D31中值定理[同濟大學高等數(shù)學

第三章,中值定理,應(yīng)用,研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài),利用導數(shù)解決實際問題,羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式(第三節(jié)),微分中值定理,與導數(shù)的應(yīng)用,一、羅爾(Rolle)定理,第一節(jié),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,二、拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,第三章,費馬(fermat)引理,一、羅爾(Rolle)定理,且,存在,證:設(shè),則,費馬目錄上頁下頁返回結(jié)束,證畢,羅爾（Rolle）定理,滿足:,(1)在區(qū)間a,b上連續(xù),(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,(3)f(a)=f(b),使,證:,故在a,b上取得最大值,M和最小值m.,若M=m,則,因此,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,若Mm,則M和m中至少有一個與端點值不等,不妨設(shè),則至少存在一點,使,注意:,1)定理條件條件不全具備,結(jié)論不一定成立.,例如,則由費馬引理得,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,使,2)定理條件只是充分的.,本定理可推廣為,在(a,b)內(nèi)可導,且,在(a,b)內(nèi)至少存在一點,證明提示:設(shè),證F(x)在a,b上滿足羅爾定理.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例1.證明方程,有且僅有一個小于1的,正實根.,證:1)存在性.,則,在0,1連續(xù),且,由介值定理知存在,使,即方程有小于1的正根,2)唯一性.,假設(shè)另有,為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件,至少存在一點,但,矛盾,故假設(shè)不真!,設(shè),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,二、拉格朗日中值定理,(1)在區(qū)間a,b上連續(xù),滿足:,(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,至少存在一點,使,思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù),作輔助函數(shù),顯然,在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,且,證:,問題轉(zhuǎn)化為證,由羅爾定理知至少存在一點,即定理結(jié)論成立.,拉氏目錄上頁下頁返回結(jié)束,證畢,拉格朗日中值定理的有限增量形式:,推論:,若函數(shù),在區(qū)間I上滿足,則,在I上必為常數(shù).,證:在I上任取兩點,日中值公式,得,由的任意性知,在I上為常數(shù).,令,則,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例2.證明等式,證:設(shè),由推論可知,(常數(shù)),令x=0,得,又,故所證等式在定義域上成立.,自證:,經(jīng)驗:,欲證,時,只需證在I上,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例3.證明不等式,證:設(shè),中值定理條件,即,因為,故,因此應(yīng)有,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,三、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi),至少存在一點,使,滿足:,要證,柯西目錄上頁下頁返回結(jié)束,證:作輔助函數(shù),且,使,即,由羅爾定理知,至少存在一點,思考:柯西定理的下述證法對嗎?,兩個不一定相同,錯!,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,上面兩式相比即得結(jié)論.,柯西定理的幾何意義:,注意:,弦的斜率,切線斜率,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例4.設(shè),至少存在一點,使,證:結(jié)論可變形為,設(shè),則,在0,1上滿足柯西中值,定理條件,因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點,使,即,證明,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例5.試證至少存在一點,使,證:,法1用柯西中值定理.,則f(x),F(x)在1,e上滿足柯西中值定理條件,令,因此,即,分析:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,例5.試證至少存在一點,使,法2令,則f(x)在1,e上滿足羅爾中值定理條件,使,因此存在,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系,羅爾定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的應(yīng)用,(1)證明恒等式,(2)證明不等式,(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論,關(guān)鍵:利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù),費馬引理,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,思考與練習,1.填空題,1)函數(shù),在區(qū)間1,2上滿足拉格朗日定理,條件,則中值,2)設(shè),有,個根,它們分別在區(qū)間,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,上.,方程,2.設(shè),且在,內(nèi)可導,證明至少存,在一點,使,提示:,由結(jié)論可知,只需證,即,驗證,在,上滿足羅爾定理條件.,設(shè),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,3.若,可導,試證在其兩個零點間一定有,的零點.,提示:,設(shè),欲證:,使,只要證,亦即,作輔助函數(shù),驗證,在,上滿足,羅爾定理條件.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,4.思考:在,即,當,時,問是否可由此得出,不能!,因為,是依賴于x的一個特殊的函數(shù).,因此由上式得,表示x從右側(cè)以任意方式趨于0.,應(yīng)用拉格朗日中值定理得,上對函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,作業(yè),P1327,8,10,12,14,15,提示:,題15.,題14.考慮,第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束,費馬(16011665),法國數(shù)學家,他是一位律師,數(shù)學,只是他的業(yè)余愛好.,他興趣廣泛,博,覽群書并善于思考,在數(shù)學上有許多,重大貢獻.,他特別愛好數(shù)論,他提出,的費馬大定理:,至今尚未得到普遍的證明.,他還是微積分學的先驅(qū),費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中,提煉出來的.,拉格朗日(17361813),法國數(shù)學家.,他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,近百,余年來,數(shù)學中的許多成就都直接或間,接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學,產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一.,柯西(17891857),法國數(shù)學家,他對數(shù)學的貢獻主要集中,在微積分學,柯,西全集共有27卷.,其中最重要的的是為巴黎綜合學,校編寫的分析教程,無窮小分析概論,微積,分在幾何上的應(yīng)用等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠.,對數(shù)學的影,他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分,所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展.,復變函數(shù)和微分方程方面.,一生