第4章 車身數(shù)?；A(chǔ)

.,第4章車身曲線曲面的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ),對于汽車、飛機(jī)及其他一些具有復(fù)雜外形的產(chǎn)品，計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造的一個(gè)關(guān)鍵性環(huán)節(jié)，就是用數(shù)學(xué)方法來描述它們的外形，并在此基礎(chǔ)上建立它們的幾何模型。在形狀信息的計(jì)算機(jī)表示中，曲線和曲面的表示方法既要適合計(jì)算機(jī)處理，又要能有效地滿足形狀表示與幾何設(shè)計(jì)的要求，同時(shí)便于形狀信息傳遞和數(shù)據(jù)交換，因此，選擇合適的表示方法很重要。本章首先介紹曲線和曲面的矢量方程和參數(shù)方程，然后分別講授定義汽車車身曲線和曲面的一些常用的、基本的數(shù)學(xué)方法。,.,4.1曲線曲面的矢量方程與參數(shù)方程,4.1.1矢量1.矢量的基本概念矢量：既有大小又有方向的量叫作矢量，又稱向量，如力、力矩、速度、加速度等。如圖4-1所示，從M點(diǎn)向P點(diǎn)連線，就表示一個(gè)矢量，用小寫黑體字母a或表示。i、j、k分別表示沿三個(gè)坐標(biāo)軸正向的單位矢量，則矢量a可表示為：坐標(biāo)形式：（4-1）數(shù)組形式：圖4-1矢量其中為矢量a在三個(gè)坐標(biāo)軸的投影。矢量的模：矢量的大小叫作模，如矢量a的模。單位矢量：模等于1的矢量，設(shè)表示與非零矢量a同方向的單位矢量，則零矢量：模等于零的矢量叫作零矢量，記作，零矢量的方向可以看作是任意的。,.,2.數(shù)量積已知兩個(gè)矢量，兩矢量的夾角為，則這兩個(gè)矢量的數(shù)量積為一個(gè)數(shù)量，有（4-2）當(dāng)時(shí)，。性質(zhì)：1）。2）設(shè)為一個(gè)常數(shù)，則有。3）。,.,3.矢量積已知兩個(gè)矢量，兩矢量的夾角為，則這兩個(gè)矢量的矢量積仍為一個(gè)矢量，有。用行列式的形式來表示矢量積有（4-3）c的方向垂直于a和b所決定的平面，c的指向按右手法則從a轉(zhuǎn)向b來決定。并且有，即以a和b為邊的平行四邊形的面積。當(dāng)，即，且a和b都為非零矢量時(shí)，有ab=0。性質(zhì)：1）。2）。3）設(shè)為一個(gè)常數(shù)，則有。,.,4.混合積三個(gè)矢量的混合積，即兩個(gè)矢量的矢量積，與第三個(gè)矢量的數(shù)量積，記作，已知，則有（4-4）它的絕對值為以矢量a，b，c為棱邊的平行六面體的體積。,.,4.1.2直線的矢量方程如圖4-2所示，已知直線上一點(diǎn)徑矢為，u為平行于直線的任意固定不為零的矢量，若為直線上任意一點(diǎn)的徑矢，為常數(shù)，則直線的矢量方程可寫成：（4-5）圖4-2直線,.,4.1.3平面的矢量方程設(shè)已給平面上任意一個(gè)定點(diǎn)的徑矢和與平面垂直的任意不為零固定的矢量。若為平面上任意一點(diǎn)的徑矢，則與垂直，如圖4-3所示，則有，這就是平面的方程。,.,例1-1已知一平面不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，它們的徑矢為求此平面的矢量方程。解：如下圖所示，設(shè)在平面上且不在同一直線上，矢量，也在平面上，則此平面的法矢為。設(shè)點(diǎn)為平面上任意一點(diǎn)，徑矢為，則此平面的矢量方程為：化簡后得所求的平面矢量方程為：,.,4.1.4曲線的矢量方程和參數(shù)方程1.曲線的參數(shù)化表示空間曲線上的每一點(diǎn)P的坐標(biāo)均被表示為某個(gè)參數(shù)的函數(shù)，如參數(shù)用u表示，則曲線上每一點(diǎn)的笛卡兒坐標(biāo)的參數(shù)式為：（4-6）三個(gè)坐標(biāo)分量組成了曲線上該點(diǎn)的位置矢量，曲線的矢量方程（即參數(shù)u的矢函數(shù)）可寫成：(4-7)曲線對參數(shù)u求導(dǎo)等于其各分量對參數(shù)u求導(dǎo)，其結(jié)果為一個(gè)矢量，稱為導(dǎo)矢。一階導(dǎo)矢稱為切矢。則參數(shù)曲線的切矢量或?qū)Ш瘮?shù)可表示為（4-8）,.,2.法矢量對于空間參數(shù)曲線任意一點(diǎn)，所有垂直于單位切矢量的矢量有一束，且位于同一平面上，該平面稱為法平面。若不為0，則稱方向上的單位矢量為曲線在點(diǎn)P處的主法矢量，記為；稱為曲線在點(diǎn)P處的副法矢量，記為。顯然，矢量，兩兩垂直，構(gòu)成了曲線在點(diǎn)P處的Frenet活動標(biāo)架。其中，將主法矢和副法矢構(gòu)成的平面稱為法平面，主法矢和切矢構(gòu)成的平面稱為密切平面，副法矢和切矢構(gòu)成的平面稱為副法平面。由法平面、密切平面和副法平面構(gòu)成的三面形，稱為曲線在P點(diǎn)的基本三棱形。,.,3.導(dǎo)矢在幾何上的應(yīng)用,設(shè)已：知曲線方程，如圖4-7所示，求曲線上任一點(diǎn)處的切線方程和法平面方程。其中：為切線上任一點(diǎn)的徑矢，為切線上的參數(shù)。過點(diǎn)切線的參數(shù)方程可寫為：或,因?yàn)榍€方程為：,故曲線在點(diǎn)的切矢為,則曲線在的切線方程為,過,.,4.1.5曲線的自然參數(shù)方程在一般的坐標(biāo)系中討論曲線時(shí)，由于人們選取坐標(biāo)的不同而使曲線具有人為的性質(zhì)。曲線自然參數(shù)是自身的弧長，因?yàn)樗乔€的不變量，它不依賴于坐標(biāo)系的選取，即不管坐標(biāo)系如何選取，只要在其上取一初始點(diǎn)，確定一個(gè)方向，取一個(gè)單位長度，則曲線的弧長和參數(shù)增長方向便完全確定了。取曲線本身的弧長作為參數(shù)，研究曲線的一些性質(zhì)，對實(shí)際應(yīng)用和理論分析，都會帶來很多方便。1.自然參數(shù)方程設(shè)有一條空間曲線在其上任取一點(diǎn)作為計(jì)算弧長的初始點(diǎn)，如圖4-8所示。曲線上其他點(diǎn)到之間的弧長是可以計(jì)算的（用弧長積分或累計(jì)弦長公式）。曲線上每一點(diǎn)的位置與它弧長之間有一一對應(yīng)的關(guān)系。,到,.,以曲線弧長作為曲線方程的參數(shù)，這樣的方程稱為曲線的自然參數(shù)方程，弧長則稱為自然參數(shù)。這就說曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是以弧長為參數(shù)的函數(shù)，它的矢量方程為：設(shè)曲線的參數(shù)方程為：因?yàn)椋核裕喊汛氲角€方程中，得自然參數(shù)方程的導(dǎo)矢用來表示，而代表一般參數(shù)方程的導(dǎo)矢。則有其切矢為單位矢量,.,曲率平均曲率的極限叫做曲線在點(diǎn)P處的曲率，記作，即實(shí)際計(jì)算曲率的公式：,直線上任意點(diǎn)P處的曲率都等于零，這與我們直覺認(rèn)識的“直線不彎曲”一致。,.,我們把這個(gè)圓叫做曲線在點(diǎn)P處的曲率圓，把曲率圓的圓心D叫做曲線在點(diǎn)P處的曲率中心，把曲率圓的半徑叫做曲線在點(diǎn)P處的曲率半徑。按上述規(guī)定可知，曲率圓與曲線在點(diǎn)有相同的切線和曲率，且在點(diǎn)鄰近有相同的凹向。因此，在實(shí)際問題中，常常用曲率圓在點(diǎn)附近的一段圓弧來近似代替曲線弧，以使問題簡化。曲率的應(yīng)用：1）在曲線、曲面拼接中和曲線光順處理時(shí)，使用曲率連續(xù)作為判別的準(zhǔn)則；2）在刀位計(jì)算中，為了防止在實(shí)際加工中產(chǎn)生過切，需要計(jì)算曲面在刀具切觸點(diǎn)處的曲率半徑，并要求所選擇的曲率半徑應(yīng)不大于該點(diǎn)的曲率半徑；3)已知曲率值和初始條件，求解曲線方程,曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù),.,3.撓率如圖4-12所示，設(shè)曲線上的點(diǎn)處的單位副法矢量，點(diǎn)處的單位副法矢量為，他們的夾角為，則曲線上點(diǎn)處的撓率為某點(diǎn)的撓率可以平衡曲線在此點(diǎn)處的扭曲程度。撓率大于0、等于0和小于0分別表示曲線為右旋空間曲線、平面曲線和左旋空間曲線。例如，對于平面曲線來說，撓率處處為0,.,1.1.6曲面的參數(shù)方程和矢量方程1.曲面的表示在空間解析幾何中，我們已經(jīng)討論過三維空間平面、二次曲面的性質(zhì)。一般二次曲線生成的旋轉(zhuǎn)面方程是二次的，而一般曲面方程的次數(shù)往往更高，通常是三次或三次以上。，曲面可表示為參數(shù)的矢函數(shù)（曲面的矢量方程）：常表示為參數(shù)平面上的一個(gè)矩形區(qū)域：,它的參數(shù)方程為,圖4-13曲面參數(shù)化中的對應(yīng)關(guān)系,.,所有參數(shù)曲線構(gòu)成參數(shù)曲線網(wǎng)如圖曲面上任一點(diǎn)處總有一個(gè)u向切矢（u線關(guān)于u的偏導(dǎo)矢）和一個(gè)v向切矢（v線關(guān)于v的偏導(dǎo)矢）曲面上任意點(diǎn)的法矢可以根據(jù)該點(diǎn)的偏導(dǎo)矢計(jì)算：,圖4-14曲面上的曲線及其切矢和曲面上的法矢,。,.,2.曲面上任意曲線及其切矢設(shè)已知曲面的矢量方程為,其中雙參數(shù),又是另一參數(shù),的函數(shù),，求曲面上的曲線方程及其切矢。將代入矢量方程，得,當(dāng)參數(shù)變動時(shí)，就得到一條曲線，這正是曲面上的曲線方程，曲面上曲線的切矢為,其中,為坐標(biāo)曲線的切矢。,.,3.曲面上的切平面和法線方程,已知曲面上一點(diǎn),，位置矢量為,，求過,點(diǎn)的切平面和法線方程。先求過的兩個(gè)偏導(dǎo)矢，把它看作附著,于該點(diǎn)的兩個(gè)矢量。如果這兩個(gè)偏導(dǎo)矢不平行，則,，于是我們唯一地得到曲面在點(diǎn),處的切平面的單位法矢,因此過,點(diǎn)的切平面方程為,，其中,為切平面上任意一點(diǎn)位置矢量。,過點(diǎn)的法線方程為,其中,為法線上任一點(diǎn)的位置矢量。,.,4.常用面的參數(shù)表示1)在xy平面上，一張矩形域的平面片如右圖所示，其參數(shù)表示為：(4-25)2)球面。設(shè)一個(gè)球的球心坐標(biāo)（），半徑為r，分別用表示參數(shù)變量，則其參數(shù)表示為：(4-26)式中，。3）簡單旋轉(zhuǎn)面。若一條由定義的曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)，將得到一張旋轉(zhuǎn)面，其參數(shù)表示為：(4-27),.,4.2參數(shù)樣條曲線及孔斯曲面4.2.1三次樣條曲線許多工程技術(shù)中提出的計(jì)算問題對插值函數(shù)的光滑性有較高的要求，如汽車車身、飛機(jī)的機(jī)翼外形、內(nèi)燃機(jī)的進(jìn)排氣門的凸輪曲線，都要求具有較高的光滑程度，不僅要連續(xù)，而且要有連續(xù)的曲率，即二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，這就導(dǎo)致了樣條插值的產(chǎn)生。1.三次樣條函數(shù)的力學(xué)背景如果我們把樣條看成彈性細(xì)梁，壓鐵看成作用在這個(gè)梁的某些點(diǎn)上的集中載荷，那就可把上述畫模線的過程在力學(xué)上抽象為：求彈性細(xì)梁在放置壓鐵點(diǎn)的集中載荷作用下產(chǎn)生的彎曲變形。,數(shù)學(xué)上的三次樣條函數(shù)是在生產(chǎn)實(shí)踐的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。在采用CAD/CAM技術(shù)之前，傳統(tǒng)的汽車、飛機(jī)和船舶的模線都是借助于樣條用手工繪制的。樣條（Spline），即富有彈性的勻質(zhì)細(xì)木條、金屬條或有機(jī)玻璃條。它圍繞著按選定位置放置的重物或壓鐵作彈性彎曲，以獲得所需要的曲線，如圖所示,.,切出兩相鄰壓鐵之間的一段梁來看，只在該段梁的兩端有集中支撐反力作用，因此在這段梁內(nèi)的彎矩是梁長度方向的線性函數(shù)。由歐拉公式有：對于“小撓度”曲線，即的曲線，上述方程近似于,，,其中是彎矩是梁的曲率半徑，它們都隨點(diǎn)的位置而變化。E和J是與梁的材料和形狀有關(guān)的常數(shù)。由于平面曲線的曲率為,因此有,由于在兩個(gè)壓鐵之間,是線性函數(shù)，由式（4-29）可知，每小段上函數(shù),是x的三次多項(xiàng)式。從整個(gè)梁上看，它具有直到二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)（因?yàn)閺恼麄€(gè)梁來說彎矩是連續(xù)的折線函數(shù)），就是分段三次函數(shù)。,三次樣條函數(shù)概念的建立就是在這一力學(xué)背景下產(chǎn)生。,.,2三次樣條插值函數(shù)設(shè)有型值點(diǎn)序列Pi（xi,yi），i=0,1,n，如圖4-17所示。下面來構(gòu)造通過型值點(diǎn)序列的三次樣條插值函數(shù)，由樣條函數(shù)描述的曲線稱為樣條曲線?，F(xiàn)記三次樣條函數(shù)S(x)在x=xi處的函數(shù)值、一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)分別為：S(xi)=yi，S(xi)=mi，S“(xi)=Mi，如圖4-18所示，在每個(gè)小區(qū)間上，S()的二階導(dǎo)數(shù)是線性的。,從圖4-18的比例關(guān)系得:,(4-30),.,將S(xi)積分：再積分一次以小區(qū)間首末兩端的座標(biāo)x=xi-1,S(x)=yi-1和x=xi,S(x)=yi分別代入式(4-32)，得此式即為三次樣條曲線表達(dá)式,將這兩式聯(lián)立解得K和B代入(4-31)、(4-32)得,(4-33),(4-34),.,三次樣條函數(shù)S(x)的本質(zhì)是：一致通過型值點(diǎn)、二階連續(xù)可導(dǎo)的分段三次多項(xiàng)式函數(shù)。,.,在各中間點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，由S(xi-0)=S(xi+0)，即得：上式經(jīng)整理后得如下的“三次樣條曲線的M關(guān)系式”：當(dāng)i取值1,2,到n-1時(shí)，可得到n-1個(gè)形如(4-35)的方程。但未知數(shù)二階導(dǎo)數(shù)Mi卻有n+1個(gè)，即M0,M1,Mn。要唯一定解，必須再附加兩個(gè)方程。通常按實(shí)際問題的具體情況，在樣條兩端，即P0和Pn處給出約束條件，常用的邊界條件有：（1）給定兩端的斜率m0=y0和mn=yn以x=x0,i=1代入式(4-33)，得：以x=xn,i=n代入式(4-33)，得：,iMi-1+2Mi+iMi+1=di(i=1,2,n-1)(4-35),.,式(4-35)和附加的兩個(gè)方程合在一起得到有確定解的線性方程組。寫成矩陣形式為：,（4-38),式中,可用“追趕法”求解方程組(4-38)，求出Mi(i=0,n)，全部未知數(shù)求解完畢。關(guān)于“追趕法”求解方程的原理和程序參見本書附錄A。,.,（2）給定兩端的二階導(dǎo)數(shù)M0=y0,Mn=yn這可以寫成:2M0+0M1=2y00Mn-1+2Mn=2yn此時(shí)式(4-38)中的0=0,d0=2y0，n=0,dn=2yn。如果y0=yn=0,則稱為自然插值三次樣條函數(shù)。(3)如果取0=-2,d0=0，n=-2,dn=0則M0=M1,Mn-1=Mn。從式(4-34)可以看出，在此情況下樣條的第一段和最末一段是拋物線。這就是拋物端邊界條件。,.,4.2.2三次參數(shù)樣條曲線以上所述三次樣條曲線在工程應(yīng)用上有一個(gè)限制，即曲線小撓度。在大撓度情況下，三次樣條函數(shù)的光順性可能變壞，甚至不能使用。有時(shí)，大撓度經(jīng)過旋轉(zhuǎn)座標(biāo)軸可變成小撓度。如圖,點(diǎn)列Qi在oxy座標(biāo)系中斜率絕對值遠(yuǎn)大于1。其中t為參數(shù)。在曲線的參數(shù)表達(dá)式中，常取曲線內(nèi)在的量弧長作為參數(shù)，它與坐標(biāo)系無關(guān)。若將t取作弧長s，則x和y作為分量，dxds和dyds都不會大于1。,在座標(biāo)系中就滿足小撓度條件，由此可見，用三次樣條函數(shù)表示的插值曲線，依賴于座標(biāo)系的選擇，不具有幾何不變性。有時(shí)旋轉(zhuǎn)座標(biāo)軸也不可能滿足小撓度條件，例如封閉曲線就是如此。在這些情況下，最常用的處理辦法之一是將曲線參數(shù)化，即將曲線上點(diǎn)的座標(biāo)分別用某種參數(shù)表示:,.,在(x,s),(y,s)平面上各構(gòu)造一個(gè)三次樣條函數(shù)：,曲線上的點(diǎn)比較密時(shí)，弦長之和近似于弧長，如果取弦長作為參數(shù)，也能滿足小撓度條件。因此取累加弦長作為三次參數(shù)樣條曲線的參數(shù)。設(shè)給定個(gè)點(diǎn)Pi（xi,yi）,i=0,1,n,兩相鄰點(diǎn)之間的弦長為：,這里si的幾何意義是累加弦長，它近似等于弧長參數(shù)。在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)pi都有一個(gè)確定的si與之對應(yīng)。當(dāng)然pi的每一個(gè)坐標(biāo)xi或yi也與si一一對應(yīng)。這就相當(dāng)于給定了兩組點(diǎn)（xi,si）和（yi,si）,i=0n。對于每一組點(diǎn)，都可按4.2.1節(jié)所述方法構(gòu)造一個(gè)三次樣條函數(shù)。這種曲線稱為累加弦長三次參數(shù)樣條曲線。在平面（或空間）曲線的情況下，構(gòu)造三次參數(shù)樣條曲線相當(dāng)于構(gòu)造兩（或三）遍三次樣條曲線。累加弦長三次參數(shù)樣條計(jì)算簡單可靠，插值效果好，因此目前應(yīng)用較多。,.,下面說明累加弦長參數(shù)樣條為什么能夠解決“大撓度”的問題。因?yàn)閰?shù)s是曲線的近似弧長，可以近似地認(rèn)為,即,因此下列不等式對一切s均成立,也就是當(dāng)以累加弦長為參數(shù)時(shí)，對于各個(gè)坐標(biāo)函數(shù)來說，坐標(biāo)增量總是小于弦長，即各個(gè)坐標(biāo)增量與弦長的比值為,其絕對值不會大于1，因此不會出現(xiàn)“大撓度”的問題。這就是累加弦長參數(shù)樣條對于“大撓度”曲線也具有較好的擬合效果的原因。,.,4.2.3弗格森曲線,下面討論參數(shù)樣條曲線中的某一段，并用端點(diǎn)及端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)來表達(dá)出這段曲線的方程。設(shè)參數(shù)為u，第i段曲線對應(yīng)的參數(shù)范圍為，在0,1區(qū)間上對應(yīng)于兩個(gè)端點(diǎn)型值點(diǎn)的函數(shù)值及一階導(dǎo)數(shù)值分別為r(0),r(1),r(0),r(1)。則插值函數(shù)為那么將四個(gè)已知條件代入以上兩式，可解得四個(gè)系數(shù)a0,a1,a2,a3,再將求得的系數(shù)代回上式則得曲線段的方程為：(4-41)式中我們稱F0(u),F1(u),G0(u),G1(u)為埃爾米特(Hermite)基函數(shù)。,.,由式(4-41)可見，F(xiàn)0與F1專門控制端點(diǎn)的函數(shù)值對曲線形態(tài),的影響，G0和G1專門控制端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)對曲線形態(tài)的影響?；蛘哒f，F(xiàn)0和G0控制左端的影響，F(xiàn)1和G1控制右端的影響。由式(4-41)確定的曲線可以進(jìn)一步整理為矩陣形式：（4-42）該曲線也叫弗格森曲線。由（4-42）式可知，三次弗格森曲線滿足：其中，、分別為三次弗格森曲線段兩個(gè)端點(diǎn)的位置矢量和切矢量。三次Ferguson曲線，如圖4-20所示。,圖4-20Fersugon參數(shù)曲線,.,4.2.4孔斯曲面孔斯（S.A.Coons)是美國波音公司搞實(shí)際設(shè)計(jì)的專家。1964年他提出了一種適用于CAGD的構(gòu)作自由型曲面的方法。他應(yīng)用曲面片拼合技術(shù)構(gòu)造飛行器外形，發(fā)表了論文并撰寫講稿?？姿骨娣椒ǖ幕舅枷胧牵喊阉枋龅那婵醋魇怯扇舾蓚€(gè)曲面片光滑拼接而成，每個(gè)曲面片一般用四條邊界曲線來定義，并且盡量用簡縮符號來表達(dá)。在設(shè)計(jì)曲面時(shí)，設(shè)計(jì)人員從單個(gè)的曲面或很少的曲面片開始，如果得到的這張?jiān)记娌环献约旱脑竿?，設(shè)計(jì)者可以修改原始的輸入信息，同時(shí)添加一些新的用來控制曲面形狀的曲線，于是就可以用這些曲線作為邊界，劃分出更小的曲面片，讓計(jì)算機(jī)重新生成一張曲面。在曲面片之間相鄰接的邊界上，可以使得位置、斜率、曲率連續(xù)，實(shí)際上是所期望的任何高階偏導(dǎo)矢互相匹配，這就在很大程度上保證了整張曲面具有足夠的光滑性。參數(shù)化方法為曲面造型帶來許多優(yōu)點(diǎn)，而分片技術(shù)則可將按給定邊界約束構(gòu)造的若干曲面片拼合成一張完整的曲面。Coons對自由曲面造型作出了杰出的貢獻(xiàn)，其方法理論嚴(yán)密、描述能力強(qiáng)，對自由曲面造型技術(shù)的發(fā)展具有深遠(yuǎn)的意義。,.,埃爾米特基函數(shù)F0,F1,G0,G1在孔斯曲面的生成和表示中起著重要的作用，它們的功能是將給定的四個(gè)端點(diǎn)向量加權(quán)平均而產(chǎn)生一條曲線段，或者把四條給定的邊界曲線“混合”起來生成一張曲面。因此埃爾米特基函數(shù)也有權(quán)函數(shù)、調(diào)配函數(shù)或混合函的稱呼。空間曲面可以用定義在單位正方形區(qū)域上的雙參數(shù)向量函數(shù)予以表示：,r(u,0)，r(u,1)，r(0,w)，r(1,w)表示曲面的四條邊界。r(0,0)，r(1,1)，r(0,1)，r(1,0)為曲面上四個(gè)角點(diǎn)。在孔斯曲面的表示式中，大量使用著由孔斯創(chuàng)造的一套表示參數(shù)曲線和參數(shù)曲面的簡縮符號，見圖4-21,掌握了它，一些運(yùn)算就顯得簡單明了，不致于發(fā)生混亂。,它們主要是：(1)參數(shù)u和w之間的逗號及向量各分量之間的逗號都省略，只討論一張曲面時(shí)，向量函數(shù)r(u，w)前面字母r省略，如用uw=x(uw),y(uw),z(uw)表示一張曲面；(2)u0，u1，0w，1w表示曲面的四條邊界；(3)00，01，10，11示曲面的四個(gè)角點(diǎn)；,.,續(xù)矩陣C的元素排列非常對稱整齊，可以分成四組。左上角代表四個(gè)角點(diǎn)的位置向量，左下角和右上角代表邊界曲線在四個(gè)