高考試題研究之一類非齊次三角函數(shù)的最值問題

學(xué)數(shù)學(xué)找本源，加微信可獲得更多題型總結(jié)。 - 1 - 高考試題研究之一類非齊次三角函數(shù)的最值問題高考試題研究之一類非齊次三角函數(shù)的最值問題 本源教育本源教育 一、引言一、引言 形如xbxaxfcossin)(的函數(shù)，我們可以稱其為齊次三角函數(shù)，對于這一類函數(shù)的最值 問題，幾乎都是可以通過簡單的恒等變換，然后利用輔助角這一工具，將其合成一個三角函數(shù)名，從而解 出其最值。 例例 1：求下列函數(shù)的最大值。 （1）xxxfcos2sin)( （2）xxxfsin) 3 sin()( （3）xxxxf 2 coscossin)( 解解： （1）通過輔助角，可將函數(shù))(xf化成),sin(5)(xxf 其中 5 2 sin, 5 1 cos，所以函數(shù))(xf的最大值為5。 （2）) 6 sin(3cos 2 3 sin 2 3 sin 3 sincos 3 cossin)( xxxxxxxf 所以函數(shù))(xf的最大值為3。 （3）) 4 2sin( 2 2 2 1 )2cos1 ( 2 1 2sin 2 1 )( xxxxf， 所以函數(shù))(xf的最大值為 2 21 。 當(dāng)然，也有一類三角函數(shù)是不能夠化成其次的，比如xxxf2sinsin2)(等，那么，他們的最 值又如何去求呢？ 二、探究二、探究 例例 2 （2018 年全國 1 卷理數(shù)第 16 題）已知函數(shù)xxxf2sinsin2)(，則函數(shù))(xf的最小值 為_。 解法一：解法一：顯然2是函數(shù))(xf的一個周期，因此，只需要考察函數(shù))(xf在區(qū)間2 , 0上的最小 值即可。 ) 1)(cos 2 1 (cos42cos2cos2)( xxxxxf， 易知：函數(shù))(xf在區(qū)間 3 , 0 上單增，在區(qū)間 3 5 , 3 上單減，在區(qū)間2 , 3 5 上單增。又因 學(xué)數(shù)學(xué)找本源，加微信可獲得更多題型總結(jié)。 - 2 - 為 2 33 ) 3 5 (, 0)0( ff，所以函數(shù))(xf的最小值為 2 33 。 解法二解法二：利用三角函數(shù)的萬能公式（ 2 tan1 2 tan1 cos, 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 2 x x x x x x ）可將函數(shù))(xf化 成 2 tan1 2 tan1 2 tan1 2 tan2 2 2 tan1 2 tan4 )( 2 2 22 x x x x x x xf ，令Rt x t, 2 tan 則原問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù) 2222 2 2 )1 ( 8 )1 ( )1 (4 1 4 )( t t t tt t t tg 的最小值。 3232 2 )1 ( ) 3 3 )( 3 3 (24 )1 ( )31 (8 )( t tt t t tg 因此，函數(shù))(tg在區(qū)間), 3 3 (), 3 3 ,(上單減，) 3 3 , 3 3 (上單增， 又因為0)(, 2 33 ) 3 3 ( lim tgg t ， 所以函數(shù))(tg的最小值為 2 33 ，即函數(shù))(xf的 最小值為 2 33 。 例例 3 求函數(shù)) 4 sin(2sin)( xxxf的最大值和最小值。 解法一解法一：1) 4 sin() 4 (sin2) 4 sin() 2 2cos()( 2 xxxxxf 令 1 , 1), 4 sin(txt ， 則原問題可轉(zhuǎn)化為：求函數(shù)12)( 2 tttg在區(qū)間 1 , 1上的最 大值和最小值。 由二次函數(shù)的圖像知：)(tg在 4 1 t處取得最小值 8 9 ) 4 1 (g，在1t處取得最大值 2) 1 (g，即函數(shù))(xf的最小值為 8 9 ，最大值為 2。 解法二：解法二：)cos(sin 2 2 1)cos(sin)( 2 xxxxxf 令2,2,cossintxxt， 則原問題可轉(zhuǎn)化為： 求1 2 2 )( 2 tttg在2,2 學(xué)數(shù)學(xué)找本源，加微信可獲得更多題型總結(jié)。 - 3 - 上的最大值和最小值。 由二次函數(shù)的圖像知：)(tg在 4 2 t處取得最小值 8 9 ) 4 2 (g， 在2t處取得最大值 2)2(g，即函數(shù))(xf的最小值為 8 9 ，最大值為 2。 總結(jié)：總結(jié)：處理這樣一類問題有一個總的思路就是通過各種變形將其轉(zhuǎn)化成分式函數(shù)、二次函數(shù)等的最值 問題，然后，通過研究他們的單調(diào)性從而可以得出結(jié)論。 三、變式三、變式 1.求函數(shù)xxxf2sinsin7)(的最小值和最大值。 （答案： 8 1515 , 8 1515 ） 2.求函數(shù)xxxxfcossin2sin)(的值域。 （答案：21 , 4 5 ）