變式問(wèn)題教的粗淺思考

變式問(wèn)題教學(xué)的粗淺思考02三牧中學(xué)數(shù)學(xué)組 林山杰“一題多解，解法優(yōu)化；一題多變，變中求同；多題一法，同模通法”是數(shù)學(xué)解題與習(xí)題教學(xué)中非常重要的教學(xué)方法，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的方法對(duì)各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)模塊，進(jìn)行這三個(gè)維度的探究教學(xué)，非常有益于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)本文主要側(cè)重于思考與研究常見(jiàn)的幾何特征模型的一些變式問(wèn)題的一些結(jié)論，并介紹一點(diǎn)對(duì)問(wèn)題變式的改編方法的思考圖1-1主題2：關(guān)于一些常見(jiàn)的含有平分角結(jié)構(gòu)的特征圖形的互逆命題組問(wèn)題2-1-1：如圖2-1-1，（點(diǎn)D在OA上），有三個(gè)命題：OB平分AOC，BDOC， OD=DB則知二可證其余，即，這三個(gè)問(wèn)題顯然互為逆命題，且易證為真命題可以簡(jiǎn)單歸納為“平分角”“平行”“等腰”知二可得第三這三個(gè)命題的證明顯然都是從角的等量關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化其中而這三組“角的等量關(guān)系”，顯然可以從其中任意兩個(gè)推出第三個(gè)證明思路中可以看出角的等量關(guān)系可以與線(xiàn)的位置關(guān)系（平行的三線(xiàn)八角結(jié)構(gòu)），線(xiàn)的數(shù)量關(guān)系（等邊對(duì)等角及等角對(duì)等邊）相互轉(zhuǎn)化而幾何證明，線(xiàn)角是核心元素，線(xiàn)角轉(zhuǎn)化是重要方法技巧這個(gè)問(wèn)題改變平行的位置特征，可以得到問(wèn)題2-1-2：如圖2-1-2，（點(diǎn)E在OA反向延長(zhǎng)線(xiàn)上），有三個(gè)命題：OB平分AOC，BOEC， OE=OC則知二可證其余，即，其證明思路與前一個(gè)問(wèn)題幾乎完全相同，稍有一些小區(qū)別，需要用到三角形外角定理證明比較簡(jiǎn)潔點(diǎn)問(wèn)題2-2：如圖2-2，（點(diǎn)D在BC上），有四個(gè)命題：AB=AC（它等價(jià)于B=C，只寫(xiě)出其中一個(gè)），ADBC于D， BD=CD， AD平分BAC顯然這個(gè)圖形中，知二可證其余其中，就是三線(xiàn)合一定理而是根據(jù)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，于是再用三線(xiàn)合一可以推出第五個(gè)真命題：，只需AAS證明ABDACD，前面四個(gè)命題也是證明這兩個(gè)三角形全等，只不過(guò)前面四個(gè)有教材的定理體系，可以直接使用有關(guān)結(jié)論第五個(gè)命題不是定理第六個(gè)真命題：本質(zhì)也是證明這兩個(gè)三角形全等，只是所給條件滿(mǎn)足SSA，不能直接證明，需要添輔助線(xiàn)來(lái)構(gòu)造新的全等，最后轉(zhuǎn)化出所證問(wèn)題有常見(jiàn)的幾種證明方法方法1：由AD平分BAC的條件，構(gòu)造角平分線(xiàn)上的點(diǎn)D到角兩邊的垂線(xiàn)段DH，DG則DH=DG，接下來(lái)HL證明BDHCDG，從而B(niǎo)=C，等角對(duì)等邊推出AB=AC，于是轉(zhuǎn)化為前面的問(wèn)題方法2（等面積法證明角平分線(xiàn)的另一個(gè)定理，教材中已經(jīng)刪去）：輔助線(xiàn)同方法1，得出DH=DG，從而(SABD/SACD)=(AB/AC)又ABD與ACD等底同高，得出(SABD/SACD)=(BD/DC)所以 (AB/AC)=(BD/DC)再由BD=CD知AB=AC，余下證明略方法3：由BD=CD可以構(gòu)造倍長(zhǎng)中線(xiàn)的全等三角形結(jié)構(gòu)即SAS證明ABDACD，從而B(niǎo)AD=CAD=BAD，所以AB=AB=CA，余下證明略方法4：輔助線(xiàn)圖形同方法3，但是輔助線(xiàn)的作法不同過(guò)B作AC的平行線(xiàn)與AD的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于A，則由平行+平分角結(jié)構(gòu)得出等腰AB=AB，再由平行+平分線(xiàn)結(jié)構(gòu)得出ABDACD（AAS或ASA），其余證明略問(wèn)題2-3：如圖2-3，在四邊形CPOQ中，OC平分POQ，CP=CQ，CPQ+CQO=180（等價(jià)于QCP+QOP=180）由可知OPC與OQC滿(mǎn)足SSA若OP=OQ，則二者全等，此時(shí)P與Q關(guān)于OC對(duì)稱(chēng)若OPOQ，則二者不全等，即為SSA的反例圖形下面研究下這個(gè)四邊形CPOQ在如圖所示條件（OPOQ）下的互逆命題組，即知二可證其余，即，命題1：簡(jiǎn)證如下：構(gòu)造輔助線(xiàn)CG，CH，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理（本質(zhì)是AAS證明OCGOCH）由推出GG=CH，根據(jù)HL證明CPGCQH，從而得出CPG=CQH，從而CPQ+CQO=180命題2：簡(jiǎn)證：相同的輔助線(xiàn)，先證CPGCQH，再用角平分線(xiàn)的判定定理（本質(zhì)是HL證明RtOCGRtOCH）推出OC平分POQ命題3：簡(jiǎn)證：相同的輔助線(xiàn)，先證GG=CH，再根據(jù)AAS證明CPGCQH，余下證明略我們發(fā)現(xiàn)這三個(gè)命題的證明思路本質(zhì)是一樣的，證明兩對(duì)三角形全等，只是證明全等的方法路徑順序有所改變而已這個(gè)四邊形很重要，在許多常見(jiàn)的問(wèn)題中都會(huì)見(jiàn)到它的身影，這是后話(huà)另外還可以應(yīng)用圓的知識(shí)來(lái)證明有關(guān)結(jié)論，略去只是教材中缺乏“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四頂點(diǎn)共圓”的結(jié)論還要注意這個(gè)四邊形與等腰COO的轉(zhuǎn)化，以及OQ + OP =2OH，OQ -OP =2QH問(wèn)題2-4，如圖2-3，在四邊形ABCD中，F(xiàn)在邊CD上，BCAD，BF平分ABC，AF平分BAC，BFAF， CF=DF，BC+AD=AB這個(gè)圖形存在一系列知道三個(gè)條件可以推出其余三個(gè)結(jié)論的命題，他們是否都是真命題？其中有這幾個(gè)是假命題：，反例圖形如四邊形ABCD； ，反例圖形是ABCD； ，反例圖形是ABCD；其他的命題都是真命題；其中四個(gè)命題知三可以推出第四個(gè) 命題1：簡(jiǎn)證如下：顯然兩平行直線(xiàn)AD，BC被AB所截得的同旁?xún)?nèi)角的平分線(xiàn)BF與AF互相垂直，利用等式性質(zhì)對(duì)角的等量關(guān)系進(jìn)行變形可得延長(zhǎng)BF，AD交于點(diǎn)G，由平行平分角結(jié)構(gòu)可以推出等腰AB=AG在等腰ABG中利用三線(xiàn)合一結(jié)構(gòu)（本質(zhì)是AFBAFG）得出BF=FG再由平行平分線(xiàn)結(jié)構(gòu)推出CFBDFG，從而CF=FD命題2：簡(jiǎn)證如下：，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為命題1命題3：，同命題2思路命題4：，同命題2思路命題5：簡(jiǎn)證思路：平行平分線(xiàn)結(jié)構(gòu)推出CFBDFG，平行平分角結(jié)構(gòu)可以推出等腰AB=AG，在等腰ABG中利用三線(xiàn)合一結(jié)構(gòu)得出BFAF，其余問(wèn)題略命題6：簡(jiǎn)證思路：在AB上截取BE=BC，連接EF的條件得出軸對(duì)稱(chēng)全等BCFBEF，再導(dǎo)角證明AEF=180BEF=180BCF=ADF，從而SAS證明AFEAFD命題7：，由條件的對(duì)稱(chēng)性知，同命題5命題8：，由條件的對(duì)稱(chēng)性知，同命題6其他真命題的本質(zhì)都是證明其中四對(duì)全等AFBAFG，CFBDFG，BCFBEF，AFEAFD，中有兩對(duì)成立留待讀者自己思考，有個(gè)別題目需要設(shè)法繞開(kāi)SSA的障礙或者證明三點(diǎn)共線(xiàn)當(dāng)條件強(qiáng)化為直角梯形的圖形時(shí)，所有命題都成立感悟：逆向思維帶來(lái)的逆問(wèn)題變式可以產(chǎn)生很多有意義的問(wèn)題但是有些圖形的情況某些逆命題比較難，可以適當(dāng)向?qū)W生介紹統(tǒng)一法和反證法這樣的例子后面的總結(jié)文章再介紹通過(guò)總結(jié)常見(jiàn)的基本結(jié)構(gòu)，在問(wèn)題2-4中，我的思考模式都是模塊化的思路如何培養(yǎng)學(xué)生這種思維能力是很值得推敲的教學(xué)問(wèn)題，需要在教學(xué)實(shí)踐中慢慢思考總結(jié)一個(gè)圖形的互逆命題組放在一個(gè)整