競賽專題-因式分解

競賽專題：因式分解一、重要公式1、a2b2=(ab)(ab)；an1=(a1)( an-1an-2an-3 a2a1)2、a22abb2=(ab)2；3、x2(ab)xab=(xa)(xb);4、a3b3=(ab)(a2abb2); a3b3=（ab）(a2abb2);二、因式分解的一般方法及考慮順序1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法；2、常用方法與技巧：換元法、主元法、拆項法、添項法、配方法、待定系數(shù)法。3、考慮順序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法；（4）分組分解法；1、添項拆項例1因式分解：（1）x4x21；（2）a3b3c33abc（1）分析：x41若添上2x2可配成完全平方公式解：x4x21x42x21x2=(x21)2x2=(x21x)(x21x)（2）分析：a3b3要配成（ab）3應(yīng)添上兩項3a2b3ab2解：a3b3c33abca33a2b3ab2b3c33abc3a2b3ab2 =(ab)3c33ab(abc) =(abc)(ab)2(ab)cc23ab(abc) =(abc)(a2b2c2abacbc)例2因式分解：（1）x311x20； （2）a5a1（1）分析：把中項11x拆成16x+5x 分別與x5,20組成兩組，則有公因式可提。（注意這里16是完全平方數(shù)）解：x311x20x316x5x20x(x216)5(x4)=x(x4)(x4)5(x4) =(x4)(x24x5)（2）分析：添上a2 和a2兩項，分別與a5和a1組成兩組，正好可以用立方差公式解：a5a1a5a2a2a1=a2(a31)a2a1=a2(a1)( a2a1)a2a1=(a2a1)(a3a21)2、待定系數(shù)法例3因式分解2x23xy9y214x3y20解：2x23xy9y2=(2x3y)(x3y),故用待定系數(shù)法，可設(shè)2x23xy9y214x3y20=(2x3ya)(x3yb)，其中a,b是待定的系數(shù)，比較右邊和左邊的x和y兩項的系數(shù)，得 解得 2x23xy9y214x3y20=(2x3y4)(x3y5)另解原式=2x2(3y14)x(9y23y20)，這是關(guān)于x的二次三項式 常數(shù)項可分解為(3y4)(3y5),用待定系數(shù)法，可設(shè)2x2(3y14)x(9y23y20)=mx(3y4)nx(3y5)比較左、右兩邊的x2和x項的系數(shù)，得m=2, n=12x23xy9y214x3y20=(2x3y4)(x3y5)3、 重點定理1、余式定理：整系數(shù)多項式f(x)除以(x-a)商為q(x)，余式為r，則f(x)=(x-a)q(x)+r。當一個多項式f(x) 除以(x a) 時， 所得的余數(shù)等于 f(a)。例如：當 f(x)=x2+x+2 除以 (x 1) 時，則余數(shù)=f(1)=12+1+2=4。2、因式定理：即為余式定理的推論之一：如果多項式f(a)=0，那么多項式f(x)必定含有因式x-a。反過來，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。四、填空題1、兩個小朋友的年齡分別為a和b，已知a2ab=99，則a= ，b= 。2、計算：(x6)2(x6)2=(x236)2 。3、若xy=4，x2y2=10，則(xy)2= 。4、分解因式：a2b24a2b3= 。5、分解因式：4x331x15= 。6、分解因式：x41987x21986x1987= 。五、選擇題7、x2yy2zz2xx2zy2xz2y2xyz因式分解后的結(jié)果是（ ）。 （A）(yz)(xy)(xz) （B）(yz)(xy)(xz) （C）(yz)(xy)(xz) （D）(yz)(xy)(xz)8、已知7241可被40至50之間的兩個整數(shù)整除，則這兩個整數(shù)是（ ）。（A）41，48 （B）45，47 （C）43，48 （D）41，479、n為某一自然數(shù)，代入代數(shù)式n3n中計算其值時，四個同學算出如下四個結(jié)果，其中正確的結(jié)果只能是（ ）。（A）388944 （B）388945 （C）388954 （D）388948六、將下列各式分解因式10、x4x2y2y4 11、x4412、x423x2y2y4 13、x34x2914、x341x30 15、x35x21816、x33x2y3xy22y3 17、x33x23x718、x39ax227a2x26a3 19、x36x211x620、a3b33(a2b2)3(ab)221、3x37x10 22、x311x231x21七、解答題23、已知xy4是x2y2mx3y4的一個因式，求m的值。24、求方程xyxy1=3的整數(shù)解。 解：原方程可化為(