生產(chǎn)運籌學(xué)--線性規(guī)劃及單純形法 66頁.ppt

運籌學(xué),OperationsResearch,第一章線性規(guī)劃及單純形法,第一章線性規(guī)劃及單純形法,線性規(guī)劃（LinearProgramming，簡稱LP）運籌學(xué)的一個重要分支，是運籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、理論上較成熟和應(yīng)用上極為廣泛的一個分支。,1947年G.B.Dantying提出了一般線性規(guī)劃問題求解的方法單純形法之后，線性規(guī)劃的理論與應(yīng)用都得到了極大的發(fā)展。,60年來，隨著計算機的發(fā)展，線性規(guī)劃已廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、交通運輸、經(jīng)濟管理和國防等各個領(lǐng)域，成為現(xiàn)代化管理的有力工具之一。,1線性規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型,e.g.1資源的合理利用問題,問：如何安排生產(chǎn)計劃，使得既能充分利用現(xiàn)有資源又使總利潤最大？,表1產(chǎn)品資源甲乙?guī)齑媪緼1360B1140單件利潤1525,某工廠在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，要消耗A、B兩種資源，已知每件產(chǎn)品對這兩種資源的消耗，這兩種資源的現(xiàn)有數(shù)量和每件產(chǎn)品可獲得的利潤如表1。,第一章線性規(guī)劃及單純形法,maxz=15x1+25x2s.t.x1+3x260 x1+x240 x1，x20,解：,設(shè)x1，x2為下一個生產(chǎn)周期產(chǎn)品甲和乙的產(chǎn)量；,約束條件：,Subjectto,x1+3x260,x1+x240,x1，x20,目標(biāo)函數(shù)：,z=15x1+25x2,表1產(chǎn)品資源甲乙?guī)齑媪緼1360B1140單件利潤1525,決策變量,1線性規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型,e.g.2營養(yǎng)問題,假定在市場上可買到B1,B2,Bnn種食品，第i種食品的單價是ci,另外有m種營養(yǎng)A1,A2,Am。設(shè)Bj內(nèi)含有Ai種營養(yǎng)數(shù)量為aij(i=1m,j=1n)，又知人們每天對Ai營養(yǎng)的最少需要量為bi。見表2：,表2食品最少營養(yǎng)B1B2Bn需要量A1a11a12a1nb1A2a21a22a2nb2Amam1am2amnbm單價c1c2cn,試在滿足營養(yǎng)要求的前提下，確定食品的購買量，使食品的總價格最低。,第一章線性規(guī)劃及單純形法,表2食品最少營養(yǎng)B1B2Bn需要量A1a11a12a1nb1A2a21a22a2nb2Amam1am2amnbm單價c1c2cn,解：,設(shè)xj為購買食品Bj的數(shù)量(j=1,2,n),（i=1,2,m）,xj0（j=1,2,n）,0xjlj,1線性規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型,三個基本要素：,Note：,1、善于抓住關(guān)鍵因素，忽略對系統(tǒng)影響不大的因素；,2、可以把一個大系統(tǒng)合理地分解成n個子系統(tǒng)處理。,1、決策變量xj0,2、約束條件一組決策變量的線性等式或不等式,3、目標(biāo)函數(shù)決策變量的線性函數(shù),第一章線性規(guī)劃及單純形法,max（min）z=c1x1+c2x2+cnxns.t.a11x1+a12x2+a1nxn（或=，）b1a21x1+a22x2+a2nxn（或=，）b2am1x1+am2x2+amnxn（或=，）bmxj0（j=1,2,n）,其中aij、bi、cj（i=1,2,m；j=1,2,n）為已知常數(shù),1線性規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型,線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式：,maxz=c1x1+c2x2+cnxns.t.a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2am1x1+am2x2+amnxn=bmxj0（j=1,2,n）bi0（i=1,2,m）,特點：,1、目標(biāo)函數(shù)為極大化；,2、除決策變量的非負(fù)約束外，所有的約束條件都是等式，且右端常數(shù)均為非負(fù)；,3、所有決策變量均非負(fù)。,第一章線性規(guī)劃及單純形法,如何轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式？,1、目標(biāo)函數(shù)為求極小值，即為：。,因為求minz等價于求max(-z)，令z=-z，即化為：,2、約束條件為不等式，,xn+10松弛變量,如何處理？,1線性規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型,、右端項bi0,xk0，,分兩種情況討論：,如果p1,p2,pk線性無關(guān)，即x的非零分量對應(yīng)的列向量線性無關(guān)，則由定理1知，它是LP的一個基本可行解，定理成立。,(2)如果p1,p2,pk線性相關(guān)，則必存在一組不全為零的數(shù)1,2,k使得,第一章線性規(guī)劃及單純形法,假定有i0，,取,作,其中,由（6）式知，必有,即,又因為由（5）式知,故有，,，即,也是LP的兩個可行解。,3線性規(guī)劃問題解的基本性質(zhì),再由的取法知，在式(7)的諸式中，至少有一個等于零，于是所作的可行解中，它的非零分量的個數(shù)至少比x的減少1，如果這些非零分量所對應(yīng)的列向量線性無關(guān)，則為基可行解，定理成立。,否則，可以從出發(fā)，重復(fù)上述步驟，再構(gòu)造一個新的可行解，使它的非零分量的個數(shù)繼續(xù)減少。這樣經(jīng)過有限次重復(fù)之后，必可找到一個可行解使它的非零分量對應(yīng)的列向量線性無關(guān)，故可行解必為基可行解。證畢。,返回,3線性規(guī)劃問題解的基本性質(zhì),定理3證明,設(shè),是LP的一個最優(yōu)解。,如果x*是基本解，則定理成立；,如果x*不是基本解，則由定理2的證明過程可構(gòu)造兩個可行解,它的非零分量的個數(shù)比x*的減少，且有,，,又因為x*是最優(yōu)解，故有,由式（8）和（9）知，必有,即x(1),x(2)仍為最優(yōu)解。,如果x(1)或x(2)是基可行解，則定理成立。,否則，按定理2證明過程，可得基可行解x(s)或x(s+1),使得,即得基可行解x(s)或x(s+1)為最優(yōu)解。,返回,第一章線性規(guī)劃及單純形法,LP問題解的幾何意義,定義5設(shè)集合是n維歐氏空間中的一個點集，如果及實數(shù),則稱S是一個凸集。,幾何意義：如果集合中任意兩點連線上的一切點都在該集合中，則稱該集合為凸集。,Note:空集和單點集也是凸集。,3線性規(guī)劃問題解的基本性質(zhì),定義6設(shè)則稱,為點的一個凸組合。,第一章線性規(guī)劃及單純形法,定理5設(shè)D為LP問題的可行解集，則x是D的極點的充分必要條件是x為LP問題的基可行解。,prove,（此時，該LP問題有無窮多最優(yōu)解）,3線性規(guī)劃問題解的基本性質(zhì),Note:,1、如何判斷LP問題有最優(yōu)解；,2、計算復(fù)雜性問題。,設(shè)有一個50個變量、20個約束等式的LP問題，則最多可能有個基。,即約150萬年,4單純形法的基本原理,單純形法（SimplexMethod）是1947年由G.B.Dantzig提出，是解LP問題最有效的算法之一，且已成為整數(shù)規(guī)劃和非線性規(guī)劃某些算法的基礎(chǔ)。,基本思路：基于LP問題的標(biāo)準(zhǔn)形式，先設(shè)法找到一個基可行解，判斷它是否是最優(yōu)解，如果是則停止計算；否則，則轉(zhuǎn)換到相鄰的目標(biāo)函數(shù)值不減的一個基可行解.（兩個基可行解相鄰是指它們之間僅有一個基變量不相同）。,第一章線性規(guī)劃及單純形法,單純形法引例,首先，化原問題為標(biāo)準(zhǔn)形式：,x3,x4是基變量.,基變量用非基變量表示：,x3=60-x1-3x2x4=40-x1-x2,代入目標(biāo)函數(shù)：,z=15x1+25x2,令非基變量x1=x2=0,z=0基可行解x(0)=(0,0,60,40)T,是最優(yōu)解嗎？,maxz=15x1+25x2s.t.x1+3x260 x1+x240 x1，x20,maxz=15x1+25x2+0 x3+0 x4s.t.x1+3x2+x3=60 x1+x2+x4=40 x1，x2,x3,x40,4單純形法的基本原理,z=15x1+25x2x3=60-x1-3x2x4=40-x1-x2,因為x2的系數(shù)大，所以x2換入基變量。,x3=60-3x20 x4=40-x20,誰換出？,如果x4換出，則x2=40，x3=-60，不可行。,如果是“+”會怎樣？,如果x3換出，則x2=20，x4=20。,最小比值法則,所以x3換出。,基變量用非基變量表示：,代入目標(biāo)函數(shù)：,z=500+20/3x1-25/3x3,令非基變量x1=x3=0,z=500基可行解x(1)=(0,20,0,20)T,大于零！,第一章線性規(guī)劃及單純形法,因為x1的系數(shù)大，所以x1換入基變量。,所以x4換出。,基變量用非基變量表示：,代入目標(biāo)函數(shù)：,z=7005x310 x4,令非基變量x3=x4=0,z=700基可行解x(2)=(30,10,0,0)T,因為非基變量的系數(shù)都小于零，所以x(2)=(30,10,0,0)T是最優(yōu)解zmax=700,4單純形法的基本原理,目標(biāo)函數(shù)用非基變量表示時，非基變量的系數(shù)稱為檢驗數(shù),(40,0),(0,0),(0,20),A,B,C,(30,10),O,L1,L2,Z=250,x2,x1,x(0)=(0,0,60,40)Tz=0,x(1)=(0,20,0,20)Tz=500,x(2)=(30,10,0,0)Tz=700,第一章線性規(guī)劃及單純形法,單純形法的基本原理,稱(1a)(2a)(3a)為LP問題對應(yīng)于基B的典則形式（典式）.,Ax=b,基變量用非基變量表示：,代入目標(biāo)函數(shù)：,4單純形法的基本原理,如果記,則典式(1a)(2a)(3a)可寫成,第一章線性規(guī)劃及單純形法,定理7在LP問題的典式(1b)(3b)中，如果有,則對應(yīng)于基B的基可行解,是LP問題的最優(yōu)解，記為,相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值z*=z(0),此時，基B稱為最優(yōu)基,4單純形法的基本原理,定理8在LP問題的典式(1b)(3b)中，,是對應(yīng)于基B的一個基可行解，如果滿足下列條件：,(1)有某個非基變量xk的檢驗數(shù)k0(m+1kn);,(2)aik(i=1,2,m)不全小于或等于零，即至少有一個aik0(i=1,2,m);,(3)0(i=1,2,m),即x(0)為非退化的基可行解。,則從x(0)出發(fā)，一定能找到一個新的基可行解,第一章線性規(guī)劃及單純形法,定理9在LP問題的典式(1b)(3b)中，如果檢驗數(shù)滿足最優(yōu)準(zhǔn)則j0(j=m+1,n)，且其中有一個k=0(m+1kn)，則該LP問題有無窮多個最優(yōu)解。,這在應(yīng)用中很有價值,則該LP問題解無界（無最優(yōu)解）。,5單純形法的計算步驟,單純形表,第一章線性規(guī)劃及單純形法,如何得到單純形表？,B-1b,-cBB-1b,檢驗數(shù),BN,cBcN,IB-1N,0cN-cBB-1N,5單純形法的計算步驟,e.g.4列出如下LP問題的初始單純形表。,maxz=4x1+3x2+2x3+5x4s.t.x1+3x2+x3+2x4=54x1+2x2+3x3+7x4=17x1，x2，x3，x40,不妨已知x3、x4為可行基變量,1,-7,0,1,2,6,-31,0,5,-2,-1,17,1,0,1,1,4,0,-12,x(0)=(0,0,1,2)T,z0=12,第一章線性規(guī)劃及單純形法,單純形法求解LP問題的計算步驟：,Step1找出初始可行基，列初始單純形表,確定初始基可行解；,Step2檢驗各非基變量xj的檢驗數(shù)j,如果所有的j0（j=1,2,n），則已求得最優(yōu)解，停止計算。否則轉(zhuǎn)入下一步；,Step3在所有的j0中，如果有某個k0，所對應(yīng)的xk的系數(shù)列向量pk0（即aik0，i=1,2,m），則此問題解無界，停止計算。否則轉(zhuǎn)入下一步;,5單純形法的計算步驟,Step4根據(jù),確定xk為換入基變量，又根據(jù)最小比值法則計算:確定xr為換出基變量。轉(zhuǎn)入下一步;,Step5以為主元進行換基變換，用初等行變換將xk所對應(yīng)的列向量變換成單位列向量，即,同時將檢驗數(shù)行中的第k個元素也變換為零，得到新的單純形表。返回Step2。,第一章線性規(guī)劃及單純形法,maxz=15x1+25x2s.t.x1+3x260 x1+x240 x1，x20,maxz=15x1+25x2+0 x3+0 x4s.t.x1+3x2+x3=60 x1+x2+x4=40 x1，x2，x3，x40,0,0,x2,1/3,-500,x1,0,-700,1/2,檢驗數(shù)都小于等于零,x(2)為最優(yōu)解zmax=700,60/3,40/1,25,3,1/3,1,20,0,0,-1/3,1,20,20/3,-25/3,0,20/1/3,20/2/3,15,2/3,2/3,1,0,-1/2,3/2,30,0,-1/2,10,0,-5,-10,5單純形法的計算步驟,思考：,在單純形法中根據(jù),確定xk為進基變量，是否在這次變換中，使目標(biāo)函數(shù)值提高最大？,如果不是，應(yīng)選擇哪個變量進基，保證這次變換使得目標(biāo)函數(shù)值提高最大？,目標(biāo)函數(shù)值能提高多少？,6單純形法的進一步討論,一、初始可行基的求法,maxz=c1x1+c2x2+cnxn(1c)s.t.a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2.(2c)am1x1+am2x2+amnxn=bmxj0（j=1,2,n）(3c),a11x1+a12x2+a1nxn+xn+1=b1a21x1+a22x2+a2nxn+xn+2=b2am1x1+am2x2+amnxn+xn+m=bmxj0（j=1,2,n,n+1,n+m）,人工變量,1、試算法,人造基本解：x0=(0,0,0,b1,bm)T,2、人工變量法,6單純形法的進一步討論,(1)大M法,懲罰法,maxw=c1x1+c2x2+cnxnM(xn+1+xn+m)s.t.a11x1+a12x2+a1nxn+xn+1=b1a21x1+a22x2+a2nxn+xn+2=b2am1x1+am2x2+amnxn+xn+m=bmxj0（j=1,2,n,n+1,n+m）,M是一個充分大的正數(shù),結(jié)論：,設(shè),為上述問題的最優(yōu)解,則,為原問題的最優(yōu)解，這時的目標(biāo)函數(shù)值為最優(yōu)值；,則原問題無可行解。,不全為零，,第一章線性規(guī)劃及單純形法,e.g.5,用大M法求解,maxz=3x1-x2x3s.t.x1-2x2+x311-4x1+x2+2x33-2x1+x3=1x1，x2，x30,maxz=3x1-x2x3+0 x4+0 x5-Mx6-Mx7s.t.x1-2x2+x3+x4=11-4x1+x2+2x3-x5+x6=3-2x1+x3+x7=1xj0(j=1,2,7),解：,引入松弛變量x4，x5和人工變量x6，x7得,3-4M,M-1,2M-1,0,-M,0,-M,3M,3-6M,M-1,3M-1,0,-M,0,0,4M,11/1,3/2,1/1,x3,-1,1,3,-2,0,1,1,0,0,-1,10,0,1,0,0,-1,1,-2,1,1,M-1,0,0,-M,1-3M,M+1,1/1,1,x2,-1,3,0,0,1,-2,2,-5,12,1,0,0,0,-1,-1-M,2,1,12/3,x1,3,0,0,1/3,-2/3,2/3,-5/3,4,0,0,1,2/3,-4/3,4/3,-7/3,9,0,0,0,-1/3,-1/3,2/3-M,-2,3,1,0,1-M,1/3-M,200-0.2M0?,由于人工變量x6=x7=0,所以,得原問題的最優(yōu)解x*=(4,1,9,0,0)T目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值zmax=2,Note:在計算過程中,某個人工變量一旦變?yōu)榉腔兞?則該列可被刪去,6單純形法的進一步討論,(2)兩階段法,第一階段：,maxz=c1x1+c2x2+cnxn(1c)s.t.a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2.(2c)am1x1+am2x2+amnxn=bmxj0（j=1,2,n）(3c),maxw=xn+1xn+2xn+m(1d)s.t.a11x1+a12x2+a1nxn+xn+1=b1a21x1+a22x2+a2nxn+xn+2=b2(2d)am1x1+am2x2+amnxn+xn+m=bmxj0（j=1,2,n,n+1,n+m）(3d),判斷原LP問題,（1c）（3c）是否存在可行解，如果存在就找出一個初始基可行解；,解之可得：,（a）如果wmax0,則原問題無可行解，停止計算；,（b）如果wmax=0,且人工變量都不是基變量，則轉(zhuǎn)入第二階段；,第一章線性規(guī)劃及單純形法,（c）如果wmax=0,但仍有取零的人工變量為基變量；,x1x2xnxn+1xn+kxn+mbal1al2alnaln+11an+m0,如xn+k=0是基變量，在最終單純形表中：,al1al2aln不可能全為零，必有某個alj0，這時xj不是基變量，與xn+k交換即可。,第二階段：,從第一階段所求得的初始可行基出發(fā)，求解原問題,6單純形法的進一步討論,二、關(guān)于退化和循環(huán),1955年Beale給出如下例子：,最優(yōu)解：,第一章線性規(guī)劃及單純形法,Bland法則：,（對極大值問題而言）,則選擇xk作為進基變量。,7線性規(guī)劃應(yīng)用舉例,e.g.6生產(chǎn)計劃問題,某工廠明年根據(jù)合同，每個季度末向銷售公司提供產(chǎn)品，有關(guān)信息如表，若當(dāng)季生產(chǎn)的產(chǎn)品過多，季末有積余，則一個季度每積壓一噸產(chǎn)品需支付存貯費0.2萬元.現(xiàn)該廠考慮明年的最佳生產(chǎn)方案，使該廠在完成合同的情況下，全年的生產(chǎn)費用最低.試建立線性規(guī)劃模型.,第一章線性規(guī)劃及單純形法,解：,方法一,設(shè)工廠第j季度生產(chǎn)產(chǎn)品xj噸,需求約束：,第一季度末需交貨20噸，x120,第二季度末需交貨20噸，x1-20+x220,這是上季末交貨后積余,第三季度末需交貨30噸，x1+x2-40+x330,第四季度末需交貨10噸，x1+x2+x3-70+x4=10,生產(chǎn)能力約束：,0xjajj=1,2,3,4,生產(chǎn)、存儲費用：,第一季度：15x1第二季度:14x2+0.2(x1-20)第三季度:15.3x3+0.2(x1+x2-40)第四季度:14.8x4+0.2(x1+x2+x3-70),minz=15.6x1+14.4x2+15.5x3+14.8x4-26s.t.x1+x240,x1+x2+x370 x1+x2+x3+x4=80,20x130,0x240,0x320,0x410.,7線性規(guī)劃應(yīng)用舉例,方法二,設(shè)第i季度生產(chǎn)而用于第j季度末交貨的產(chǎn)品數(shù)量為xij噸.,需求約束：,x11=20 x12+x22=20,x13+x23+x33=30 x14+x24+x34+x44=10,生產(chǎn)能力約束：,x11+x12+x13+x1430,x22+x23+x2440,x33+x3420,x4410,xij的費用cij=di+0.2(j-i),minz=15x11+15.2x12+15.4x13+15.6x14+14x22+14.2x23+14.4x24+15.3x33+15.5x34+1