思科數(shù)學(xué)第9講指數(shù)與指數(shù)函數(shù).doc

第9講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)梳理1根式(1)根式的概念如果一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足xna(n1，nN*)，那么稱x為a的n次方根(2)根式的性質(zhì)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根是一個(gè)負(fù)數(shù)這時(shí)，a的n次實(shí)數(shù)方根只有一個(gè)，記為x.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)這時(shí)，正數(shù)a的正的n次實(shí)數(shù)方根用符號(hào)表示，負(fù)的n次實(shí)數(shù)方根用符號(hào)表示，它們可以合并寫(xiě)成(a0)的形式.0的n次實(shí)數(shù)方根等于0，若xna，則x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.()na.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，|a|負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義(1)a(a0，m，nN*，n1)(2)a(a0，m，nN*，n1)3指數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)律asatast，(as)tast，(ab)tatbt，其中s、tQ，a0，b0.4指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)yaxa10a1圖象定義域R值域(0，)指數(shù)函數(shù)的圖象及其變換將指數(shù)函數(shù)yf(x)ax(a0，a1)進(jìn)行平移、翻折，可作出yy0f(xx0)，y|f(x)|，yf(|x|)等函數(shù)的圖象，要善于靈活應(yīng)用這類函數(shù)圖象的變換畫(huà)圖和解題指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)除在定義域內(nèi)具有單調(diào)性外，不具有奇偶性和周期性等，但可以與其他函數(shù)進(jìn)行復(fù)合，所構(gòu)成的簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)可能具有奇偶性、周期性、對(duì)稱性等性質(zhì)，要靈活應(yīng)用這類性質(zhì)解題雙基自測(cè)1._.解析|4|4.答案42已知函數(shù)f(x)4ax1的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_解析當(dāng)x1時(shí)，f(1)5.答案(1,5)3已知f(x)2x2x，若f(a)3，則f(2a)_.解析f(x)2x2x，f(a)3，2a2a3，f(2a)22a22a(2a2a)22927.答案74已知a，函數(shù)f(x)ax，若實(shí)數(shù)m，n滿足f(m)f(n)，則m，n的大小關(guān)系為_(kāi)解析a(0,1)，則f(x)ax為R上的減函數(shù)aman，mn.答案mn5函數(shù)f(x)的定義域是_解析由12x0，得2x1，x0.答案(，0考向一指數(shù)冪的運(yùn)算【例1】計(jì)算下列各式：(1)1.5080.25()6 ；(2).審題視點(diǎn) 先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再進(jìn)行運(yùn)算解(1)原式1(23)262427110.(2)令am，bn，則原式mm3a. 化簡(jiǎn)結(jié)果：若題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示；若題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式給出，則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示；結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪【訓(xùn)練1】 化簡(jiǎn)下列各式(其中各字母均為正數(shù))(1)；(2)ab2.解(1)原式ab.(2)原式ab3ab3ab.考向二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】(1)函數(shù)ya2 010x2 010(a0，且a1)恒過(guò)點(diǎn)_(2)方程2x2x的解的個(gè)數(shù)為_(kāi)審題視點(diǎn) 利用指數(shù)函數(shù)的圖象解析(1)a01，該函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(2 010,2 011)(2)方程的解可看作函數(shù)y2x和y2x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別作出這兩個(gè)函數(shù)圖象(如圖)由圖象得只有一個(gè)交點(diǎn)，因此該方程只有一個(gè)解答案(2 010,2 011)(2)1 (1)指數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的實(shí)質(zhì)是利用了a01(a0)，故應(yīng)令冪指數(shù)等于0求定點(diǎn)的坐標(biāo)(2)將方程解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用【訓(xùn)練2】 如圖，過(guò)原點(diǎn)O的直線與函數(shù)y2x的圖象交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)B作y軸的垂線交函數(shù)y4x的圖象于點(diǎn)C.若AC平行于y軸求點(diǎn)A的坐標(biāo)解設(shè)C(a,4a)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，ACy軸，x1a，y12x12a，即A(a,2a)，又BCx軸y24a，y22x24a.x22a，即B(2a,4a)又點(diǎn)O、A、B共線，2a2，即a1，A的坐標(biāo)為(1,2)考向三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【例3】設(shè)a0且a1，函數(shù)ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值審題視點(diǎn) 換元令tax，利用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)建方程獲解解令tax(a0且a1)，則原函數(shù)化為y(t1)22(t0)當(dāng)0a1時(shí)，x1,1，tax，此時(shí)f(t)在上為增函數(shù)所以f(t)maxf2214.所以216，所以a或a.又因?yàn)閍0，所以a.當(dāng)a1時(shí)，x1,1，tax，此時(shí)f(t)在上是增函數(shù)所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3(a5舍去)綜上得a或3. 指數(shù)函數(shù)問(wèn)題一般常與其它函數(shù)復(fù)合本題利用換元法將原函數(shù)化為二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出原函數(shù)的單調(diào)性，從而獲解由于指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)的大小，所以要注意對(duì)底數(shù)的分類討論，避免漏解【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)x3.(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)討論f(x)的奇偶性；(3)求證：f(x)0.(1)解由2x10，可解得x0，定義域?yàn)閤|x0(2)解f(x)(x)3x3x3x3x3x3x3x3f(x)f(x)是(，0)(0，)上的偶函數(shù)(3)證明當(dāng)x0時(shí)，2x10，x30，即f(x)0.又f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)f(x)f(x)0，f(x)在(，0)(0，)上恒大于零難點(diǎn)突破5如何求解新情景下指數(shù)函數(shù)的問(wèn)題高考中對(duì)指數(shù)函數(shù)的考查，往往突出新概念、新定義、新情景中的問(wèn)題，題目除最基本問(wèn)題外，注重考查一些小、巧、活的問(wèn)題，突出考查思維能力和化歸等數(shù)學(xué)思想一、新情景下求指數(shù)型函數(shù)的最值問(wèn)題的解法【示例】 設(shè)函數(shù)yf(x)在(，)內(nèi)有定義對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK(x)取函數(shù)f(x)2xex，若對(duì)