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文檔簡介
精品文檔以一道高考題為例談求二面角大小的四種思路 求二面角的(平面角)大小是高考數學命題的熱點,本文以2014年浙江省高考數學理科試卷第20題(全卷共22題)的第(2)小題為例,從不同視角談求二面角大小的四種思路,供參考! 試題如圖1,在四棱錐ABCDE中,平面ABC平面BCDE,CDE=BED=90,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=2.求二面角BADE的大小. 草稿先在草稿紙上重新畫出題設示意圖,然后按題意標出五條棱的已知長度2、2、1、1、2和兩個直角記號(如圖1),接著按實際比例和角度獨立畫出底面直角梯形BCDE(如圖2)便于觀察,可以在上述兩圖中依次補充標出BD=2、BC=2,這時就明白了DBBC,這就捕捉住了解題的起筆靈感. 解在四棱錐的底面直角梯形BCDE中,兩次用勾股定理算得BD=12+12=2、BC=(2-1)2+12=2,則BD2+BC2=4=CD2,則DBBC(勾股定理的逆定理).又因為平面ABC平面BCDE,則BD平面ABC(兩平面垂直的性質定理),則BDAC(線面垂直的定義).又同理得BCAC,則AC平面BCDE(線面垂直的判定定理),進而可求出AD=6、AE=AC2+CD2+DE2=7,同理得ADDE(以上表述是下面多種思路及解法的共同開頭環(huán)節(jié)). 思路一運用定義法 解法1如圖3,先作BHAD于H,再作HFAD交AE于F,則BHF是二面角BADE的平面角. 在RtABD中,BH=2?26=23,AH=226=236=23AD.在ADE中,已作HFAD、已證DEAD,則HFDE.又已求AHAD=23,則HF=23DE=23,AF=23AE=273. 在ABE中,兩次用余弦定理列方程 AF2+AB2-BF22?AF?AB=cosBAF=cosBAE=AE2+AB2-BE22?AE?AB,代入解得BF=23.在等腰BHF中,BF=HF,則 cosBHF=BH2?FH=32,則BHF=30.所以二面角BADE的大小為30. 解法2提示:已證ADDE,再作DF1AD交直線AB于F1,則EDF1是二面角BADE的平面角. 評注用定義法求二面角的大小,首先要過二面角的棱上某點分別在兩個半平面內作出或找到垂直于棱的線段而構成二面角的平面角,這牽引著后面的計算化歸;雖然用定義法求二面角大小的演算較繁瑣,但它卻是后續(xù)解法的概念依托和計算基礎. 思路二運用體積法 解法3設二面角BADE的平面角為銳角,如圖1已證ADDE,則點E到平面ABD的距離為DE?sin . 由于VEABD=VABED,AC平面BCDE,則13?SRtABD?(DE?sin )=13?SRtBED?AC,即13?2?(1?sin )=13?12?2,則sin =12(為銳角), 則 =30.所以二面角BADE的平面角大小為30. 解法4提示:設二面角BADE的平面角為銳角,如圖3作BHAD于H,則點B到平面ADE的距離為BH?sin , 評注變換同一個三棱錐的相對底面與高,巧妙地運用方程思想,用體積法求二面角的大小,過程簡潔、省時實用. 思路三運用向量法 解法5提示:適當建立空間直角坐標系后,通過解方程組求出半平面ADB的法向量n1、半平面ADE的法向量n2,則二面角BADE的平面角適合公式 cos =cosn1,n2=n1?n2n1n2(酌情取正號或負號). 解法6取直線DE、DC分別為x軸、y軸,建立如圖4所示空間直角坐標系Dxyz,則點D(0,0,0)、E(1,0,0)、B(1,1,0)、A(0,2,2),則DE=(1,0,0).作BHAD于 H,則二面角BADE的平面角等于向量DE與HB所成的角. 同解法1得AH=2AD3,則 DH=DA3, 則 H(0,23,23),則 HB=(1,13,-23), 則 HB=23.因為cosDE,HB=DE?HBDE?HB=32,所以DE,HB=30.即二面角BADE的大小等于30. 評注解法5是教科書介紹、大家熟知的向量法,計算兩個(面)法向量的通法比較費時,最后確定二面角的大小還要鑒別是取n1,n2還是取180-n1,n2,全程頗費周折;相比之下,解法6利用“線法向量”就易學易用,避繁就簡! 思路四運用垂直三折線公式圖5解法7將解法1的圖3提煉成圖5,其中BE=1、ED=1、DH=136、HB=23,且DHDE、DHHB,則運用教科書的例題結論求得,二面角BHDE即就是原二面角BADE的平面角,cos =HB2+DE2+DH2-BE22?HB?DE=43+1+23-12231=32, 則 =30.所以二面角BADE的大小為30. 評注為了讀者們易記、活用,可將目前人教A版高中數學課標教科書選修2-1第32節(jié)的例2結論重新表述成如果兩條異面直線H1P1與H2P2的公垂線段是H1H2,那么二面角P1-H1H2-P2的平面角適合余弦公式 cos =H1P21+H2P22+H1H22-P1P222?H1P1?H2P2. 最后指出,引導學生平時自主摸索或閱讀理解多種解題思路,養(yǎng)成探究、博覽、應
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