小學(xué)5年級全冊數(shù)學(xué)知識點匯總第7講：容斥定理（教師版）.

第七講 容斥定理 1兩集合容斥定理如果被計數(shù)的事物有A、B兩類，那么，A類B類元素個數(shù)總和= 屬于A類元素個數(shù)+ 屬于B類元素個數(shù)既是A類又是B類的元素個數(shù)。（AB = A+B - AB)2三集合容斥定理如果被計數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類和B類和C類元素個數(shù)總和= A類元素個數(shù)+ B類元素個數(shù)+C類元素個數(shù)既是A類又是B類的元素個數(shù)既是A類又是C類的元素個數(shù)既是B類又是C類的元素個數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的元素個數(shù)。三個集合的容斥關(guān)系公式：ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC教學(xué)重點：兩集合容斥定理找對A BAB AB教學(xué)難點：三集合容斥定理例1.某區(qū)100個外語教師懂英語或俄語,其中懂英語的75人,既懂英語又懂俄語的20人,那么懂俄語的教師為人.答案45解析：依題意，被計數(shù)的事物懂英語的教師和懂俄語的教師有兩類，懂英語的教師稱為“A類元素”，懂俄語的教師稱為“B類元素”， 設(shè)懂俄語的教師為x人AB = A+B - AB=75+x-20=100X=45 例2.有長8厘米,寬6厘米的長方形與邊長為5厘米的正方形,如圖,放在桌面上(陰影是圖形的重疊部分),那么這兩個圖形蓋住桌面的面積是平方厘米.答案 67解析:依題意，被計數(shù)的事物長方形的面積與正方形的面積有兩類，長方形的面積稱為“A類元素”，正方形的面積稱為“B類元素”， AB = A+B - AB=68+55-431/2=67例3. 求不超過20的正整數(shù)中是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的數(shù)共有多少個。答案 13解析：依題意，被計數(shù)的事物不超過20的正整數(shù)中是2的倍數(shù)與不超過20的正整數(shù)中是3的倍數(shù)有兩類，不超過20的正整數(shù)中是2的倍數(shù)稱為“A類元素”，不超過20的正整數(shù)中是3的倍數(shù)稱為“B類元素”，A=202=10 B=203=62 AB=206=32AB = A+B - AB=10+6-3=13例4. 一個班有42人，參加合唱隊的有30人，參加美術(shù)組的有25人，有5人什么都沒有參加，求兩種都參加的有多少人？答案 8解析：依題意，被計數(shù)的事物有參加合唱隊，美術(shù)組兩類，參加合唱隊”稱為“A類元素”，“參加美術(shù)組”稱為“B類元素”， AB = A+B - AB=30+25-x=42-5 X=8 例5. 某個班的全體學(xué)生在進(jìn)行了短跑、游泳、投擲三個項目的測試后，每人至少有一項達(dá)到了優(yōu)秀，達(dá)到了優(yōu)秀的這部分學(xué)生情況如下表：短跑游泳投擲短跑、游泳短跑、投擲游泳、投擲短跑、游泳、投擲1 71 81 56652求這個班的學(xué)生共有多少人？答案 35解析：依題意，記A類元素為：短跑達(dá)優(yōu)秀。B類元素為：游泳達(dá)優(yōu)秀。C類元素為：投擲達(dá)優(yōu)秀。ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=17+18+15-6-6-5+2=35例6 某校六班有學(xué)生45人，每人在暑假里都參加體育訓(xùn)練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問：三項都參加的有多少人？答案3解析 記A類元素為：參加足球隊的人數(shù)；記B類元素為：參加排球隊的人數(shù)； 記C類元素為：參加游泳隊的人數(shù)。設(shè)三項都參加的有x人ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=25+22+24-12-9-8+X=45 X=3例7對某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則有既喜歡看球賽又喜歡看電影的有多少人?答案3解析 記A類元素為：喜歡看球賽的人；記B類元素為：喜歡看戲劇的人； 記C類元素為：喜歡看電影的人。設(shè)既喜歡看球賽又喜歡看電影的有x人ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=58+38+52-18-16-x+12=100X=26A1. 某單位有青年員工85人，其中68人會騎自行車，62人會游泳，既不會騎車又不會游泳的有12人，則既會騎車又會游泳的有( )人A.57 B.73 C.130 D.69答案A解析 記A類元素為：會騎自行車；記B類元素為：會游泳。設(shè)既會騎車又會游泳的有x人。AB = A+B - AB=68+62-AB=85-122.在1至10000中不能被5或7整除的數(shù)共有個.答案 6857解析 記A類元素為：在1至10000中能被5整除的數(shù)A=1000052000記B類元素為：在1至10000中能被7整除的數(shù)B=1000071428.6 B取整數(shù)B=1428AB=1000035285.7 B取整數(shù)B=285設(shè)在1至10000中不能被5或7整除的數(shù)共有x個。AB = A+B - AB=68+62-AB=2000+1428 - 285=10000-x x =68573.在100個學(xué)生要么對音樂有興趣要么對體育有興趣,音樂愛好者有56人,體育愛好者有75人,那么既愛好音樂,又愛好體育的人有人答案 31解析 記A類元素為：音樂愛好者；記B類元素為：體育愛好者。AB = A+B - AB=56+75-AB=100 AB=314. 電視臺向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，其中11人兩個頻道都看過。兩個頻道都沒看過的有多少人？答案15解析 記A類元素為：看過2頻道的人數(shù)；記B類元素為：看過8頻道的人數(shù)。設(shè)兩個頻道都沒看過的有x人AB = A+B - AB=62+34-11=100-x x=155 某班統(tǒng)計考試成績，數(shù)學(xué)得90分上的有25人;語文得90分以上的有21人;兩科中至少有一科在90分以上的有38人。問兩科都在90分以上的有多少人?答案 8解析 記A類元素為：數(shù)學(xué)得90分上的人數(shù)；記B類元素為：語文得90分以上的人數(shù)。AB = A+B - AB=25+21-38=86 某班同學(xué)中有39人打籃球，37人跑步，25人既打籃球又跑步，問全班參加籃球、跑步這兩項體育活動的總?cè)藬?shù)是多少?答案 51解析 記A類元素為：打籃球的人數(shù)；記B類元素為：跑步的人數(shù)。AB = A+B - AB=39+37-25=51B7、某車間有工人100人，其中有5個人只能干電工工作，有77人能干車工工作，86人能干焊工工作，既能干車工工作又能干焊工工作的有多少人?答案68解析 記A類元素為：能干車工工作的人數(shù)；記B類元素為：能干焊工工作的人數(shù)。設(shè)既能干車工工作又能干焊工工作的有x人.AB = A+B - AB=77+86-x=100-5 x=688、 某年級的課外學(xué)科小組分為數(shù)學(xué)、語文、外語三個小組，參加數(shù)學(xué)小組的有23人，參加語文小組的有27人，參加外語小組的有18人;同時參加數(shù)學(xué)、語文兩個小組的有4人，同時參加數(shù)學(xué)、外語小組的有7人，同時參加語文、外語小組的有5人;三個小組都參加的有2人。問：這個年級參加課外學(xué)科小組共有多少人?答案54解析 記A類元素為：數(shù)學(xué)小組的人數(shù)；記B類元素為：語文小組的人數(shù)；記C類元素為：參加外語小組的人數(shù)。ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=23+27+18-4-5-7+2=549、某大學(xué)有外語教師120名，其中教英語的有50名，教日語的有45名，教法語的有40名，有15名既教英語又教日語，有10名既教英語又教法語，有8名既教日語又教法語，有4名教英語、日語和法語三門課，這三科都不教的有多少名？答案 14解析 記A類元素為：教英語的人數(shù)；記B類元素為：教日語的人數(shù)；記C類元素為：教法語的人數(shù)。設(shè)這三科都不教的有x名.ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=50+45+40-15-8-10+4=120-x X=1410、某班有35個學(xué)生，每個學(xué)生至少參加英語小組、語文小組、數(shù)學(xué)小組中的個課外活動小組?，F(xiàn)已知參加英語小組的有17人。參加語文小組的有30人，參加數(shù)學(xué)小組的有13人。如果有5個學(xué)生三個小組全參加了，問有多少個學(xué)生只參加兩個小組?答案30解析 記A類元素為：參加英語小組的人數(shù)；記B類元素為：參加語文小組的人數(shù)；記C類元素為：參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)。ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=17+30+13-（ AB + BC +CA )+5=35 AB + BC +CA =30C11. 36名女生結(jié)伴購物，21人買了長裙，24人買了短裙，24人買了超短裙;14人買了長裙和短裙，15人買了短裙和超短裙，13人買了長裙和超短裙;只有一位羞澀的小姑娘一條裙子都沒買。請問，共有幾名女生三種裙子都購買?答案7解析 記A類元素為：買了長裙的人數(shù)；記B類元素為：買了短裙的人數(shù)；記C類元素為：買了超短裙的人數(shù)。ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=21+24+24-14-15-13+ABC=36-1ABC=712.某進(jìn)修班有50人,開甲、乙、丙三門進(jìn)修課、選修甲這門課的有38人,選修乙這門課有的35人,選修丙這門課的有31人,兼選甲、乙兩門課的有29人,兼選甲、丙兩門課的有28人,兼選乙、丙兩門課的有26人,甲、乙、丙三科均選的有24人.問三科均未選的人數(shù)?答案 5解析 記A類元素為：選修甲這門課的人數(shù)；記B類元素為：選修乙這門課的人數(shù)；記C類元素為：選修丙這門課的人數(shù)。設(shè)三科均未選的人數(shù)為xABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=38+35+31-29-26-28+24=50-xX=513.某高校對一些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參加注冊會計師考試的有63人，準(zhǔn)備參加英語六級考試的有89人，準(zhǔn)備參加計算機(jī)考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參加的有24人，準(zhǔn)備只選擇兩種考試都參加的有46人，不參加其中任何一種考試的有15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人？答案 192解析 記A類元素為：參加注冊會計師考試的人數(shù)；記B類元素為：參加英語六級考試的人數(shù)；記C類元素為：參加計算機(jī)考試的人數(shù)。設(shè)接受調(diào)查的學(xué)生共有x人ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=63+89+47-46+24=x-x-15X=19214.如圖所示,A、B、C分別代表面積為8、9、11的三張不同形狀的紙片,它們重疊放在一起蓋住的面積是18,且A與B,B與C,C與A公共部分的面積分別是5、3、4,求A、B、C三個圖形公共部分(陰影部分)的面積.答案2解析 設(shè)A、B、C三個圖形公共部分(陰影部分)的面積為xABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=8+9+11-5-3-4+x=18X=215. 某工作組有12名外國人,其中6人會說英語,5人會說法語,5人會說西班牙語;有3人即會說英又會說法,有2人既會說法又會說西;有2人既會說西又會說英;有1人這三種語言都會說.則會說英語的人比一種語言都不會說的人多多少？答案4解析 記A類元素為：會說英語的人數(shù)；記B類元素為：會說法語的人數(shù)；記C類元素為：會說西班牙語的人數(shù)。設(shè)一種語言都不會說的有x人ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=6+5+5-3-2-2+1=12-x X=26-2=41在1100的自然數(shù)中,是5的倍數(shù)或是7的倍數(shù)的數(shù)有個.答案 32解析 記A類元素為：在1至100中是5的倍數(shù)個數(shù)A=100520記B類元素為：在1至100中能被7整除的數(shù)B=100714.3 B取整數(shù)B=14AB=100352.8 B取整數(shù)B=2AB = A+B - AB=20+14-2=322六一班有學(xué)生46人,其中會騎自行車的17人,會游泳的14人,既會騎車又會游泳的4人,問兩樣都不會的有人.答案 19解析 記A類元素為：會騎自行車的人數(shù)；記B類元素為：會游泳的人數(shù)；設(shè)兩樣都不會的有x人.AB = A+B - AB=17+14-4=32-x x=193某單位有青年員工85人，其中68人會騎自行車，62人會游泳，既不會騎車又不會游泳的有12人，則既會騎車又會游泳的有( )人A.57 B.73 C.130 D.69答案A解析 記A類元素為：會騎自行車的人數(shù)；記B類元素為：會游泳的人數(shù)。AB = A+B - AB=68+62-AB=85-12 AB=574.一個班有45個小學(xué)生,統(tǒng)計借課外書的情況是:全班學(xué)生都借有語文或數(shù)學(xué)課外書.借語文課外書的有39人,借數(shù)學(xué)課外書的有32人.語文、數(shù)學(xué)兩種課外書都借的有多少人？答案 26 解析 記A類元素為：借語文課外書的人數(shù)；記B類元素為：借數(shù)學(xué)課外書的人數(shù)。AB = A+B - AB=38+32-AB=45AB=26 5一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數(shù)都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人？答案 23解析 記A類元素為：數(shù)學(xué)得滿分的人數(shù)；記B類元素為：語文得滿分的人數(shù)。AB = A+B - AB=15+12-4=236某班共有30名男生,其中20人參加足球隊,12人參加藍(lán)球隊,10人參加排球隊.已知沒一個人同時參加3個隊,且每人至少參加一個隊,有6人既參加足球隊又參加藍(lán)球隊,有2人既參加藍(lán)球隊又參加排球隊,那么既參加足球隊又參加排球隊的有人.答案4解析 記A類元素為：參加足球隊的人數(shù)；記B類元素為：參加藍(lán)球隊的人數(shù)；記C類元素為：參加排球隊的人數(shù)。設(shè)既參加足球隊又參加排球隊的有x人ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC=20+12+10-6-2-x+0=30 X=4 1.四年級一班有54人，定閱小學(xué)生優(yōu)秀作文和數(shù)學(xué)大世界兩種讀物的有13人，訂閱小學(xué)生優(yōu)秀作文的有45人每人至少訂閱一種讀物，訂閱數(shù)學(xué)大世界的有多少人？（）A13 B22 C33D41答案B解析 記A類元素為：定閱小學(xué)生優(yōu)秀作文的人數(shù)；記B類元素為：定閱數(shù)學(xué)大世界的人數(shù)。設(shè)訂閱數(shù)學(xué)大世界的有x人AB = A+B - AB=45+x-13=54 x=222. 五年級有122名同學(xué)參加語文、數(shù)學(xué)考試，每個至少有一門功課取得優(yōu)秀成績，其中語文成績優(yōu)秀的有65人，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有87人。語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？ （）A30 B35 C57D65答案A解析 記A類元素為：語文成績優(yōu)秀的人數(shù)；記B類元素為：數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)。設(shè)語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有x人AB = A+B - AB=65+87-x=122 x=303. 學(xué)校文藝組每人至少會演奏一種樂器，已知會拉手提琴的有24人，會彈電子琴的有17人，其中兩樣都會的有8人。這個文藝組共有 人。答案33解析 記A類元素為：會拉手提琴的人數(shù)；記B類元素為：會彈電子琴的人數(shù)。AB = A+B - AB=24+17-8=33 4. 某班有36個同學(xué)在一項測試中，答對第一題的有25人，答對第二題的人有23人，兩題都答對的有15人，個同學(xué)兩道題都沒有答對答案3解析 記A類元素為：答對第一題的人數(shù)；記B類元素為：答對第二題的人數(shù)。AB = A+B - AB=25+23-15=33 36-33=35.現(xiàn)有 50 名學(xué)生都做物理、化學(xué)實驗，如果物理實驗做正確的有 40 人，化學(xué)實驗做正確的有 31 人，兩種實驗都做錯的有 4 人，則兩種實驗都做對的有人。答案25解析 記A類元素為：物理實驗做正確的人數(shù)；記B類元素為：化學(xué)實驗做正確的人數(shù)。AB = A+B - AB=40+31-AB=50-4 AB=256. 某大學(xué)有外語教師120名，其中教英語的