變化趨勢圖觀察上圖，發(fā)現食堂人數隨時間的變化服從正態(tài)分布，其函數為： （2）利用邊際分析法建立模型，求窗口數。窗口服務強度： （3）由于不希望等待的學生人數越來越多，所以小于等于1。經研究認為15秒的平均服務時間對于服務員來說已經是極限了，如果再加快速度反而可能手忙腳亂，增大出錯的可能性，到時反而會降低效率，故認為平均服務時間不可改變，是個常數，所以為40。表示的是每十分鐘進入食堂的學生數，它的取值與上面的食堂進餐人數隨時間變化的關系有關。所以的值可以表示為： （4） 所以得到等于： （5）由狀態(tài)流圖可列出K氏代數方程并求出相應的平穩(wěn)分布： （6）由正則性條件，當1時，有 （7）于是空閑概率： （8） 于是平均等待隊長： （9）平均等待時間： （10） 為了權衡學生與食堂的利益這兩者的關系，建立如下目標： （11）其中為每個窗口的單位時間成本，為每個學生在食堂中逗留損失費用。約束方程為： （12）根據邊際分析法，最佳的滿足條件： （13）將上面的約束方程代入到最佳滿足條件里得： （14）于是有， （15）整理得， （16）取,時，此時，采用邊際分析法，求得，如表二所示：表二：人數最多時邊際分析法求窗口數 812.108792.54571.6260,9.5630100.91970.5430,1.6260110.3767取,時，此時，采用邊際分析法，求得，如表三所示：表三：人數最少時邊際分析法求窗口數10.007120.00150.0010,0.005630.00050.0004,0.001040.0001由于進入食堂的學生數服從正態(tài)分布，所以所需的窗口數也應近似的服從正態(tài)分布。窗口在學生數最多時為9，在學生數最少時為1個。根據邊際分析法可以求出每個時間點在時，需要的窗口數目，利用EXCEL作出窗口數隨時間的變化圖，如圖五所示：圖五：窗口數隨時間變化圖由于一定，所以影響平均排隊時間的只有窗口數，利用SPSS對平均排隊時間及窗口數進行多種模型曲線估計，得到下圖：圖六：窗口數與平均等待時間的多模型曲線估計觀察上圖發(fā)現窗口數與平均等待時間的曲線估計最接近S模型，對其做S模型曲線估計得到下圖：圖七：窗口數與平均等待時間的S模型曲線估計觀察上圖發(fā)現當窗口數從8個增加到9個時，平均等待時間迅速下降，后增加窗口數，平均等待時間趨于平緩。得到模型匯總和參數估計值表，見表四：表四：得到模型匯總和參數估計值表模型匯總和參數估計值因變量:平均等待時間方程模型匯總參數估計值R 方Fdf1df2Sig.常數b1S.998960.63712.001-9.526101.265自變量為 窗口數。從上表中可以看出Sig值為0.001，說明S模型曲線估計效果很好，參數估計值中常數值為-9.526，b1值為101.265。所以模型曲線方程為下面再分析在學生數最多時平均排隊時間對窗口數的靈敏度： （17）由于窗口數為整數，所以求得如下數據，見表五：表五：平均排隊時間對窗口數的靈敏度分析89101124.215.081.830.74靈敏度33.8217.6515.97從上表可以看出，平均排隊時間對窗口數十分敏感，靈敏度均達到了15以上，其中在窗口數從8變到9時，平均排隊時間由24.21秒變?yōu)榱?.08秒。3.分析：通過上面的靈敏度分析得到，當食堂的窗口數超過9個時，即使增加再多的窗口數，其平均排隊時間變化的絕對值也只在5秒左右，而這么小的時間間隔對學生造成的影響是很小的。但是每增加一個窗口就會花費很大的成本，他們自然也不可能增加。但小于9個窗口時，從表四中可以看出，平均排隊時間會大大增加，這將會引起學生的極大不滿，當然也是不合理的。至此可看出，最佳的窗口設置是9個。 對于學生來說，當然是窗口數越多越好。而對于食堂來說，窗口數的增加一方面會導致成本的增加，另一方面會縮短排隊時間，即意味著它能為更多學生服務，所以它是否會增加窗口數就取決于成本和收益的大小關系。 4.結論：本文在把握學生進餐人數隨時間變化規(guī)律的情況下，以動態(tài)變化的人流量來研究窗口數的隨時間的變化情況，改進了原來研究固定人流量的模型，使得研究的結果更加接近實際。在權衡減少學生平均等待時間和增加食堂利益這兩方面時，給出合理的食堂窗口數。5.進一步的探討：由于食堂每個窗口的飯菜口味都不相同，學生去每個窗口買飯的人數也會出現很大的差別?；谶@個條件，對其進行研究。設每個窗口到達的人數比例分別為，由于每個窗口的工作人員能力相同。所以每個窗口的服務強度為， （18）此外，通過網絡的投票調查得到同學們在就餐排隊時，排隊人數在多少時會選擇離開隊伍，重新尋找隊伍排隊甚至離開食堂，見下表：表六：排隊人數影響選擇排隊表隊伍人數5-67-89-1011-1213-1415及以上票數3930324從上表可以看出排隊人數在15人及以上的人數最多，說明學生可以等待的時間較長，也就是說學生在選擇食堂飯菜的時候很有可能都愿意去同一家吃，導致這一家排隊人數很多。而相對的飯菜味道不好的，學生去的少，也就導致了窗口資源的浪費。在上面求得在人數最多時的窗口數應該為9個，現在假設依據飯菜的可口程度給這9個窗口附上去買飯的學生數比例，分別0.4，0.3，0.1，0.07，0.05，0.03，0.02，0.02，0.01。由此可得在學生人數最多的時候去9個窗口的人數分別118，88，30，21，15，9，6，6，3，因為每個窗口每十分鐘服務的人數是40人，所以可以看出前兩個窗口將有大量的學生排隊，而后面的幾個窗口都有空閑時間。這就造成了學生平均等待時間的大量增加。由于只有前兩個窗口有等待的學生，所以研究平均等待時間只需要研究前兩個窗口即可。根據上面的比列可以得到在每個時間段前兩個窗口在學生用餐的人數，見表七所示：表七：前兩個窗口的學生人數時間10:4010:5011：0011:1011:2011:30窗口24611162431時間11:4011:5012:0012:1012:2012:30窗口171981181089455窗口2537498847141時間12:4012:5013:0013:1013:2013:30窗口22618191463由于每個窗口每十分鐘可以為40人服務，所以當人數超過40時就開始排隊，從上表可以看出窗口1從11:30就開始排隊，窗口2在11:40開始排隊。排隊人數會隨著時間逐漸積累，具體積累數據如表八所示：表八：兩個窗口排隊人數積累表時間11:3011:4011:5012:0012:1012:2012:3012:40窗口113258136204258273266窗口201347105149180181167時間12:5013:0013:1013:2013:3013:4013:5014:00窗口1242227205173137975717窗口2145124986427000 根據上表畫出這兩個窗口的排隊人數隨時間變化圖，如圖八所示：圖八：兩個窗口排隊人數隨時間變化圖所以總等待人數為3683人次，每人等待時間為15秒，所以等待總時間為55245秒，平均等待時間至少為40.35秒。而上面計算得到的平均等待時間為5.08秒，所以學生對窗口飯菜的喜好對平均等待時間有很大的影響，并且這還會造成學校窗口資源的浪費。所以為了使食堂窗口資源得到合理利用，并且減少學生的平均等待時間，食堂應增加每個窗口的飯菜種類，提高飯菜的口感。這樣不僅可以解決因學生對窗口飯菜喜愛程度不同而導致的平均排隊時間增加，而且可以提高學生對食堂的滿意度。6.模型的評價6.1模型的優(yōu)點 1、 在問題的求解中，充分運用了表格和圖，使結果明了清晰。 2、 本文采用了多種專業(yè)軟件對模型進行求解，如EXCEL，SPSS等，提高了模型的精確度。 3、 本文所有模型建立均完全基于實際的統計數據，擬合成近似曲線進行處理，科學合理。 6.2模型的缺點 1、 得到計算結果的方法有待